《数学分析选讲》第二次作业
一．叙述下列定理
1.闭区间套定理；
答：若]},{[n n b a 是一个区间套，则存在唯一一点ξ，使得 ,2,1],,[=∈n b a n n ξ或 ,2,1,=≤≤n b a n n ξ
2.聚点定理；
答：实轴上的每一个有界无穷点集必有聚点.
3.有限覆盖定理
答：闭区间的任一开复盖必有有限子复盖.
4.积分第一中值定理
答：若f 在[]b a ,上连续，则至少存在一点[]b a ,∈ξ，使得
()()().a b f dx x f b a -=⎰ξ 二．求积分
（1）⎰-+-dx x x x )11(323
331233
:(111324
x x dx
dx xdx x dx x x x x -+=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰解
（2）⎰+22d x
x 222221
d 1112:d d arctan 222221122
x x x x x x x ===+++⎰⎰⎰解 （3）dx e e x x 3)1(+⎰ **** 3341:(1)(1)(1)(1)4
x x x x x e e dx e d e e +=++=+⎰⎰解 （4）⎰-357x dx
***
()()()
1322331:75755133755210x d x x x -=---=-⨯=--=⎰解
（5）⎰
xdx x arctan ()2222222222222211:arctan arctan arctan arctan 22
1111arctan arctan 21211111arctan 1arctan 212111(1)arctan 22
x xdx x xdx x x x x x x x x dx x x dx x x x x dx x x dx dx x x x x x C ==-⎛⎫⎛⎫+-=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝
⎭⎝⎭=+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解 （6）⎰
'dx x f e x f )()( ()()()():()f x f x f x e f x dx e df x e c '==+⎰⎰解
（7）⎰2ln e e x x dx
2222ln ln ln 1:ln ln ln ln ln 2ln ln e e e e e x e e e dx d x x x x ===-=⎰⎰解 （8）⎰
-1024dx
x
:32π=+⎰
解 （9）⎰-1
22d ||x x x
1
1
2222||d ||d x x x x x x --=⎰⎰解: 三．讨论无穷积分dx x p
⎰+∞
11的收敛性。

解：当1p ≠时
11
11111111111,10.
11lim 11111,10.lim 11111p p p p x p p
x p
p p x dx x p p p x p dx x p p
dx x
p p x p
dx x dx x
dx p x
-+∞
+∞
-+∞
→+∞+∞-→+∞+∞+∞+∞=-〉-〈-=-=---〈-〉=+∞-〉〈≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰若则故此时是收敛的.若则而故此时是发散的.当p=1时，易知发散.综上所述，无穷积分当时收敛.0p 1时发散.。