高一（下）数学期末试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.）1．已知向量a 、b 满足：a +b =)3,1(，a -b =)3,3(-，则a 、b的坐标分别为 （ C ）A ．)0,4( )6,2(-B ．)6,2(- )0,4(C ．)0,2( )3,1(-D ．)3,1(- )0,2(2．已知扇形面积为83π，半径是1，则扇形的圆心角是 （C ） A ．163π B ．83π C ．43π D ．23π3．下列向量中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是 （ B ） A. (0,0),(1,2)a b == B. (5,7),(1,2)a b ==-C. (3,5),(6,10)a b ==D. 13(2,3),(,)24a b =-=-4．已知函数4)cos()sin()(++++=βπαπx b x a x f ，R x ∈，且3)2005(=f ，则)2006(f 的值为 （C ）A ．3B ．4C ．5D ．65. 已知向量)75sin ,75(cos ︒︒=，)15sin ,15(cos ︒︒=-的值是（ D ）A.21B. 22C. 23D. 16.已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ D ）A. 247B. 247-C. 724D. 724-7.21,e e 是两个单位向量,且夹角为120°,则()2123e e -·()214e e +的值为( A ) A.-10 B.-5 C.5 D.108.函数)2π25sin(x y +=的图象的一条对称轴的方程是（ A ）． A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π-=x D ．π45=x9.已知函数sin()y A x ωϕ=+在同一周期内,当12x π=时,取得最大值3y =,当712x π=时,取得最小值3y =-,则函数的解析式为 ( D )A.3sin(2)3y x π=-B.3sin()26x y π=- C.3sin(2)6y x π=+D.3sin(2)3y x π=+ 10．如右图所示，两射线OA 与OB 交于O ，则下列选项中哪些向量的终点落在阴暗区域内（ A ）①2OA OB + ②3143OA OB +③1123OA OB + ④3145OA OB + ⑤3145OA OB - A ．①② B ．①②④ C ．①②③④ D ．③⑤二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上 11.已知点P 分有向线段21P P 的比为－3，那么点P 1分P P 2的比是 ．32-12．把函数1)43sin(3++=πx y 的图象按向量平移后得到函数2)33sin(3++=πx y 的图象，则向量a 的坐标是 (36π-，1)13．若角α终边在直线x y 3=上，顶点为原点，且0sin <α，又知点),(n m P 是角α终边上一点，且10=OP ，则n m -的值为 .214.已知3sin ,5αα=是第二象限角,且tan()1αβ+=,则tan β的值是 7 15.关于x 的方程]2,0[12cos 2sin 3π在+=+k x x 内有相异两实根，则k 的取值范围为[0，1）16、给出下列命题：(1)∥的充要条件是存在唯一的实数λ使=λ；(2)若α、β是第一象限角，且α＞β，则cos α＜cos β;(3)函数y ＝sin(32x-27π)是偶函数；(4) 向量b 与向量a的方向相反,是b 与a 是共线向量的充分不必要条件；(5)函数y ＝sin2x 的图象向右平移4π个单位，得到y ＝sin(2x-4π))的图象.其中正确的命题的序号是 . 34三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17.(本小题满分12分) 已知10,sin cos 25x x x π-<<+=. (1)求sin cos x x -的值; (2)求2sin 22sin 1tan x xx+-的值.解：124sin cos 2sin cos 525x x x x +=⇒=- (2分) （1）249(sin cos )12sin cos 25x x x x -=-= （5分）由已知02x π-<<有sin cos 0x x -<，7sin cos 5x x -=- . （6分）（2）由（1）可求得：34243sin ,cos ,sin 2,tan 55254x x x x =-==-=- (9分)2sin 22sin 241tan 175x x x +=-- (12分)18．（本题满分12分）如图，已知向量p =，q=，r =，且BC AB 2=．(Ⅰ)试用q p 、表示r；(Ⅱ)若点A )2,2(、B )1,3(，O （0，0）求点C 坐标．解：(Ⅰ)由题意得： p q -=，q r-=，———————2分 又 2=∴ )(2q r p q-=- ———————————4分解得： q p r2321+-= ———————————6分 (Ⅱ) 由2=可知：点B 分有向线段所成的比为2，———8分 设点C ),(y x ，则得：21223++=x ，21221++=y —————————10分 解得： 27=x ，21=y ， ∴ 点C 坐标为)21,27(．