中考专题练习-几何基础专题例1. 如图， 某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度， 他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30︒，然后沿AD 方向前行10m ，到达B 点， 在B 处测得树顶C 的仰角高度为60(A ︒、B 、D 三点在同一直线上） ． 请你根据他们测量数据计算这棵树CD 的高度 （结 果精确到0.1)m ． （参 1.414≈ 1.732)≈【解答】解：CBD A ACB ∠=∠+∠，603030ACB CBD A ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒， A ACB ∴∠=∠， 10BC AB ∴==（米)．在直角BCD ∆中，sin 105 1.7328.7CD BC CBD =∠==≈⨯=（米)． 答： 这棵树CD 的高度为 8.7 米 ．例2. 如图， 在边长为 6 的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，将ADE ∆沿AE 对折至AFE ∆，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ． （1） 求证：ABG AFG ∆≅∆； （2） 求BG 的长 ．【解答】解： （1） 在正方形ABCD 中，AD AB BC CD ===，90D B BCD ∠=∠=∠=︒， 将ADE ∆沿AE 对折至AFE ∆，AD AF ∴=，DE EF =，90D AFE ∠=∠=︒， AB AF ∴=，90B AFG ∠=∠=︒，又AG AG =，在Rt ABG ∆和Rt AFG ∆中，AG AGAB AF=⎧⎨=⎩， ()ABG AFG HL ∴∆≅∆； （2）ABG AFG ∆≅∆，BG FG ∴=，设BG FG x ==，则6GC x =-，E 为CD 的中点，3CE EF DE ∴===， 3EG x ∴=+，∴在Rt CEG ∆中，2223(6)(3)x x +-=+，解得2x =，2BG ∴=．例3. 如图，Rt ABC ∆中，30B ∠=︒，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥交AB 于D ，以CD 为较短的直角边向CDB ∆的同侧作Rt DEC ∆，满足30E ∠=︒，90DCE ∠=︒，再用同样的方法作Rt FGC ∆，90FCG ∠=︒，继续用同样的方法作Rt HIC ∆，90HCI ∠=︒． 若AC a =，求CI 的长 ．【解答】解： 解法一： 在Rt ACB ∆中，30B ∠=︒，90ACB ∠=︒， 903060A ∴∠=︒-︒=︒， CD AB ⊥， 90ADC ∴∠=︒， 30ACD ∴∠=︒，在Rt ACD ∆中，AC a =，12AD a ∴=，由勾股定理得：CD ==，同理得：3224aFC ==，3248a CH =⨯=， 在Rt HCI ∆中，30I ∠=︒，2HI HC ∴==，由勾股定理得：98aCI ==， 解法二：30DCA B ∠=∠=︒， 在Rt DCA ∆中，cos30CDAC︒=，cos302CD AC a ∴=︒=， 在Rt CDF ∆中，cos30CFCD︒=，3224CF a a =⨯=，同理得：3cos304CH CF a =︒==， 在Rt HCI ∆中，30HIC ∠=︒，tan 30CHCI︒=，98CI a ==； 答：CI 的长为98a．例4. 如图所示， 已知四边形ABCD ，ADEF 都是菱形，BAD FAD ∠=∠，BAD ∠为锐角 ．（1） 求证：AD BF ⊥；（2） 若BF BC =，求ADC ∠的度数 ．【解答】（1） 证明： 如图， 连结DB 、DF ． 四边形ABCD ，ADEF 都是菱形，AB BC CD DA ∴===，AD DE EF FA ===． 在BAD ∆与FAD ∆中，AB AF BAD FAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， BAD FAD ∴∆≅∆， DB DF ∴=，D ∴在线段BF 的垂直平分线上， AB AF =，A ∴在线段BF 的垂直平分线上， AD ∴是线段BF 的垂直平分线， AD BF ∴⊥；解法二：四边形ABCD ，ADEF 都是菱形，AB BC CD DA ∴===，AD DE EF FA ===．AB AF ∴=，BAD FAD ∠=∠，AD BF ∴⊥（等 腰三角形三线合一） ；（2） 如图， 设AD BF ⊥于H ，作DG BC ⊥于G ，则四边形BGDH 是矩形，12DG BH BF ∴==． BF BC =，BC CD =，12DG CD ∴=． 