2021年高三下学期综合测试理科数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回．第一部分选择题（共40分）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知全集U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和关系的韦恩（Venn）图是：2．已知偶函数f(x)在区间[0，+∞)单调递增，则满足的x取值范围是：A． B. C. D.3.设a=lge，b=(lge)2，,则：A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a4．若函数y=f(x)的导函数．．．在区间[a，b]上是增函数，则函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象可能是：5．曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积为：A． B.C. D.6．函数f(x)=Acos(ωx+φ)(其中A>0，)的图象如图所示，为了得到g(x)=cos2x的图像，则只要将f(x)的图像:A.向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度7．定义在R上的函数f(x)满足，则f(2011)的值为：A.-1B.0C.1D.28．若定义在R上的减函数y=f(x)，对任意的a，b∈R，不等式成立，则当1≤a≤4时，的取值范围是：A． B. C. D.第二部分非选择题(110分)二、填空题（每小题5分，共30分）9．=____.10.已知则tanα=____．11．在△ABC中，用a、b、c和A、B、C分别表示它的三条边和三条边所对的角，若a=2，，，则角B=____．12.对a，b∈R，记，函数的最小值是___．13.已知函数f(x)=x+2x，g(x)=x+lnx的零点分别为x1，x2，则x1,x2的大小关系是_____.14.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是_________.三、解答题（共6大题，共80分）15. （本小题满分12分）已知函数的定义域集合是A，函数g(x)=lg[(x-a)(x-a-1)]的定义域集合是B．(1)求集合A、B;(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围．16.（本小题满分12分）已知函数.(1)求函数f(x)的最小正周期和最值；(2)求函数f(x)的单调递减区间．17.（本小题满分14分）某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P（亿元）和Q（亿元），它们与投资额t（亿元）的关系有经验公式，,今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x（亿元），投资这两个项目所获得的总利润为y（亿元）．求:(1)y关于x的函数表达式：(2)总利润的最大值．18.（本小题满分14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，BC边上中线AM的长为.(I)求角A和角B的大小； (II)求△ABC的面积．19.（本小题满分14分）已知函数，其中a∈R.(1)求f(x)在[-1，e](e为自然对数的底数）上的最大值；(II)对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q，使得△POQ是以坐标原点O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？20．（本小题满分14分）设函数f(x)=xsinx(x∈R)．(I)证明：，其中为k为整数；(II)设x0为f(x)的一个极值点，证明：.(III)设f(x)在(0，+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1，a2，…，a n，…，证明：.参考答案一、选择题：BABA CDAC二、填空题：9． 10． 11． 12.0 13.x1<x2 14.y=2x-1三、解答题15．（本小题满分12分）已知函数的定义域集合是A，函数g（x）=lg[(x-a)(x-a-1)]的定义域集合是B．(1)求集合A、B;(2)若A∩B=A,求实数a的取值范围．解:(1)由或x≥2,所以.由(x-a)(x-a-1)>0得x<a或>a+1，所以(2)由A∩B=A，得所以-1<a<1，所以实数a的取值范围是(-1，1)．16．（本小题满分12分）已知函数.(1)求函数f(x)的最小正周期和最值；(2)求函数f(x)的单调递减区间．解：(1)当即时，f(x)取最大值2；当即时，f(x)取最小值-2.(2)由，得∴单调递减区间为.17.（本小题满分14分）某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P（亿元）和Q（亿元），它们与投资额t（亿元）的关系有经验公式，.今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x（亿元），投资这两个项目所获得的总利润为y(亿元）.求：(1)y关于x的函数表达式：(2)总利润的最大值．解：(1)根据题意，得， x∈[0，5]．(2)令，，则.因为，所以当时，即x=2时，y最大值=0.875．答：总利润的最大值是0.875亿元．18.（本小题满分14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a2-(b-c)2，，BC边上中线AM的长为.(I)求角A和角B的大小； (Ⅱ)求△ABC的面积.解:(I)由得，，而A∈(0，π),.由，得即 sinB=1+cosC则cosC<0，即C为钝角，故B为锐角，且则故.(II)设AC=x，由余弦定理得解得x=2故.19．（本小题满分14分）已知函数，其中a∈R．(I)求f(x)在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；(II)对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q，使得△POQ是以坐标原点O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？解：(I)因为①-1≤x≤1时，f'(x)=-x(3x-2)，解f'(x)>0得到;解f'(x)<0得到-1<x<0或.所以f(x)在(-1，0)和上单调递减，在上单调递增，从而f(x)在处取得极大值.又f(-1)=2,f(1)=0,所以f(x)在[-1,1)的最大值为2.②当1≤x≤e时，f(x)=alnx，当a≤0时，f(x)≤0；当a>0时，f(x)在[1，e]上单调递增，所以f(x)在[1，e]上的最大值为a.综上得：当a≥2时，f(x)在[-1，e]上的最大值为a；当a<2时，f(x)在[-1，e]上的最大值为2．(II)假设曲线y=f(x)上存在两点P,Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，因为三角形斜边中点在y轴上，则P，Q只能在y轴的两侧。

不妨设P(t，f(t))(t>0)，则Q(-t，t3+t2)，且t≠1．因为△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，所以.即：是否存在点P ，Q 等价于方程，(*)是否有解．若0<t<1，则f(t)=-t 3+t 2，代入方程（*）得：t 4-t 2+1=0，此方程无实数解．若t>1，则f(t)=alnt ，代入方程（*）得到：，设 h(x)=(x+1)lnx(x ≥1),则在[1，+∞）上恒成立，所以h(x)在[1，+∞）上单调递增，从而h(x)≥h(1)=0，且当x →+∞时，h(x)→+∞．所以当a>0时，方程有解，即方程（*）有解.所以，对任意给定的正实数a ，曲线y=f(x)上存在两点P,Q,使得△POQ 是以O 为直 角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上．20．（本小题满分14分）设函数f(x)=xsinx(x ∈R).(I)证明：f(x+2k π)-f(x)=2k πsinx,其中为k 为整数；(II)设x 0为f(x)的一个极值点，证明：；(III)设f(x)在(0，+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a 1，a 2，…，a n ，…，证明：证明：(I)由于函数定义，对任意整数k ，有f(x+2k π)-f(x)=(x+2k π)sin(x+2k π)-xsinx=(x+2k π)sinx-xsinx=2k πsinx (II)函数f(x)在R 上可导，f'(x)=xcosx+sinx ①令f'(x)=0，得: sinx=-xcosx若cosx=0,则sinx=-xcosx=0，这与cos 2x+sin 2x=1矛盾，所以cosx ≠0。

当cosx ≠0时， ②设g(x)=x+tanx ，则g(x)在上单调递增，且时，时，，所以f ’(x)=0在上有唯一解。

当时，2040020220020202200220201tan 1tan cos sin sin sin )]([x x x x x x x x x x x x f +=+=+==. (III)证明：由(II)知，对于任意整数k ，在开区间内方程-x=tanx只有一个根x 0，当时，-x<tanx,当时，-x>tanx ，而cosx 在区间内，要么恒正，要么恒负，因此时的符号与时的符号相反综合以上，得：的每一个根都是f(x)的极值点 ③由-x=tanx 得，当x>0时，tanx<0，即对于x 0>0时， ④综合③、④：对于任意n ∈N +，由：和，得： ⑤又：，但时， ⑥综合⑤、⑥得： 21837 554D 啍21922 55A2 喢[24601 6019 怙27195 6A3B 樻33893 8465 葥37018 909A 邚23346 5B32 嬲f24963 6183 憃29150 71DE 燞27642 6BFA 毺m36934 9046 遆M。