解：以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有
式中
令得
插值点个数
是奇数，故实际可采用的函数值表步长
8、，求及。
解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系：
所以有：
15、证明两点三次Hermite插值余项是
并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。
证明：利用[xk，xk+1]上两点三次Hermite插值条件
数值分析作业答案
插值法
1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。
（1）用单项式基底。
（2）用Lagrange插值基底。
（3）用Newton基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。
解：（1）用单项式基底
设多项式为:，
所以：
所以f(x)的二次插值多项式为：
（2）用Lagrange插值基底
(3)
18、用三点公式求在处的导数值，并估计误差。的值由下表给出：
1.01.11.2
0.25000.22680.2066
解：三点求导公式为
取表中，分别将有关数值代入上面三式，即可得导数近似值。
由于
从而可求得误差上限与导数值如下：
X1.01.11.2
三点公式-0.247-0.217-0.187
误差0.00250.001250.0025
综合以上过程有：
确定误差限：
记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。
在区间[xk，xk+1]上有
而最值
进而得误差估计：
16、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。
解：满足,的Hermite插值多项式为
设，令得
于是
第3章曲线拟合的最小二乘法
16、观测物体的直线运动，得出以下数据：
解得。所求公式至少具有2次代数精确度。又由于
故具有3次代数精确度。
（2）
分别代入公式两端并令其左右相等，得
解得：
令得
令，得
故求积分公式具有3次精确度。
（3）
当时，易知有
令求积分公式对准确成立，即
则解得或
将代入已确定的积分公式，则
故所求积分式具有2次代数精确度。
（4）
当时，有
故令时求积公式准确成立，即
（1）；
（2）；
（3）。
解：（1）
00.7717433
1
0.72806990.7135121
2
0.71698280.71328700.7132720
3
0.71420020.71327260.71327170.7132717
(2)
03.4513132*10-6
18.6282830*10-7-4.4469230*10-21
Lagrange插值多项式为：
所以f(x)的二次插值多项式为：
(3)用Newton基底:
均差表如下：
xkf(xk)一阶均差二阶均差
10
-1-33/2
247/35/6
Newton插值多项式为：
所以f(x)的二次插值多项式为：
由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。
6、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？
（1）考察用雅可比迭代法，高斯-塞德迭代法解此方程组的收敛性；
（2）用雅可比迭代法，高斯-塞德迭代法解此方程组，要求当时迭代终止。
解：（1）因系数矩阵按行严格对角占优，故雅可比迭代法与高斯-塞德迭代法均收敛。
（2）雅可比迭代法格式为
取，迭代到17次达到精度要求
高斯-塞德迭代格式为
取，迭代到8次达到精度要求
从而有
（2）右矩形公式，同（1），将f（x）在b点处展开并积分，得
（3）中矩形分式，将在处展开，得
两边积分并用积分中值定理，得
6、若分别使用复合梯形公式和复合辛普森公式计算积分，问区间应分多少等份才能使截断误差不超过。
解：由于
由复合梯形公式的余项有：
解得可取
由辛普森公公式的余项有：
解得可取
8、用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过
理论解-0.25-0.2159594-0.1878287
数值积分法,令，由
对积分采用梯形公式，得
令k=0,1,得
同样对
有
从而有
代入数值，解方程，即得如下
X1.01.11.2
三点公式-0.247-0.217-0.187
误差-0.25-0.2159594-0.1878287
理论解-0.25-0.2159594-0.1878287
知有二重零点xk和k+1。设
确定函数k(x):
当或xk+1时k(x)取任何有限值均可；
当时，，构造关于变量t的函数
显然有
在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理，存在及使得
在，，上对使用Rolle定理，存在，和使得
再依次对和使用Rolle定理，知至少存在使得
而，将代入，得到
推导过程表明依赖于及x
i012345
时间t/s00.91.93.03.95.0
距离s/m010305080110
求运动方程。
解：经描图发现t和s近似服从线性规律。故做线性模型，计算离散内积有：
，
求解方程组得：
，
运动方程为：
平方误差：
17、已知实验数据如下：
i01234
Xi1925313844
Yi19.032.349.073.397.8
第5章解线性方程的直接方法
7、用列主元消去法解线性方程组
并求出系数矩阵A的行列式的值。
8、用直接三角分解求线性方程组的解。
解：由公式
知
2
-36
12、设,计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。
解：
13、求证：（1）；（2）
证明：（1）由定义知
（2）由范数定义，有
故
第6章解线性方程的迭代法
1、设线性方程组
第七章
第八章
第九章
用最小二乘法求形如的经验公式，并计算均方差。
解：，计算离散内积有：
，
求解方程组得：
，
所求公式为：
均方误差：
第4章数值积分与数值微分
1、确定下列求积分公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
解：（1）；
将分别代入公式两端并令其左右相等，得
解得。
将代入上述确定的求积分公式，有
故所求积公式具有3次代数精确度。
2、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：
（1）
（2）
（3）
解（1）复化梯形公式，
复化辛普森公式，
（2），
（3），
5、推导下列三种矩形求积公式：
；
；
。
解：（1）左矩形公式，将f(x)在a处展开，得
两边在[a,b]上积分，得
由于x-a在[a,b]上不变号，故由积分第二中值定理，有