2020年广州市数学中考试卷第I 卷一、选择题（本题共有15小题，第1—1l 题每小题2分，第12～15题每小题3分，共34分）2211222112c ．2321-=+x x ，x 1 x 2＝－2 D ．2321=+x x ，x 1 x 2＝25．若点A （m ，n ）在第三象限，则点B （－m ，－n ）在（ ）． A ．第一象限 D ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．已知2是关于x 的方程23x 2－2a ＝0的一个解，则2a －l 的值是（ ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．67．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+032012y x x y x 的解是（ ）． A ．⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==21012211y x y x ，；，B ．⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==21012211y x y x ，；， C ．⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=21012211y x y x ，；， D ．⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=21012211y x y x ，；，）．C ．2（x ＋2）2－5D ．2（x ＋2）2－9 13．把方程21)3(2222=+-+y x y x 化为整式方程，得（ ）． A ．x 2＋3y 2＋6x －9＝0 B ．x 2＋3y 2－6x －9＝0 C ．x 2＋y 2－2x －3＝0 D ．x 2＋y 2＋2x －3＝014．已知点A 和点B （图1），以点A 和点B 为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可作出（ ）．图1A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个15．若两个半径不等的圆相外切，则它们的一条外公切线的长（ ）． A ．大于这两圆半径的和 B ．等于这两圆半径的和 C ．小于这两圆半径的和D ．与这两圆半径之和的大小关系不确定第Ⅱ卷二、填空题（本题共有7小题，第16—20题每小题2分，第2l 、22题每小题3分，共16分）16．求值：︒⨯︒45cos 2260sin 21＝ ． 17．函数32+--=x x y 中，自变量x 的取值范围是 ． 18．在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，若AE ＝4，EB ＝7，CE ＝28，则ED ＝ ．19．已知：如图2，⊙O 的半径为l ，C 为⊙O 上一点，以C 为圆心，以1为半径作弧与⊙O 相交于A 、B 两点，则图中阴影部分的面积是 ．图220．D 是半径为5cm 的⊙O 内的一点，且OD ＝3cm ，则过点D 的所有弦中，最小的弦AB ＝ cm ．21．抛物线y ＝x 2＋6x ＋5的顶点坐标是 ．22．如果圆锥的底面圆的半径是8，母线的长是15，那么这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数是．三、（本题满分8分）23．已知：点A（图3）．图3求作：（1）⊙O，使它经过点A；（2）直角三角形ABC，使它内接于⊙O，并且∠B＝90°．（说明；要求写出作法，只要求作出符合条件的一个圆和一个三角形．）四、（本题共2小题，每小题9分，共18分）24．如图4，燕尾槽的横断面是等腰梯形，其中燕尾角∠B＝55°，外口宽AD＝190mm，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口宽BC（精确到lmm）．（已知cot55°＝0.7002）图4千米，由B至A逆水航行每小时走25．一艘船由A至B顺水航行每小时走v1v千米，求此船在A、B间往返一次平均每小时走多少千米?2五、（本题满分12分）26．已知点A（1，2）和B（—2，5）．试写出两个二次函数，使它们的图象都经过A、B两点．六、（本题满分12分）27．如图5，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A＝28°．图5（1）求∠ACM的度数；（2）在MN上是否存在一点D，使AB·CD＝AC·BC，为什么?七、（本题共有2小题，每小题11分，共22分）28．如图6，有一块锐角三角形的木板，现要把它截成半圆形板块（圆心在BC 上）．问怎样截取才能使截出的半圆形的面积最大（要求说明理由）?图629．已知一次函数y ＝－x ＋6和反比例函数xky（k ≠0）． （1）k 满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系xOy 中的图象有两个公共点?（2）设（1）中的两个公共点分别为A 、B ，∠AOB 是锐角还是钝角? 八、（本题满分14分） 30．（1）已知：如图7，过B 、C 两点的圆与△ABC 的边AB 、AC 分别相交于点D 和点E ，且DE ＝21BC ．求证：S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝31．图7（2）在△ABC 的外部取一点P （直线BC 上的点除外），分别连结PB 、PC ，∠BPC 与∠BAC 的大小关系怎样?（不要求证明）九、（本题满分14分）31．在车站开始检票时，有a （a ＞0）名旅客在候车室排队等候检票进站．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需l0分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口?试卷答案第I卷一、1．B判14．C（题14中，连结AB，则AB可能是直角边，也可能是斜边，当AB是直角边时，以A为直角顶点，可作两个Rt△；同样分析以B为直角顶点时，可作两个等腰Rt△，以AB为斜边时，又可作两个等腰Rt△，故共可作6个。
