xi2(i ) yi2(i )
xi2(i ) yi2(i )
ti
从而
n
s
lim
T 0 i 1
Pi Pi1
x2 (t) y2 (t) dt.
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注1 若曲线 C 由直角坐标方程 y f ( x), x [a, b] 表示,则 C 亦可看作 x x, y f ( x), x [a, b]. 因此当 f 在 [a, b] 上连续可微时,
在 P 处的曲率圆.曲率圆 的半径称为曲率半径, 曲 率圆的圆心称为曲率中心. O
C Pg
1
K g P0
g
x
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例2 如图所示, 火车轨道从直道进入半径为 R 的
圆形弯道时,为了行车安全,必须经过一段缓冲轨
道(用虚线表示),
使得曲率由零连续地变到
1 R
,
以保证火车行驶安全
y
(使火车的向心加速度 a v2 不发生跳跃式的 Q
则
s r 2( ) r2( )d .
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例1 求星形线 x a cos3 t, y a sin3 t, t [0,2π]
的周长.
y
解 x(t) 3a cos2 t sin t,
y(t) 3a sin2 t cos t.
O
ax
π
因此 s 4 2 x2(t ) y2(t )dt 0
T 0 i 1
Pi 1Pi
s 存在, 则称曲线 C 是可求长的,
并定义该极限值 s 为曲线 C 的弧长.
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n
注 可以证明,极限
lim
T 0 i1
Pi 1 Pi
与参数方程的表
示方式无关.
定理10.1 (光滑曲线弧长公式) 设曲线 C 由参数方
程 x x(t), y y(t), t [ , ] 表示. 若C为一光滑
g
(t)
x
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设 (t )表示曲线在点 P( x(t), y(t)) 处切线的倾角,
Δ (t Δt) (t) 表示动点由 P 沿曲线移至
Q( x(t Δt), y(t Δt)) 时切线倾角的增量.若 »PQ
之长为 Δs ,则称
K Δ
Δs 为弧段 »PQ 的平均曲率.如果存在有限极限
i1
i 1
x2 (i
)
y2 (i )Δti
.
由于 x2(t) y2(t) 在 [ , ] 上连续,从而可积，
因此
n
lim
T 0 i 1
x2 (i ) y2 (i )Δti
x2 (t ) y2 (t ) dt.
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由第一章§1习题 6 可知
x2(i ) y2(i ) x2(i ) y2(i ) y(i ) y(i ) . 又 y(t) 在 [ , ] 上连续,从而在 [ , ] 上一致连续,
3π 处曲率最小,
2
Kmax
a b2
, Kmin
b a2
.
由例1可得,若
a
b
R,
则各点处曲率相等,
为
1 R
.
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显然, 直线上各点处的曲率为 0.
设曲线上一点P处曲率 K 0.若过 P 作一个半径为
1 的圆, 使它在点 P 处与曲线有相同的切线,
K 并在 P 近旁与曲线位于切线的同侧(见图). 我们把这个圆称为曲线 y
π
4 2
3a cos2 t sin t
2
3a sin2 t cos t
2
dt
0
12a
π 2
sin
t
cos
tdt
12a
sin2
t
0
2
π 2
0
6a.
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例 2 求悬链线 y ex ex 在 [0, a] 上的一段弧长.
2
解 y ex ex , 1 y2 (ex ex )2 .
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定义2 设平面曲线 C 由参数方程
x x(t), y y(t), t [, ]
表示.对 [ , ]的一个分割
T : t0 t1 L tn ,
T
max(Δt i
i
)，
相应地对 C 有一个分割,即 C 上有分点
A P0 , P1,L , Pn B.
n
若
lim
Δyi y(ti ) y(ti1 ) y(i )Δti , i [ xi1 , xi ].
于是
n
n
Pi Pi1
xi2 yi2
i 1
i 1
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n
x2(i ) y2(i )ti
i 1
n
x2(i ) y2(i )ti
i 1
n
n
x2 (i ) y2 (i )Δti
曲线, 则 C 是可求长的, 且弧长为
s
x2(t ) y2(t ) dt.
