课堂巩固
1.判断下列各题正误，并将错误改正：
（1） 没有平方根．（ ）
（2） ．（ ）
（3） 的平方根是 ．（ ）
（4） 是 的算术平方根．（ ）
【答案】√ ；×； √； ×，
【点睛】被开方数都是非负数
2、填空：
（1） 是的负平方根．
（2） 表示的算术平方根， ．
（3） 的算术平方根为．
（4）若 ，则 ，若 ，则 ．
实数
第一讲平方根
【学习目标】
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．
考点一、算术根
知识讲解
定义：如果一个正数 的平方等于 ，即 ,那么这个正数 叫做 的算术平方根； 的算术平方根记作 ，读作“ 的算术平方根”， 叫做被开方数.
A．—2是4的一个平方根B．立方根等于它本身的数只有1和0
C．平方根等于它本身的数只有0D．平方等于它本身的数只有0和1
【答案】B
【详解】
解：A、4的一个平方根有±2，故—2是4的一个平方根，故A正确；
B、立方根等于它本身的数有±1和0，故B选项的说法不正确；
C、平方根等于本身的数只有0，故C正确；
【答案】(1)16；(2) (3) (4) 9；±3
例2下列各数有平方根的是（ ）
【答案】D
课堂巩固
判断下列各数是否有平方根，若有，求其平方根，若没有，请说明理由
（1） （2） （3）625（4） （5）
【答案】
例3求下列各数的平方根
（1）0.81（2） （3）121（4） （5）49（6）0.25
13．若 ＝5.036， ＝15.906，则 ＝__________.
【答案】503.6
【详解】解： = =5.036×100=503.6．故答案为503.6．
14．如果a+3和2a﹣6是一个数的平方根，这个数为_____．
【答案】16或144
【详解】解：根据题意得：a+3+2a﹣6＝0，或a+3＝2a﹣6，移项、合并同类项得：3a＝3或﹣a＝﹣9，解得：a＝1或a＝9，则这个数为（1+3）2＝16或（9+3）2＝144，
2.求下列各式的值
（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【答案】1000（2） （3）0.7（4）9
【点睛】算术平方根为正数
3. 的算术平方根是______； 的算术平方根的相反数是______
【答案】2，-3
例3.估计与 最接近的整数.
【答案】6
【解析】解：∵25＜35＜36
∴
即5＜ ＜6
∵35比较接近36，
（9） （10）25x2﹣36＝0．
【答案】（1） 或 ；（2） ， ；（3）x1=28，x2=-26．（4） ；（5）x＝5或1．（6）x= 或x=﹣2．（7） ;（8） .（9）x=0或x=-4（10）x＝± .
【详解】
（1）解：25(x－1)2＝49即： ∴案】-1
例5（1）使代数式 有意义的 的取值范围是______________．
【答案】 ≥ ；
【解析】 ＋1≥0，解得 ≥ .
【点睛】当式子 有意义时， 一定表示一个非负数，即 ≥0， ≥0.
（2）若 ， 为实数，且| ＋1|＋ ＝0，则 的值是（ ）
A.0 B.1 C.－1 D.－2011
【答案】C；
D、平方等于它本身的数只有0和1，故D正确；
5．如果一个实数的算术平方根与它的立方根相等，则这个数是（）
A．0B．正整数C．0和1D．1
【答案】C
6．下列五个命题：①只有正数才有平方根；②−2是4的平方根；③5的平方根是 ；④± 都是3的平方根；⑤(−2)2的平方根是−2；其中正确的命题是( )
A．①②③B．③④⑤C．③④D．②④
1.下列说法正确的是( )
A.因为5² =25，所以5是25的算术平方根.
B.因为(-5)²=25，所以-5是25的算术平方根.
C.因为(±5)²=25，所以5和-5都是25的算术平方根.
D.以上说法都不对.
【答案】A
2.下列各式正确的是（）
【答案】B
3.算术平方根等于它本身的数是_______
【答案】0和1
【解析】 ＋1＝0， －1＝0，解得 ＝－1； ＝1． ＝－1.