）15．C第Ⅱ卷二、（16～20题，每题满分2分；2l～22题，每题满分3分，共16分）16．8317．x≥2 18．1 19．2332-π20．8（题20中，过⊙O内一点D的最长弦是直径，最短弦是与过D点直径垂直的弦。
）21．（－3，－4） 22．192°三、23．（1）作法：①取—点O（不同于点A）；②以O为圆心，OA为半径作圆，则⊙O为所求．（2）作法：①作⊙O的直径AC；②在⊙O上取一点B，分别连结AB和BC．则△ABC为所求．四、24．解：连结AD，过点A作AE⊥BC，垂足为E．在Rt△ABE中，∠B＝55°，AE＝70mm．BE＝AE·cotB＝70×0.7002≈49.0。
BC＝2BE＋AD≈98＋190＝288（mm）．25．解：设A、B间的航程为S千米．依题意，得21212122vvvvvSvSS+=+．答：此船在A、B间往返一次平均每小时走21212vvvv+千米．（题25是代数式的应用题，A、B间距离可设为S千米，也可设成单位1，易错成把两个已知速度相加除以2就得平均速度。
）五、26．本题答案不唯—，下列解法仅供评分比照．解法一：抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（1，2），B（一2，5）两点．得⎩⎨⎧+-=++=②．①，cbacba2452②一①得3a－3b＝3，a－b＝1．设a＝2，则b＝1．代入①得c＝－1，得y＝2x2＋x－1；设a＝1，则b＝0．代入①得y＝x2＋1．解法二：抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（1，2），B（－2，5）和C（0，0）三点，依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=．，，ccb2a45cba2解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===，，，2123cba得xxy21232+=．用同样的方法可得另一个二次函数。
（题26是开放型考题，可以设出函数解析式y＝ax2＋bx＋c（a≠0），把A，B坐标代入求出过这两点的函数解析式的通式，再任取点的坐标代入，也可直接再取一个点的坐标与A，B坐标结合求出解析式。
）六、27．解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB＝90°．又∵∠A＝28°，∴∠B＝62°．又MN是切线，C为切点，∴∠ACM＝62°．（2）在MN上存在符合条件的点D．证明如下：过点A作AD⊥MN，垂足为D．在Rt△ABC和Rt△ACD中，∵MN切半圆ACB于点C，∴∠B＝∠ACD ∴△ABC∽△ACD．∴CDBCACAB=．∴AB·CD＝AC·BC．另证：过点C作CE⊥AB，垂足为E．在MN上截取CD＝CE．∵SRt△ABC＝21AC·BC＝21AB·CE．∴AB·CE＝AC·BC．∴AB·CD＝AC·BC．（题27（2）的结论与比例线段有关，可联想构造Rt△；又AC、BC是Rt△ABC中两直角边乘积，也可从面积法角度探寻解题途径。
）七、28．解：作△ABC的角平分线AD，作DE⊥AC，垂足为E．以点D为圆心，以DE为半径在△ABC内作半圆，交BC于点F和点G，则依样截出的半圆形板块的面积最大．现证明如下：在BC上任取一点P（不同于点D），作PQ⊥AC，PR⊥AB，垂足分别为Q、R，连结AP，则PQ＝APsin∠PAQ，PR＝APsin∠RAP．∵∠PAQ＜∠RAP，∴sin∠PAQ ＜sin∠RAP．∴PQ＜PR．因此，以点P为圆心，在△ABC内所作面积最大的半圆应是以PQ为半径的半圆．PQ＝PCsinC，DE＝DCsinC．∵PC＜DC，∴PQ＜DE．∴以点D为圆心，以DE为半径的半圆的面积大于以点P为圆心，以PQ为半径的半圆的面积．另证：以BC为轴，把△ABC翻折（如图），则在四边形ABA'C中，BC平分∠ABA'，BC平分∠ACA'，所以BC上任一点到BA和BA'的距离相等，到CA和CA'的距离相等．作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．则点D到AB和AC的距离相等．所以点D到AB、BA'、A'C、CA的距离相等．因此，以点D为圆心，DE为半径作⊙D即为四边形ABA'C的内切圆．⊙D即为四边形ABA'C中所作的一切圆中面积最大者．所以，以点D为圆心，以OE为半径在△ABC内作半圆必与AB、AC 相切，且为面积最大者．（题28考查几何最值，其证法采取任取一点作图，与规范作图的面积进行比较，再推出合理性，思路不易为人理解，这种思路教材中出现过，要注意体会。
）29．解：（1）依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧≠=+-=②．①，)0(6k x ky x y 由①，②消去y ，得x 2－6x ＋k ＝0．③ △＝36—4k ，由36—4k ＞0得k ＜9．∴当k ＜9且k ≠0时，方程③有两个不相等的非零的实数解．∴由方程①和②组成的方程组有两个解．故当k ＜9在第k 是＝∠C DBEC ①当点P 取在弓形BAC 内（△ABC 外）或弓形BFC 内时，∠BPC ＞∠BAC ； ②当点P 取在弧BAC 或弧BFC （点A 、B 、C 除外）上时，∠BPC ＝∠BAC ； ③当点P 取在弓形BAC 与弓形BFC 所围成的图形外（除直线BC 上的点）时，∠BPC ＜∠BAC ．（题30（2）中P 的位置不惟一确定，要分类讨论。