0
i
0


0
K


2 i0
M

i
0

K
0


2 i0
M
0

i

2i0
i
M
0
i
0


0 (7)
将式(5)式代入(7)，然后左乘以

T
j0
，并考虑到式(3)，可得
T j0
另有两种称为半灵敏度的定义：①应变量的变化／自变量 的相对变化；②应变量的相对变化／自变量的变化。
§11-2 基本原理
系统运动微分方程为：
M 0 X0 K0 X 0 0 (1)
各阶固有频率和相应的模态向量为
120


2 i0

2 20
i i0


A A


U
e i0
Ti
2 i0
e 0
Uie ─单元(节点)e的第i阶模态势能增量；
Tie ─单元(节点) e的第i阶模态动能增量。
敏感位置取决于桁杆单元的模态动能和模态势能。
５、梁单元的灵敏度分析
梁单元的灵敏度
i
i0

1
2 i0
Ae
另一方面，即使有限元模型置信度很高，但随着机械设备向 高速化、轻量化、大型化、复杂化方向的发展，人们不可能 一次设计出高质量的产品，而必须对结构作优化设计，即要 多次修改设计（有限元模型），进行重分析和计算，直到产 品的动特性达到满意的要求。这就是动力修改的问题。
结构动力修改具有两方面的工程含义：一是计算模型的修 改，二是结构的动力修改。前者是用从模态试验中获得的 结构模态参数测试数据（作为基准）对有限元模型进行修 正，以获得置信度较高、能准确反映结构动态特性的数学 模型。
i i0 i
i i0 i (4)
n
i ij j0 (5)
j 1
K i2M i 0 (6)
将式(4)代入式(6)，展开后略去二阶及二阶以上的小量， 并考虑到
K0

2 i0
M
K

2 i0
M
i0
ij
2 j0

2 i0
2i0iij 0 ( 8)
ij

0 1
i j i j
当i＝j时，有
i
i0

i0T
K

2 i0
2i20
M

i0

( 9)
当i≠j时，有
ij


0 10 20 n0 (2)


2 n0

0 T M0 0 I
0T
K0 0
2 i0
( 3)
若：
K K0 K M M 0 M


1 2
ms
s 2 xi


s2 yi


s zi
2


Ti0s
2 i0
Ts i0
为原结构节点处的第阶模态动能。
对某阶模态而言，哪个节点的模态动能大，哪个节点 即是质量修改的敏感节点。
２、节点加弹簧灵敏度分析 经过推导，可得节点加弹簧灵敏度



i i0


K s Ks

Ae
U
e A
T
e

J
e x
J
e x
T j0
K

2 i0
M
2 i0


2 j0
i0 ( 10)
为了求 ii ，可令
iTM i1 ( 11)
将式(4)、(5)代入式(11)，并考虑到式(3)，可得
ii


1 2
i0
T
M
i
0
( 12)
１、点加质量灵敏度分析
经过推导，可得点加质量灵敏度
第十一章 结构动态特性的灵敏度分析及动力修改
§11-1 引言
由于力学上的假设、简化处理等，所建立的有限元模型往 往与实际结构有着一定的差距：如质量阵中不能确切反映 惯性力的分布、各构件（单元）间的联接、边界的约束条 件、阻尼情况等，都与实际情况并不完全相符；
另外，计算机容量和运算速度，也限制了单元的过细划分 和自由度数的设置。这就使结构的动态特性计算精度不够， 从而必须对有限元模型进行修正。
后者则包含正、反两方面的问题，正问题是指：若对结构 作了小改动，在原结构模态参数已知的条件下，如何快速 有效地获得改动后的结构模态参数。
反问题是指：若原结构动态特性不合要求，如何修改结构 物理参数及确定修改量，使其动特性满足给定的要求。
为了有效地进行结构的动态设计与修改，人们必须了解哪 些物理参数对结构的动特性影响较大（也就是说研究结构 的动特性对这些结构参数的敏感程度）。
比如在结构上何处加质量、何处加弹簧，在哪两点之间加 杆，如何改变单元刚度（几何尺寸、形状等）等，使结构 某些指定的模态参数变化最大。这就是所谓的结构动态特 性的灵敏度分析。灵敏度分析理论为人们有目的的修改结 构指明了方向，从而优化设计、减少费用、缩短设计周期、 提高效率。
灵敏度定义：①应变量的变化／自变量的变化；②应变量 的相对变化／自变量的相对变化。


Ks
2i20
s ri
对每个节点S，哪个方向的模态线位移最大，哪个方向就是 该点所加弹簧的方向；对某阶模态，哪个节点的模态线位 移大，则哪个节点即是点加刚度修改的敏感节点。
３、两点间加杆（弹簧）的灵敏度分析 两点间加杆（弹簧）的灵敏度



i i0


E A L

1
2i20

1 L2

Lr
rx,y,z
i rn

i rm
2
L2
2E
2 i0
i rj
2

jm,n rx, y,z
哪两点间相对位移大，则在这两点间加杆最灵敏度
４、桁杆单元灵敏度分析
桁杆单元的灵敏度



i
i0


1 2
ms
s 2 xiຫໍສະໝຸດ s 2 yi s 2 zi
式中：m s
为在节点处所加的质量，
s xi
、
s yi
、
s zi
分别
为原结构第i阶模态在节点处的x、y、z方向线位移分量。
定义相对灵敏度：



i i0


ms ms