33第一类换元积分法§3.3 第一类换元积分法教学目的：使学生理解第一类换元积分法，掌握第一类换元积分法的一般步骤及其应用。

重点：第一类类换元积分法及其应用 难点：第一类类换元积分法及其应用教学过程：一、问题的提出不定积分的概念较为简单，但从计算上讲是较为繁杂的，如同数学中一般逆运算比正运算困难一样，不定积分作为微分运算的逆运算，其难易程度却相差甚远，若把求导数比喻为将一根绳子打结，求不定积分则是解结，解结显然比打结难，有时甚至解不开。

而且利用直接积分法所能计算的不定积分是非常有限的，因此，有必要进一步研究不定积分的其它计算方法，由复合函数的求导法则可推得一种十分重要的积分方法——换元积分法（通常简称换元法）。

该法可分为两类，即第一类和第二类换元法。

本节将介绍第一类换元法。

二、第一类换元积分法（凑微分法）我们将把复合函数的求导法反过来用于求不定积分，即利用变量代换的方法将所要求的不定积分变为基本积分表中所已有的形式或原函数为已知的其他形式来求函数的不定积分，这种方法称为换元积分法。

下面先介绍第一类换元积分法。

定理 设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式⎰⎰=='⋅)(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ证明 设)(u f 具有原函数)(u F ，即)(u F '=)(u f ，⎰du u f )(=Cu F +)(. 又因为u 是关于x 的可导函数)(x u ϕ=,所以有⎰⎰⎰+==='⋅C x F x dF x d x f dx x x f )]([)]([)]([)]([)()]([ϕϕϕϕϕϕ 又)(])([x u du u f ϕ=⎰)(])([x u C u F ϕ=+=C x F +=)]([ϕ从而推得⎰⎰=='⋅)(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ 证毕推论 若 ⎰dx x f )(=C x F +)(成立，则⎰du u f )(=Cu F +)(.也成立，其中u 为x 的任一可导函数该推论表明：在基本的积分公式中，把自变量x 换为u 的任一可导函数后，公式仍成立，这就大大的扩大了公式的使用范围。

该方法的关键在于从被积函数«Skip Record If...»中成功地分出一个因子«Skip Record If...»与«Skip Record If...»凑成微分«Skip Record If...»，而剩下部分正好表成«Skip Record If...»的函数，然后令«Skip Record If...»，就将所要求的不定积分变为基本积分表中已有的形式。

通过第一类换元积分公式来计算积分的方法叫第一类换元积分法。

三、第一类换元积分法的一般步骤:若某积分⎰dx x g )(可化为⎰'⋅dx x x f )()]([ϕϕ的形式,且⎰duu f )(比较容易积分,那么可按下列的方法和步骤来计算所给积分⑴凑微分 设法将积分⎰dxx g )(变形为⎰'⋅dxx x f )()]([ϕϕ的形式，从而可得：«Skip Record If...»⑵作变量代换 作变量代换)(x u ϕ=，则«Skip Record If...»，从而将积分变为«Skip Record If...»并计算该积分;⑶将变量回代 根据所作代换, 用)(x ϕ替换积分结果中的u ,从而求得原积分的结果，即： «Skip Record If...»注：显然第一步是第一类换元积分法的关键，第一类换元积分法又叫做凑微分法。

四 、举例例1 求⎰-dx x x )1cos(22解：因为)1(22'-=x x于是⎰-dx x x )1cos(22⎰'-⋅-=dxx x )1()1cos(22⎰udu cos C u +=sinC x +-)1sin(2一般地，对于积分«Skip Record If...»(«Skip Record If...»为不等于“0”的常数)，总可以作变换«Skip Record If...»，把它化为«Skip Record If...»例2 求⎰⋅xdxx 210sec tan解：因为)(tan sec 2'=x x⎰⋅xdxx 210sec tan=⎰'⋅dxx x )(tan tan 10du u ⎰10=C u +11111C x +11tan 111例3 求⎰-dx x 4)23(解：由于2)23(-='-x ，所以⎰-dx x 4)23(=dx x x )23()23(214'---⎰)23()23(214x d x ---=⎰u x =-12令12-=x u 回代u x =tan 令x u tan =回代⎰-du u 421=C u +-5101C x +--5)23(101一般地，对于积分«Skip Record If...»，总可以作变换«Skip Record If...»，把它化为«Skip Record If...»注：①运用换元积分法，必须要熟悉基本积分公式和一些常用的微分等式，如)()(1x a d b ax d a dx --=±= （其中a 、b 为常数且a 不为零）)(21)(21)(212222x a d b ax d a x d xdx --=±==)(ln 1x d dx x = )(x x e d dx e = )(sin cos x d xdx = )(cos sin x d xdx -= 等等；②在运算比较熟练以后，可省略写出变量代换的过程，这样可使运算过程更捷。

