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泛函分析习题

泛函分析复习资料
一、判断题(每小题4分,共20分)
1、设X 是线性赋范空间,X 中的单位球是列紧集,则X 必为有限维。

( )
2、 距离空间中的列紧集都是可分的。

( )
3、 若范数满足平行四边形法则,范数可以诱导内积。

( )
4、 任何一个Hilbert 空间都有正交基。

( )
5、设X 是线性赋范空间,T 是X X 的有界线性算子,若T 既是单射又是满射,则T 有逆算子。

( )
二、选择题(每小题5分,共25分)
1、设X 是赋范线性空间,X y x ∈,,T 是X 到X 中的压缩映射,则下列哪个式子成立( ).
A .10<<-≤-αα, y x Ty Tx B.1≥-≤-αα, y x Ty Tx C.10<<-≥-αα, y x Ty Tx
D.1≥-≥-αα, y x Ty Tx 2、设X 是线性空间,X y x ∈,,实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件:( ). A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤
3、下列关于距离空间中的点列的说法哪个是错误的( ).
A .收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列
C .基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列
4、巴拿赫空间X的子集空间Y为完备的充要条件是(). A.集X是开的 B.集Y是开的
C.集X是闭的
D.集Y是闭的
5、设(1)
p
l p
<<+∞的共轭空间为q l,则有11
p q
+的值为().
A.1- B.1
2C.1 D.1
2
-
三、填空题(每小题5分,共25分)
1、距离空间中的每一个收敛点列都是()。

2、任何赋范线性空间的共轭空间是()。

3、1l的共轭空间是()。

4、设X按内积空间<x,y>成为内积空间,则对于X中任意向量x,y 成立不等式()当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。

5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子,则T为自伴算子的充要条件是()。

四、证明题(每小题15分,共15分)
1、若T为Banach 空间X上的无界闭算子,证明T的定义域至多只能在X中稠密。

《泛函分析》复习资料参考答案
一、判断题(每小题4分,共20分)
1、对
2、对
3、错
4、错
5、错
二、选择题(每小题5分,共25分)
1、A
2、D
3、B
4、D
5、D
三、填空题(每小题5分,共25分)
1、柯西点列
2、巴拿赫空间
3、 l
4、|<x,y>|≦||x||||y||
5、对于一切x∈X,<TX,X>是实数
四、证明题(每小题15分,共15分)
1、证:反证法。

若T为定义在整个空间X上的闭算子,
由于X为闭集,而X为Banach空间,由闭图像定理可知,T为X到X的有界闭算子,这与T为无界闭算子矛盾,原命题成立。

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