2020年苏南五市职业学校对口单招第二次调研性统测数学 试卷本试卷分第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）两部分．第Ⅰ卷1页至2页，第Ⅱ卷3页至6页．两卷满分150分，考试时间120钟．注意事项：1. 答卷前，考生务必按规定要求填涂答题卡上的姓名、考试证号、考试科目等项目．2. 用2B 铅笔把答题卡上相应题号中正确答案的标号涂黑，用黑色水笔在答题卡规定的答题区域书写答案．答案不涂写在答题卡上无效．第Ⅰ卷（共40分）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上相应题号中正确答案的字母标号涂黑） 1．已知集合{}0,1,2,3M =，集合1|242x N x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则集合()R M C N 等于( )A ．{}0,1,2B ．{}2,3C ．∅D ．{}0,1,2,32．已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若2a i bi +=-，则2()a bi +＝ ( )A ．34i -B ．34i +C ．43i -D ．43i + 3．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(3,0)F ，离心率等于32，则C 的方程是( ) A ．2214x -= B ．22145x y -= C ．22125x y -= D ．2212x -= 4．已知数组a (2,1,0)=-，数组b (1,1,0)=-，若λa +u b (1,1,0)=，则μλ,的值为( ) A ．2,3==μλ B ．3,2==μλC ．4,1==μλD ．1,4==μλ5．某小组有10名学生，其中女生3名，现选举2人当代表，至少有1名女生当选，则不同的选法种数有 ( )A ．24B ．27C ．36D ．636．下图是计算111124640++++的值的程序框图，其中判断框内应填入的条件是 ( )A ．9i >B ．10i >C ．19i >D ．20i >7．若圆柱、圆锥的底面直径、高和球的直径相同，则圆柱、圆锥、球的体积比为 ( )A ．3:2:1B ．3:1:4C ．3:1:2D ．3:2:48．已知向量a (cos ,sin )x x =，b (2,2)=，a·b 85=，则cos()4x π-等于 ( ) A ．35- B ．45- C ．35 D ．459．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x R ∈都有(2)()f x f x +=-，若当[0,2]x ∈时，()lg(1)f x x =+，则有 ( )A ．37(1)()()22f f f >-> B ．37()()(1)22f f f ->>C ．37()(1)()22f f f ->>D ．73()(1)()22f f f >>-10．若函数log (2)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象过定点A ，且点A 在一次函数()(0,0)f x mx n m n =->>的图象上，则14m n+的最小值为 ( )A ．5B ．7C ．9D ．11第II 卷（共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．计算 0(1010)⋅⋅+⋅= ．12．某项工程的工作流程图如图所示（单位：天），则完成该工程的最短总工期为 天．13．已知02A π<<，且3cos 5A =，那么sin(2)A π-=___________．14．已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，线段MF 的中点P 到y 轴的距离为2，则||PF =______________．15．设函数22(1)()22(1)x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，令()()g x f x m =-，若关于x 的方程()0g x =有两个不相等的实根，则实数m 的取值范围为_________________．三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16．(本小题满分8分)若关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立． (1)求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式2log (log (22)a a x x ≥+-1)．17. (本小题满分10分)函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)4f -=-，(2)9f =，当0x >时，()2x f x ax b =++(,a b 为常数)．求：(1)a 和b 的值；(2)当0x <时，()f x 的解析式； (3)()f x 在R 上的解析式．18. (本小题满分12分)(1)已知集合{}(,)|210A x y x y =--=，{}(,)|10B x y ax by =-+=，其中{},1,2,3,4,5,6a b ∈，求A B =∅的概率．(2)已知圆C ：2212x y +=，直线l ：4325x y +=．①求圆C 的圆心到直线l 的距离；②求圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率．19. (本小题满分12分)在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin (tan tan )B A C +tan tan A C =.(1)求证：a ，b ，c 成等比数列；(2)若1a =，2c =，求ABC ∆的面积S .20. (本小题满分10分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数()v x 的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间为通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)．21. (本小题满分14分)等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269a a a =．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设31323log log log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．22. (本小题满分10分)配制B A ,两种药都需要甲、乙两种原料，每剂药用料要求如下表所示（单位：克），如果B A ,两种药至少各配制一剂，且每剂售价分别为2元和3元，现在有甲原料20克，乙原料25克，那么配制B A ,两种药各多少剂，才能获得最大销售额？获得的最大销售额是多少元？23.(本小题满分14分)已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3，右焦点为F ，点G ，直线FG 与圆Q ：x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)相切．(1)求直线FG 和椭圆E 的方程；(2)直线FG 与椭圆E 交于,A B 两点，,C D 为椭圆E 上的两点，若四边形CADB 的对角线CD AB ⊥，求四边形CADB 的面积的最大值．2020年苏南五市职业学校对口单招第二次调研性统测数学 答案及评分参考一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．0 12．10 13．242514．2 15．(1,2] 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16．(本小题满分8分)解：(1)由题意，△=2(2)40a a --＜， -----------1分∴02＜a a -， ∴0)1(＜-a a ，∴01a <<．∴实数a 的取值范围是{}|01a a <<． -----------2分(2)∵）（1,0∈a ，∴2210220122x x x x ⎧->⎪+>⎨⎪-≤+⎩， -----------2分 ∴11113x x x x ><-⎧⎪>-⎨⎪-≤≤⎩或， -----------2分 解得原不等式的解集为{}|13x x <≤． -----------1分17. (本小题满分10分)解：(1)函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)4f -=-，(1)4f ∴=，又(2)9f =， 因此，24429a b a b ++=⎧⎨++=⎩， -----------2分得到31a b =⎧⎨=-⎩． -----------2分(2)由(1)可得，当0x >时,()231xf x x =+-， 令0x <，则0x ->，()231x f x x --=--． -----------1分结合奇函数的性质有：()()f x f x -=-， 因此()()(231)231xx f x f x x x --=--=---=-++，即0x <时，()231xf x x -=-++． -----------2分(3)函数()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0f ∴=，∴函数()f x 在R 上的解析式为231,0()0,0231,0x x x x f x x x x -⎧+->⎪==⎨⎪-++<⎩------3分18. (本小题满分12分) 解：(1)由AB =∅，得两直线平行， 即112a b -=≠--，得2b a =， ----------------1分 则(,)a b 能取到的值有(1,2),(2,4),(3,6)， ----------------1分设{}D AB ==∅， 31()6612P D ==⨯． ----------------2分(2)①圆2212x y +=的圆心为(0,0)C ，圆心C 到直线l的距离为5d ==． ----------------2分 ②如图，设与直线4325x y +=距离为2且与该直线平行的直线与圆交于P 、Q 两点．