在直角CDG ∆中，90CGD ∠=︒，12DG CD =，30C ∴∠=︒， //BC AD ，180150ADC C ∴∠=︒-∠=︒．例5. 如图，矩形ABCD 中，AB AD >，把矩形沿对角线AC 所在直线折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE ．（1）求证：ADE CED ∆≅∆； （2）求证：DEF ∆是等腰三角形．【解答】证明：（1）四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴=，AB CD =．由折叠的性质可得：BC CE =，AB AE =，AD CE ∴=，AE CD =．在ADE ∆和CED ∆中，AD CEAE CD DE ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ADE CED SSS ∴∆≅∆．（2）由（1）得ADE CED ∆≅∆，DEA EDC ∴∠=∠，即DEF EDF ∠=∠，EF DF ∴=，DEF ∴∆是等腰三角形．例6. 如图所示，A 、B 两城市相距100km ，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段)AB ，经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30︒和B 城市的北偏西45︒的方向上，已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为1.732≈ 1.414)≈【解答】解：过点P 作PC AB ⊥，C 是垂足． 则30APC ∠=︒，45BPC ∠=︒，tan30AC PC =︒，tan 45BC PC =︒． AC BC AB +=，tan30tan 45100PC PC km ∴︒+︒=，∴(1)1003PC +=，50(350(3 1.732)63.450PC km km ∴=-≈⨯-≈>．答：森林保护区的中心与直线AB 的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．例7. 在菱形ABCD 中， 对角线AC 与BD 相交于点O ，5AB =，6AC =． 过D 点作//DE AC 交BC的延长线于点E ． （1） 求BDE ∆的周长；（2） 点P 为线段BC 上的点， 连接PO 并延长交AD 于点Q ． 求证：BP DQ =．【解答】（1） 解：四边形ABCD 是菱形，5AB BC CD AD ∴====，AC BD ⊥，OB OD =，3OA OC ==4OB ∴==，28BD OB ==，//AD CE ，//AC DE ，∴四边形ACED 是平行四边形，5CE AD BC ∴===，6DE AC ==，BDE ∴∆的周长是：810624BD BC CE DE +++=++=．（2） 证明：四边形ABCD 是菱形，//AD BC ∴， QDO PBO ∴∠=∠，在DOQ ∆和BOP ∆中QDO PBO OB ODQOD POB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()DOQ BOP ASA ∴∆≅∆， BP DQ ∴=．例8. 如图所示，在矩形ABCD 中，12AB =，20AC =，两条对角线相交于点O ．以OB 、OC为邻边作第1个平行四边形1OBB C ，对角线相交于点1A ；再以11A B 、1A C 为邻边作第2个平行四边形111A B C C ，对角线相交于点1O ；再以11O B 、11O C 为邻边作第3个平行四边形1121O B B C ⋯依此类推． （1）求矩形ABCD 的面积；（2）求第1个平行四边形1OBB C ，第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积．【解答】解：（1）四边形ABCD 是矩形，20AC =，12AB =90ABC ∴∠=︒，16BC ==1216192ABCD S AB BC ∴=⋅=⨯=矩形．（2）1//OB B C ，1//OC BB ，∴四边形1OBB C 是平行四边形．四边形ABCD 是矩形，OB OC ∴=，∴四边形1OBB C 是菱形．1OB BC ∴⊥，1182A B BC ==，11162OA OB ===； 11212OB OA ∴==，111116129622OBB C S BC OB ∴=⋅=⨯⨯=菱形； 同理：四边形111A B C C 是矩形，11111116848A B C C S A B B C ∴=⋅=⨯=矩形；⋯⋯第n 个平行四边形的面积是：1922n n S =6619232S ∴==．例9. 如图，PA 与O 相切于A 点，弦AB OP ⊥，垂足为C ，OP 与O 相交于D 点，已知2OA =，4OP =．