第2章 插值法1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。
（1）用单项式基底。
（2）用Lagrange 插值基底。
（3）用Newton 基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。
解：（1）用单项式基底设多项式为:2210)(x a x a a x P ++=，所以：6421111111111222211200-=-==x x x x x x A 37614421111111424113110111)()()(222211200222221112000-=-=---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2369421111111441131101111)(1)(1)(12222112002222112001=--=--==x x x x x x x x f x x f x x f a 6565421111111421311011111)(1)(1)(12222112002211002=--=---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：2652337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底)21)(11()2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l)21)(11()2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l)12)(12()1)(1())(())(()(1202102+-+-=----=x x x x x x x x x x x lLagrange 插值多项式为：372365)1)(1(314)2)(1(61)3(0)()()()()()()(22211002-+=+-⨯+--⨯-+=++=x x x x x x x l x f x l x f x l x f x L所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下：Newton 372365)1)(1(65)1(230))(](,,[)](,[)()(21021001002-+=+-+-+=--+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。
6、在44≤≤-x 上给出xe xf =)(的等距节点函数表，若用二次插值求e x 的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h 应取多少？ 解：以x i-1,x i ,x i+1为插值节点多项式的截断误差，则有),(),)()()((!31)(11112+-+-∈---'''=i i i i i x x x x x x x x f x R ξξ式中.,11h x x h x x i i +=-=+-3434114239313261))()((max 61)(11h e h e x x x x x x e x R i i i x x x i i =≤---=+-≤≤+-令6341039-≤h e 得00658.0≤h插值点个数12178.12161)4(41≤=---+N 是奇数，故实际可采用的函数值表步长006579.0121681)4(4≈=---=N h8、13)(47+++=x x x x f ，求]2,,2,2[710 f 及]2,,2,2[810 f 。
解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系：],[,!)(],,,[)(10b a n fx x x f n n ∈=ξξ 所以有：1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(71===ξf f 0!80!8)(]2,,2,2[)8(81===ξf f15、证明两点三次Hermite 插值余项是),(,!4/)())(()(1212)4(3++∈--=k k k k x x x x x x fx R ξξ并由此求出分段三次Hermite 插值的误差限。
证明：利用[x k ，x k+1]上两点三次Hermite 插值条件)()(),()()()(),()(11331133++++'=''='==k k k k k k k k x f x H x f x H x f x H x f x H 知)()()(33x H x f x R -=有二重零点x k 和k+1。
设2123)())(()(+--=k k x x x x x k x R确定函数k(x):当k x x =或x k+1时k(x)取任何有限值均可；当1,+≠k k x x x 时，),(1+∈k k x x x ，构造关于变量t 的函数2123)())(()()()(+----=k k x x x x x k t H t f t g显然有)(,0)(0)(,0)(,0)(11='='===++k k k k x g x g x g x g x g在[x k ,x][x,x k+1]上对g(x)使用Rolle 定理，存在),(1x x k ∈η及),(12+∈k x x η使得0)(,0)(21='='ηηg g在),(1ηk x ，),(21ηη，),(12+k x η上对)(x g '使用Rolle 定理，存在),(11ηηk k x ∈，),(212ηηη∈k 和),(123+∈k k x ηη使得0)()()(321=''=''=''k k k g g g ηηη再依次对)(t g ''和)(t g '''使用Rolle 定理，知至少存在),(1+∈k k x x ξ使得0)()4(=ξg而!4)()()()4()4()4(t k t f t g -=，将ξ代入，得到)(),(!41)(1,)4(+∈=k k x x f t k ξξ 推导过程表明ξ依赖于1,+k k x x 及x综合以上过程有：!4/)())(()(212)4(3+--=k k x x x x f x R ξ 确定误差限：记)(x I h 为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite 插值函数。
nab h n k kh a x k -==+=),,1,0(, 在区间[x k ，x k+1]上有212)4(212)4()()(max )(max !41!4/)())(()()(1+≤≤≤≤+--≤--=-+k k x x x bx a k k h x x x x x f x x x x f x I x f l k ξ而最值)(,161)1(max )()(max 4422102121sh x x h h s s x x x x k s k k x x x l k +==-=--≤≤+≤≤+ 进而得误差估计：)(max 3841)()()4(4x f h x I x f bx a h ≤≤≤-16、求一个次数不高于4次的多项式)(x p ，使它满足0)0()0(='=p p ，0)1()1(='=p p ，1)2(=p 。
解：满足0)0()0(33='=H H ,1)1()1(33='=H H 的Hermite 插值多项式为)1,0(10==x x322213332010)1(01001121)]()()()([)(x x x x x x x x H x a x H x H j j j j j -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---='+=∑=β设223)1()()(-+=x Ax x H x P ，令1)2(=P 得41=A 于是222232)3(41)1(412)(-=-+-=x x x x x x x P 第3章 曲线拟合的最小二乘法解：经描图发现t 和s 近似服从线性规律。
故做线性模型{}t span bt a s ,1,=Φ+=，计算离散内积有：()611,1502==∑=j ，()7.140.59.30.39.19.00,15=+++++==∑=j j t t()63.530.59.30.39.19.00,222222502=+++++==∑=j j t t t()280110805030100,150=+++++==∑=j js s()10781100.5809.3500.3309.1109.000,5=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==∑=jj j s t s t求解方程组得：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛107828063.537.147.146b a 855048.7-=a ，253761.22=b运动方程为：t s 253761.22855048.7+-= 平方误差：[]2252101.2)(⨯≈-=∑=j j jt s sδ用最小二乘法求形如2bx a y +=的经验公式，并计算均方差。
解： {}2,1x span =Φ，计算离散内积有：()511,142==∑=j ，()53274438312519,122222422=++++==∑=j j x x()72776994438312519,444444422=++++==∑=j jx x x()4.2718.973.730.493.320.19,14=++++==∑=j jy y()5.3693218.97443.73380.49313.32250.1919,22222422=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==∑=j j jy xy x求解方程组得：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5.3693214.2717277699532753275b a 972579.0≈a ，05035.0=b所求公式为：205035.0972579.0x y+=均方误差：[]1226.0)(2124≈⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-=∑=j jj y x y δ 第4章 数值积分与数值微分1、确定下列求积分公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：（1）101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰；（2）21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰；（3）1121()[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -≈-++⎰；（4）20()[(0)()]/2[(0)()]hf x dx h f f h ah f f h ''≈++-⎰。