函数对称性、周期性和奇偶性
关岭民中数学组
(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性）
1、奇偶性:（1）奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)
()(x f x f （2）偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式
)()(x f x f 2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性
（1）函数的轴对称：
函数)(x f y
关于a x 对称)()(x a f x a f )()(x a f x a f 也可以写成)2()
(x a f x f 或)2()(x a f x f 若写成：
)()(x b f x a f ，则函数)(x f y 关于直线22)()
(b a x b x a x 对称
证明：设点),(11y x 在)(x f y
上，通过)2()(x a f x f 可知，)2()(111x a f x f y ，即点)(),2(11x f y y x a 也在上，而点
),(11y x 与点),2(11y x a
关于x=a 对称。

得证。

说明：关于a x
对称要求横坐标之和为2a ，纵坐标相等。

∵1111(,)(,)a x y a x y 与关于x
a 对称，∴函数)(x f y 关于a x 对称
)()(x a f x a f ∵1111(,)(2,)x y a x y 与关于x
a 对称，∴函数)(x f y 关于a x 对称
)2()(x a f x f ∵1111(,)(2,)x y a x y 与关于x
a 对称，∴函数)(x f y 关于a x 对称
)2()(x a f x f （2）函数的点对称：
函数)(x f y 关于点),(b a 对称b x a f x a f 2)()(。