由(1)知，点O 到直线PQ 的距离为3，因为圆的半径为23，故可得∠OPQ ＝60°． ----------------2分 若点A 到直线l 的距离小于2，则点A 只能在弧PQ 上， ---------------2分 设E =｛圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2｝，601()3606P E ==． ----------------2分19. (本小题满分12分)解：(1)证明：在ABC ∆中，由于sin (tan tan )tan tan B A C A C +=，所以sin sin sin sin sin ()cos cos cos cos A C A CB AC A C+=⋅， ----------------2分 因此sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=，所以sin sin()sin sin B A C A C +=. ----------------2分 又A B C π++=，所以sin()sin A C B +=，因此2sin sin sin B A C =.由正弦定理得2b ac =，即a ，b ，c 成等比数列． ----------------2分 (2)因为1,2a c ==，2b ac =，所以2b =----------------1分由余弦定理得222221223cos 22124a cb B ac +-+-===⨯⨯， ----------------2分 因为0B π<<，所以sin B =21cos B -74=， 故ABC ∆的面积1177sin 1222S ac B ==⨯⨯=．----------------3分20. (本小题满分10分)解：(1)由题意，当0≤x ≤20时，()v x ＝60； ----------------1分当20≤x ≤200时，设()v x ax b =+，由已知得20002060a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得132003a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ----------------2分故函数()v x 的表达式为60, 020()1(200),202003x v x x x ≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩ ----------------1分 (2) 解法一：依题意并由(1)可得60, 020()1(200),202003x x f x x x x ≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩ ----------------1分 当020x ≤≤时，()f x 为增函数，故当20x =时，其最大值为60201200⨯=； ----------------2分 当20200x ≤≤时，21110000()(200)(100)333f x x x x =-=--+所以，当100x =时，()f x 在区间[20,200]上取得最大值100003． ----2分综上，当100x =时，()f x 在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333．即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值为3333辆/小时． -------1分(2)解法二：依题意并由(1)可得60, 020()1(200),202003x x f x x x x ≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩ ----------------1分 当020x ≤≤时，()f x 为增函数，故当20x =时，其最大值为60201200⨯=； ----------------2分 当20200x ≤≤时，211(200)10000()(200)[]3323x x f x x x +-=-≤=当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立．所以，当100x =时，()f x 在区间[20,200]上取得最大值100003． ----2分综上，当100x =时，()f x 在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333．即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值为3333辆/小时． -------1分21. (本小题满分14分)解：(1)设数列{}n a 的公比为q ．由23269a a a =，得22349a a =， 所以219q =． 由条件可知0q >，故13q =． ----------------2分 由12231a a +=，得11231a a q +=，所以113a =． ----------------2分 故数列{}n a 的通项公式为13n n a =． ----------------2分 (2)31323log log log n n b a a a =+++ 312log ()n a a a =⋅⋅⋅123log (333)n ---=⋅⋅⋅(12)n =-+++(1)2n n +=-． ----------------3分 故12112()(1)1n b n n n n =-=--++． ----------------2分 12111nb b b +++ 111112[(1)()()]2231n n =--+-++-+ 21n n =-+． 所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21n n -+． ----------------3分22. (本小题满分10分)解：设A 种药配x 剂，B 种药配y 剂，销售额为z 元，则目标函数为y x z 32+=， ----------------1分约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+1125342042y x y x y x . ----------------3分不等式组表示的平面区域如图所示．----------------2分目标函数23z x y =+变形为2133y x z =-+，这是斜率为23-，随z 变化的一族平行直线． 13z 是直线在y 轴上的截距，当13z 取得最大值时，z 的值为最大． 由图可知，当直线经过平面区域上的点A 时，z 取得最大值．解方程组24204325x y x y +=⎧⎨+=⎩，得43x y =⎧⎨=⎩，即(4,3)A ----------------2分 所以当直线过点)3,4(A 时,z 取最大值为243317⨯+⨯=．答：配制A 种药4剂，B 种药3剂，可以获得最大销售额为17元. ----------2分23. (本小题满分14分)解：(1)因为椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为63 所以设3,3,6a t b t c t ===（0t >），直线FG ：60x ty t +-=，圆Q ：6363x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，圆心为(6,6)3 ------2分 则圆心(6,6)Q 到直线FG 的距离261h t =+ 2631t =+1t =． ----------2分故直线FG ：60x y +-=，椭圆E ：22193x y +=． ----------2分(2)由220193x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消去y可得2490x -+=， ----------1分设其两个根为12,x x，则1212924x x x x +==，则||AB ==3=， ----------2分 设直线CD 的方程为y x d =+， 由22193y x d x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2246390x dx d ++-=， 则22(6)16(39)0d d ∆=-->，可得||d <||2CD ===，四边形的面积1||||2S AB CD ==， ----------4分 当0d =时，四边形的面积最大，最大值为2． ----------1分。