———————————12分 OBC19.(本大题满分12分) 已知函数)0(23cos 3cos sin )(2＞a b a x a x x a x f ++-⋅= (1)写出函数的单调递减区间；(2)设]20[π，∈x ，f (x )的最小值是－2，最大值是3，求实数a 、b 的(1)解：b x x x a x f ++-⋅=)23cos 3cos (sin )(2b x a b x x a +-=+++⨯-⨯=)32s i n ()2322c o s 132s i n 21(π 4分∵a ＞0，x ∈R ，∴f (x )的递减区间是]1211125[ππππ++k k ， (k ∈Z)6分(2)解：∵x ∈[0，2π]，∴2x ∈[0，π]，2x －3π∈[323ππ，-] 7分 ∴]123[)32sin(，-∈-πx9分∴函数f (x )的最小值是b a +-23，最大值是b a + 10分由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-3233b a b a ， 解得a ＝2，b ＝23-12分20．（本题满分14分）如图，△ABO 的顶点A 在x 正半轴上，顶点B 在第一象限内，又知△ABO 的面积为22，m AB OA =⋅． (Ⅰ)若向量与的夹角为θ，)3,4(ππθ∈，求实数m 的取值范围；(Ⅱ)若点B 在抛物线)0(2>=a ax yb =，2)122(b m -=最小时实数a 的值．解：(Ⅰ)根据题意：)22θπ-=即θ22=，—————————2分 又θm = 以上两式相除，并整理得：θcot 24=m ———————————4分8∵)3,4(ππθ∈，∴)1,33(cot ∈θ ∴实数m 的取值范围是)24,364(． ———————————6分 (Ⅱ)b =知点)0,(b A ，设点)0,0)(,(>>q p q p B ，则),(q b p -=，于是22=⋅=∆q S ABC ，b q 24=，——————8分又 ),()0,(q b p b AB OA -⋅=⋅2)122()(b b p b -=-= ∴ b p 22=， ———————————10分 从而226421322222222≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=b b b b q p ，当且仅当2264b b =即22=b 时，取等号， ———————————12分此时，点)2,2(B ，代入)0(2>=a ax y 解得21=a ， ∴取得最小值22时，21=a ． ——————14分 (Ⅱ)解二：∵θθ2122==，2)122(b AB OA m -==⋅=θ ，———————8分 77∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=b cos 24sin θθ ， ∴1)223(322=-+b b ， 即22)223(32b b-+=，———————10分 ∴821322213222222=⋅≥+=++=b b b b OA ， 当且仅当222132b b=即22=b 时，取等号，—————————12分 此时，点)0,22(A ，由22=⋅=∆B ABC y S 求得点B 纵坐标2=B y ， 代入8= 求得点)2,2(B ，代入 )0(2>=a ax y 解得21=a ， ∴取得最小值22时，21=a ．———————14分 21．(本题满分10分)已知10a -<<，21A a =+，21B a =-，11C a=+，试比较A 、B 、C 的大小． 【解答】不妨设12a =-，则54A =，34B =，2C =由此猜想B A C << 由10a -<<得10a +>，222(1)(1)20A B a a a -=+--=>得A B >，……5分22213()1(1)24(1)0111a a a a a C A a a a a⎡⎤++⎢⎥++⎣⎦-=-+=-=->+++得C A >，…..9分即得B A C <<．………………………………………………………………………..10分22. （本小题10分）解关于x 的不等式12-ax ax ＞x ，（a ∈R ）.解：由12-ax ax ＞x 得12-ax ax -x ＞0即1-ax x＞0（2分）此不等式与x （ax-1）＞0同解.（3分）x ＞0 x ＜0 ①若a ＜0，则 或ax-1＞0 ax-1＜0得：⎪⎩⎪⎨⎧a x x 10 或⎪⎩⎪⎨⎧a x x 1即 无解 或a 1＜x ＜0. ∴解集为（a1，0）.（4分）②若a=0，则-x ＞0⇒x ＜0，∴解集为（-∞，0）.（6分）x ＞0 x ＜0 ③若a ＞0，则 或ax-1＞0 ax-1＜0得⎪⎩⎪⎨⎧a x x 10 或⎪⎩⎪⎨⎧a x x 1即：x ＞a 1或x ＜0，∴解集为（-∞，0）∪（a1，+∞）（9分）综上所述：①当a ＜0时，不等式的解集是（a1，0）②当a=0时，不等式的解集是（-∞，0） ③当a ＞0时，不等式的解集是（-∞，0）∪（a1，+∞）（10分）。