z ln( x 2 + y 2 + z 2 + 1) dxdydz 例 6 计算 ∫∫∫ 2 2 2 x + y + z +1 V 2 2 2 其中积分区域V = {( x , y , z ) | x + y + z ≤ 1}.
解 积分域关于三个坐标面都对称， 积分域关于三个坐标面都对称， 奇函数, 被积函数是 z 的奇函数
解
由x
2
V 由锥面和球面围成， 采用球面坐标， 由锥面和球面围成， 采用球面坐标，
+ y + z = 2a
2 2 2
⇒
z = x + y
2
r =
2
2a ,
π ϕ = , 4
⇒
V : 0 ≤ r ≤ 2a ,
0≤ϕ ≤
π
4
,
0 ≤ θ ≤ 2π ,
由三重积分的性质知 V =
V = ∫ dθ ∫ dϕ ∫
规定： 规定：
0 ≤ r < +∞, 0 ≤ ϕ ≤ π,
0 ≤ θ ≤ 2π.
如图，三坐标面分别为 如图，
r 为常数
球 面； 圆锥面； 圆锥面； 半平面． 半平面．
z
ϕ
O x θ r
M
y
P
ϕ 为常数 θ 为常数
如图， 如图，
z
设点 M 在 xoy 面上的投影为 P， 点 P 在 x 轴上的投影为 A，
一般地， 平面对称， 一般地，当积分区域V关于 xoy平面对称，且被 积函数 f (x, y, z)是关于 z的奇函数，则三重积分为 的奇函数， 的偶函数， 零，若被积函数 f (x, y, z)是关于 z的偶函数，则三重 平面上方的半个闭区域的三重积分 积分为V在 xoy平面上方的半个闭区域的三重积分 的两倍. 的两倍
4 8
I2 = ∫
2π
0
25 2 dθ dr r 2 r ⋅ r dz = π, 0 6 2
∫ ∫
2
2
45 25 原式 I = π − π = 336π . 3 6
2. 球坐标变换
为空间内一点， 设 M ( x , y , z ) 为空间内一点， 则点 M 可用
来确定， 三个有次序的数 r，ϕ，θ 来确定， 其中 r 为原点 O 与点 M 间的距离， 间的距离，
x
柱面坐标变换的Jacobi行列式为 柱面坐标变换的Jacobi行列式为 Jacobi
cos θ ∂ ( x, y, z ) J= = sin θ ∂ ( r ,θ , z ) 0 − r sin θ r cosθ 0 0 0 = r, 1
∴ ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz
V
= ∫∫∫ f ( r cos θ , r sin θ , z )rdrdθdz .
Q z=a
a , ⇒r= cos ϕ
π x + y =z ⇒ϕ= , 4
2 2 2
a π , 0 ≤ ϕ ≤ , 0 ≤ θ ≤ 2π , ∴V : 0 ≤ r ≤ cos ϕ 4
I = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz
2 2 V
= ∫ dθ ∫ dϕ ∫
0
2π
π 4 0
a cos ϕ 0
r 4 sin 3ϕdr
规定： 规定：
0 ≤ r < +∞ ,
0 ≤ θ ≤ 2 π,
• M ( x,
y, z )
− ∞ < z < +∞ .
x
o
θ
r
P (r ,θ )
•
y
如图， 如图，三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面； 圆柱面； 半平面； 半平面； 平 面．
z
θ 为常数
z 为常数
柱面坐标与直角坐 标的关系为
o
θ
y
x = r cosθ , y = r sin θ , z = z.