例4求dxxx ⎰sin解：dx x x⎰sin =C x x d x +-=⎰cos 2sin 2例5 求dxxxex ⎰++2112解：原式=Cex d ex x +=+++⎰22121)1(例6 求⎰xdxtan解：⎰xdx tan =C x x d x dx x x +-=-=⎰⎰cos ln )(cos cos 1cos sin同理可求得Cx xdx +=⎰sin ln cot例7 求⎰-+dx e x 11.解：⎰-+dx e x 11==+⎰dx e e x x 1⎰+'+dx e e x x 1)1(=⎰++)1(11x x e d e C e x ++=)1ln( 例8 求⎰+-dx x x xx sin cos sin cos .ux =-23令x u 23-=回代解：⎰⎰+'+=+-dx x x x x dx x x x x sin cos )cos (sin sin cos sin cosCx x x x x x d ++=++=⎰cos sin ln sin cos )cos (sin例9 求⎰xdxcsc解： )2(2cos2tan 12cos 2sin 2sin 1csc 2xd x x x x dx dx x xdx ⎰⎰⎰⎰===)2(tan 2tan 1x d x ⎰=C x +=2tan ln C x x +-=cot csc ln 同理可得：⎰++=Cx x xdx tan sec ln sec例10 求⎰+dx x a 221)0(>a 解：dx a x a dx x a ⎰⎰+⋅=+2222)(1111)()(1112a xd a x a ⎰+=Ca x +=arctan例11 求⎰+)ln 21(x x dx解：⎰⎰⎰+=+=+x x d x x d x x dx ln 21)ln 2(21ln 21)(ln )ln 21(⎰++=x x d ln 21)ln 21(21Cx ++=ln 21ln 21一般地，对于积分«Skip Record If...»，总可以作变换«Skip Record If...»，把它化为«Skip Record If...»一个较为复杂的积分往往需要借助两个或两个以上的积分来完成。

例12 求⎰-dx a x 221)0(>a 解：⎰⎰-+--+=-dx a x a x a x a x a dx a x ))(()()(21122)11(21⎰⎰+--=dx a x dx a x a )](1)(1[21⎰⎰++---=a x d a x a x d a x aC a x a x a ++--=)ln (ln 21C a x a x a ++-=ln 21例13 求⎰xdx2sin解：⎰xdx 2sin =⎰-dx x 22cos 1⎰⎰-=dx xdx 22cos 21⎰-=)2(2cos 4121x xd x C x x +-=2sin 4121例14 求⎰xdxx 52cos sin解：⎰xdx x 52cos sin ⎰=xdxx x cos cos sin 42⎰-=)(sin )sin1(sin 222x d x x )(sin )sin sin 2(sin 642x d x x x ⎰+-=C x x x ++-=753sin 71sin 52sin 31一般的，对于形如«Skip Record If...»«Skip Record If...»(m,n«Skip Record If...»N)的积分,当m,n 中有一个为奇数时,可考虑从奇次幂因式中分一个因子与dx 凑微分,并借助公式cos«Skip Record If...»x+sin«Skip Record If...»=1,再利用凑微分法求 解(如例14);当m,n 同为偶数时,利用公式cos«Skip Record If...»=«Skip Record If...»(1+cos2x), sin«SkipRecord If...»=«Skip Record If...»(1-cos2x)先降幂,再利用求微分法求解(如例14).例15 求dxx ⎰3sin解：dx x ⎰3sin )(cos )cos 1(sin sin 22x d x xdx x ⎰⎰--=⋅=⎰⎰-=)(cos )(cos cos 2x d x xdC x x +-=cos cos 313例16求⎰xdxx 3cos 5sin解：根据三角学中的积化和差公式得⎰xdx x 3cos 5sin ⎰+=dx x x )2sin 8(sin 21 )]2(2sin 21)8(8sin 81[21⎰⎰+=x xd x xd C x x +--=2cos 418cos 161例17求⎰xdx x 35sec tan解：⎰xdxx 35sec tan⎰⋅⋅⋅=xdxx x x tan sec sec tan 24⎰⋅-=x xd x sec sec )1(sec 222C x x x ++-=357sec 31sec 52sec 71小结：⑴由前面举例可以看出，①求形式为⎰'dx x x )()(ϕϕ的积分时，可用下列公式计算②求形如⎰⋅xdxx n mcos sin 的积分，若m 为奇数时，只要根据x x 22cos 1sin -=、)(cos sin x d xdx -=变形，并取x x cos )(=ϕ即可；若n 为奇数，可作类似处理。