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证 设[ , ]的任一分割
T : t0 t1 tn1 tn .
在 [ti1, ti ] 上由微分中值定理,
Δxi x(ti ) x(ti1 ) x(i )Δti , i [ xi1 , xi ],
Δ
Δ d
K lim lim ,
t0 Δs s0 Δs ds
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则称此极限 K 为曲线 C 在点 P 的曲率.
由于曲线光滑,故总有
(t) arctan y(t) 或 (t) arccot x(t) .
x(t )
y(t )
若 x(t), y(t) 二阶可导,则由
可得
s(t) x2(t) y2(t)1 2
2
4
因此 s a 1 y2dx a ex e x dx ea ea .
0
02
2
例3 求阿基米德螺线 r a , [0,2π](a 0) 的一
段弧长.
解 s 2π r 2( ) r2( ) d a 2π 1 2d
0
0
a 2
2π
1 4π2 ln(2π
1 4π2 ) .
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*二、平面曲线的曲率
曲率是刻画曲线的弯曲程度的一个概念.如图所示, 在光滑曲线 C 上, 弧段 »PQ 与 Q»R 的长度相差不 多而弯曲程度却很不一样. y
这反映动点沿曲线从P 移
到Q 时, 切线转过的角度 Δ
比动点从Q 移到 R 时切线.
转过的角度Δ 要大得多 O
C Pg
Rg
Q
因此对任意 0, 存在 0, 当 T 时,
y(i )
y(i )
,
i 1, 2,L , n.
n
于是,
i 1
x2 (i ) y2 (i ) x2 (i ) y2 (i ) Δti
n
y(i ) y(i )Δ ti ,
i 1
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即
n
lim
T 0
i 1
0,
s b 1 f 2( x) dx. a
注2 若曲线 C 由极坐标方程 r r( ), [ , ] 表
示,则 C 又可看作
x r( )cos , y r( )sin , [, ].
由于
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x( ) r( )cos r( )sin , y( ) r( )sin r( )cos , x2( ) y2( ) r2( ) r2( ), 若 r( )在 [ , ] 上连续,且 r( ) 与 r( ) 不同时为零,
4R2l 2 x4 3 2
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当 x 从 0 变为 x0 时,曲率 K 从 0 连续地变为
K0
8R2l 2 x0 1
8l 2 x0
.
4R2l 2 x04 3 2
R
4l
2
x04 R2
3
2
当
x0
l,且
x0 R
很小时,K0
1 R
. 因此曲线段
O»A
的曲率从 0 渐渐增加到接近于 1 , 从而起到缓冲 R
式的突变).
B R
l gA( x0 , y0 )
O
g
C( x0 , 0)
x
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图中 x 轴 ( x 0)表示直线轨道,»AB是半径为R的 圆弧轨道,O»A为缓冲轨道. 缓冲曲线常采用三次 曲线
y x3 , 6Rl
其中 l 是 O»A 的弧长.对此曲线用曲率公式求得: K 8R2l2x .
d
ds
(t )
s(t )
x(t) y(t) x(t) y(t) x2 (t ) y2 (t )3 2 .
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即
xy xy
K ( x2 y2 )3 2 .
若曲线由 y f ( x) 表示,则 y
K (1 y2 )3 2 . 例1 求椭圆 x a cos t, y bsin t, 0 t 2π 上曲率
§3 平面曲线的弧长与曲率
本节定义光滑曲线的弧长,并用定积分给出弧长计 算公式.
一、平面曲线的弧长
定义1 设平面曲线 C 由以下参数方程表示:
x x(t), y y(t), t [, ].
如果 x(t)与 y(t)在[ , ]上连续可微, 且 x(t)与 y(t)
不同时为零，则称 C 为一光滑曲线.
作用.
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最大和最小的点.
解 由于 x a sin t, x(t) a cos t, y bcos t, y bsin t,
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因此椭圆在各点的曲率为
K
(a2 sin2 t