∂( x, y, z ) J= ∂ ( r , ϕ ,θ )
sin ϕ cosθ = sin ϕ sin θ cos ϕ
V
r cos ϕ cosθ r cos ϕ sin θ − r sin ϕ
− r sin ϕ sin θ = r 2 sin ϕ r sin ϕ cos θ 0
∫∫∫ f ( x , y, z )dxdydz =
2− r 2 r
r ≤ z ≤ 2−r ,
2 2
I = ∫ dθ ∫ dr ∫ 2
8
r 2 ⋅ rdr
1 2 = 2π ∫ ⋅ ( 2 z ) dz 2 4
1 3 = 2π ⋅ (8 − 2 3 ) = 336π 3
方法二： 方法二：
2 2 D1 : x + y = 16,
0 ≤ θ ≤ 2π 0≤ r ≤ 4 V1 : 2 , r ≤ z≤8 2
D2 : x 2 + y 2 = 4,
0 ≤ θ ≤ 2π 0≤ r ≤ 2 V2 : 2 . r ≤ z≤2 2
D 1
D 2
∴ I = I1 − I 2 = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdydz − ∫∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdydz ,
V1 V2
I1 = ∫
2π
0
45 2 dθ ∫ dr ∫r 2 r ⋅ r dz = π, 0 3 2
2
1 = ∫ du ∫ dv ∫ w cos w ⋅ dw 0 0 0 3 1 1 2 = ∫ w cos w dw 3 0
1 1 1 2
1 2 = sin w 6
1 0
1 = sin1 6
二、常用变换
1. 柱面坐标变换
为空间内一点， 设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，并设点 M 在 xoy 面上的投影 P 的极坐标为 r ,θ，则这样的三 的柱面坐标． 个数 r ,θ , z 就叫点 M 的柱面坐标． z
则 OA = x , AP = y , PM = z .
A
x
ϕ
r
• M ( x, y, z )
z
•
o
θ
y
球面坐标与直角坐标的关系为
x
y
P
x = rsinϕcosθ, y = rsinϕsinθ, z = rcosϕ.
球坐标变换的Jacobi行列式为 球坐标变换的Jacobi行列式为 Jacobi
r2 V: ≤ z ≤ 4 − r 2， 3
0 ≤ r ≤ 3,
0 ≤ θ ≤ 2π .
I = ∫ dθ ∫ dr ∫r 2
0 0
3
2π
3
4− r 2
z ⋅ rdz
13 = π. 4
例 3 计算 I =
2
( x 2 + y 2 )dxdydz ， 其中V 是 ∫∫∫
V
曲线 y = 2 z ， x = 0 绕 z 轴旋转一周而成的曲 所围的立体. 面与两平面 z = 2, z = 8所围的立体
z ln( x 2 + y 2 + z 2 + 1) ∫∫∫ x 2 + y 2 + z 2 + 1 dxdydz = 0. V
例7
计算
( x + y + z ) 2 dxdydz 其中V 是由抛 ∫∫∫
V
物面 z = x 2 + y 2 和球面 x 2 + y 2 + z 2 = 2 所围成的 空间闭区域. 空间闭区域
0 0 2π
π 4
∫∫∫ dxdydz,
V
2a
0
r 2 sin ϕdr
= 2π ∫
π 4 0
4 ( 2a )3 = π( 2 − 1)a 3 . sin ϕ ⋅ dϕ 3 3
3. 广义球坐标变换
x = ar sin ϕ cos θ y = br sin ϕ sin θ z = cr cos ϕ
0 ≤ r < +∞
201元
一、三重积分的变量变换公式
理 定 设f ( x , y , z )在有界闭区域 V 上可积 , 若变换
T : x = x ( u, v , w ), y = y ( u, v , w ), z = z ( u, v , w ), 将 uvw
空间中的区域 V ' 一对一的映成 xyz空间中的区域 V ,
I = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz = ∫ dθ ∫ rdr ∫ r 2dz
V
a
a4 a5 π 5 3 = 2π ∫ r (a − r )dr = 2π[a ⋅ − ] = a . 0 10 4 5
例 5 求曲面 x2 + y2 + z2 ≤ 2a2与 z ≥ x2 + y2 成的立体体积. 所围 成的立体体积
函数 x ( u, v , w ), y ( u, v , w ), z ( u, v , w )及它们的一阶偏
导数在 V '内连续 , 且函数的行列式
则
∂( x, y, z ) J ( u, v , w ) = ≠ 0, ( u, v , w ) ∈ V '. ∂ ( u, v , w )
∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz
∴
∫∫∫ xzdv = 0,
V
2 V
由对称性知
则I =
∫∫∫ x dv = ∫∫∫ y dv ,
2 V
2
∫∫∫ ( x + y + z )
V
2 2 V
dxdydz
= ∫∫∫ ( 2 x + z )dxdydz ,