（1）求POA ∠的度数；（2）计算弦AB 的长．【解答】解：（1）PA 与O 相切于A 点，OAP ∴∆是直角三角形，2OA =，4OP =，1cos 2OA POA OP ∴∠==， 60POA ∴∠=︒．（2）直角三角形中60AOC ∠=︒，2OA =，sin 602AC OA ∴=︒== AB OP ⊥，2AB AC ∴==例10. 如图， 分别以Rt ABC ∆的直角边AC 及斜边AB 向外作等边ACD ∆及等边ABE ∆． 已知30BAC ∠=︒，EF AB ⊥，垂足为F ，连接DF ．（1） 试说明AC EF =；（2） 求证： 四边形ADFE 是平行四边形 ．【解答】证明： （1）Rt ABC ∆中，30BAC ∠=︒，2AB BC ∴=，又ABE ∆是等边三角形，EF AB ⊥，2AB AF ∴=AF BC ∴=，在Rt AFE ∆和Rt BCA ∆中，AF BC AE BA=⎧⎨=⎩， ()AFE BCA HL ∴∆≅∆，AC EF ∴=；（2）ACD ∆是等边三角形，60DAC ∴∠=︒，AC AD =，90DAB DAC BAC ∴∠=∠+∠=︒又EF AB ⊥，//EF AD ∴，AC EF =，AC AD =，EF AD ∴=，∴四边形ADFE 是平行四边形 ．例11. 已知：如图，E 、F 在AC 上，//AD CB 且AD CB =，D B ∠=∠．求证：AE CF =．【解答】证明：//AD CB ，A C ∴∠=∠，在ADF ∆和CBE ∆中，A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ADF CBE ASA ∴∆≅∆，AF CE ∴=，AF EF CE EF ∴+=+，即AE CF =．例12. 如图，直角梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒，30C ∠=︒，折叠纸片使BC 经过点D ，点C 落在点E 处，BF 是折痕，且8BF CF ==．（1）求BDF ∠的度数；（2）求AB 的长．【解答】解：（1）8BF CF ==，30FBC C ∴∠=∠=︒，折叠纸片使BC 经过点D ，点C 落在点E 处，BF 是折痕，30EBF CBF ∴∠=∠=︒，60EBC ∴∠=︒，90BDF ∴∠=︒；（2）60EBC ∠=︒60ADB ∴∠=︒，8BF CF ==．sin 60BD BF ∴=︒=∴在Rt BAD ∆中，sin606AB BD =⨯︒=．例13. 已知： 如图， 在四边形ABCD 中，//AB CD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，BO DO =． 求证： 四边形ABCD 是平行四边形 ．【解答】证明：//AB CD ，ABO CDO ∴∠=∠，在ABO ∆与CDO ∆中，ABO CDO BO DOAOB COD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABO CDO ASA ∴∆≅∆，AB CD ∴=，∴四边形ABCD 是平行四边形 ．18．（7分）如图，小山岗的斜坡AC 的坡度是3tan 4α=，在与山脚C 距离200米的D 处，测得山顶A 的仰角为26.6︒，求小山岗的高AB （结果取整数：参考数据：sin 26.60.45︒=，cos26.60.89︒=，tan 26.60.50)︒=．【解答】解：在直角三角形ABC 中，3tan 4AB BC α==， 43AB BC ∴= 在直角三角形ADB 中，tan 26.60.50AB BD∴=︒= 即：2BD AB =200BD BC CD -==422003AB AB ∴-= 解得：300AB =米，答：小山岗的高度为300米．例14. 如图， 矩形ABCD 中， 以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ，使得另一边EF 过原矩形的顶点C ．（1） 设Rt CBD ∆的面积为1S ，Rt BFC ∆的面积为2S ，Rt DCE ∆的面积为3S ，则1S = 23S S +（用 “>”、 “=”、 “<” 填空） ；（2） 写出如图中的三对相似三角形， 并选择其中一对进行证明 ．【解答】（1） 解：112S BD ED =⨯，BDEF S BD ED =⨯矩形， 112BDEF S S ∴=矩形， 2312BDEF S S S ∴+=矩形， 123S S S ∴=+．（2） 答：BCD CFB DEC ∆∆∆∽∽．证明BCD DEC ∆∆∽；证明：90EDC BDC ∠+∠=︒，90CBD BDC ∠+∠=︒，EDC CBD ∴∠=∠，又90BCD DEC ∠=∠=︒，BCD DEC ∴∆∆∽．。