（3）已知 ，求 的算术平方根.
【答案】1
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1.已知 ，则
【答案】-32
2.已知 ，则
【答案】16
3.已知 和 互为相反数，求 的值.
【答案】
例6按要求填空
（1）填表
（2）根据你发现的规律填空：
已知 ，则 ; .
已知 则
【答案】
【总结】被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位
课堂同步
1已知 ， ，则 =．
【答案】578.9；
【解析】解：∵ ，∴ =578.9．故答案为：578.9．
2.已知 .
填空： ;
（2）若 则
【答案】（1）0.2284,228.4（2）0.0005217
【点睛】被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如： ， ， ， .
【答案】D
【详解】
解：①、由于0有平方根，故此选项错误；②、－2是4的一个平方根，此选项正确；
③、5的平方根式± ，此选项错误；④± 都是3的平方根，此选项正确；
⑤（－2）2的平方根是±2，此选项错误．故正确的命题是②④．
7．下列说法正确的是（）
A．一个数的算术平方根一定是正数B． 的立方根是
C． D． 是 的平方根
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）±7；（6）±0.5.
【点睛】一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
课堂巩固
1求下列各数的平方根
（1）81；（2）0.0009；（3） ；（4）7；(5)100；(6)0；(7) ；(8)169.
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6）0；（7） ；（8） .
A.5是25的算术平方根 B.l是l的一个平方根
C. 的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0
【答案】C；
【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．
A.因为 ＝5，所以本说法正确；
B.因为± ＝±1，所以l是l的一个平方根说法正确；
C.因为± ＝± ＝±4，所以本说法错误；
D.因为 ＝0， ＝0，所以本说法正确；
【详解】（1）∵一个正数的平方根有两个，且互为相反数，
∴ ，解得 ；
（2）当 时， ，∴ ．
3．已知正实数x的平方根是a和a＋b．
（1）当b＝6时，求a；（2）若a2x＋(a＋b)2x＝6，求x的值．
【答案】（1）a=-3；（2） ．
【详解】解：（1）∵正实数 的平方根是a和a＋b， ，
， ， ；
（2）∵正实数 的平方根是a和a＋b， ， ，
（3） （4）
【答案】（1） ， ；（2） ．（3） ；（4） ， ．
【详解】解：（1） ， ；
（2） ． ．
（3） ；
（4）
， ．
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求下列各式中x的值：
（1）25(x－1)2＝49（2）(x＋2)2－36=0；
（3） （4）16x2＝25
（5）（x-3）2＝4（6） =16．
（7） ；（8） .
考点二、平方根
知识点讲解
定义：如果 ，那么 叫做 的平方根.求一个数 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. ( ≥0)的平方根的符号表达为 ，其中 是 的算术平方根.
平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同： 和
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
补充：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
平方根的性质
典型例题
例1、下列说法错误的是（ ）
【答案】D
【详解】
A、一个数的算术平方根一定是正数，错误，例如0的算术平方根是0；
B、1的立方根是1，错误；C、 ，错误；D、 是 的平方根，正确；
8．下列各式中，正确的是（ ）
A． ＝﹣2B． ＝﹣3C．﹣ ＝3D．± ＝±3
【答案】D
9． 的平方根是( )
A．± B．± C． D．
【答案】A
10．若x使(x﹣1)2=4成立，则x的值是( )
补充：
1.当式子 有意义时， 一定表示一个非负数，即 ≥0， ≥0.
2.规定0的算术平方根还是0.
3.算术平方根等于他自己本身的有0和1.
典型例题
例1.下列说法正确的是（）
A.0的算术平方根是0B.9是3的算术平方根
C.±3是9的算术平方根D.-3是9的算术平方根
【答案】A
【考点】算术平方根的定义
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A．3B．﹣1C．3或﹣1D．±2
【答案】C
【解析】∵（x-1）2=4成立，∴x-1=±2，解得：x1=3，x2=-1．
二、填空题
11．若 ，则 =______．
【答案】1
【详解】∵ ∴
∴ ∴ 故答案为1.
12．已知 ，则 ______．
【答案】0.5477