4.2 换元积分法Ⅰ 授课题目§4.2 换元积分法(第一类换元法) Ⅱ 教学目的与要求：1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微 分”， d (x)(x)dx .2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分 .Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想， 难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分 . Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法设 f(u)具有原函数 F(u)， f(u)du F(u) C .若u 是中间变量， u (x)， (x)可微，则 根据复合函数求导法则，有所以根据不定积分的定义可得：f [ (x)] (x)dx F[ (x)] C u (x)F[u] C [ f (u)du]以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有f [ (x)] (x)]dx u (x)[ f(u)du] F u C F (x) C . 以上就是第一换元积分法。
从以上可以看出， 虽然 f[ (x)] (x)dx 是一个整体记号， 但是被积表达式中的 dx 可当作变量 x 的微分来对待从而上式中的 (x) dx 可以看成是 (x)的微分， 通过换元 u ( x) ，应用到被积表达式中就得到 (x)dx du .定理 1 设 f (u)具有原函数 F(u) ，u (x)可导， du (x)dx ，则f [ (x) (x)dx f (u)du F(u) C F[ (x)] C (1)如何应用公式 (1) ，在求不定积分积分 g(x)dx 时 如果被积函数 g(x)可以化为一个复合函数与 它内函数的导函数的积的形式 f[ (x)] (x) 的形式 那么(x) u u (x)g(x)dx f[ (x)] (x)dx (x) u[ f (u) du] F(u) C u (x)F[ (x)] C .所以第一换元积分法体现了“凑”的思想. 把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积精彩文档dF( (x)) dF du(x)] (x) 。
dx du dx f (u)f[ (x)] (x) 来.例 1 求 3e 3x dx解 3e 3x dx e 3x 3dx= e 3x ( 3x) dx ，可设中间变量 u 3x ，du d(3x) 3dx 3dx du ，所以有 e 3x dxe 3x 3dx e u du e u C e 3x C .首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。
例 2cos2xdx11解cos 2 xdx cos2x 2dx= cos2x (2x) dx22令 u 2x ，显然 du 2dx ，1 1 11 则cos2xdx cos2x 2dx cosudu sinu C sin2x C .2 2 22在比较熟练后，我们可以将设中间变量 u (x) 的过程省略，从而使运算更加简洁。
例 3 (3x 2)5 dx解 如将 (3x 2)5 展开是很费力的，不如把 3x 2 作为中间变量， d(3x 2) 3dx ，51 5 1 5 1 6 (3x 2)5dx= (3x 2)5 3dx= (3x 2)5d(3x 2) (3x 2)6 C . 3 3 18 1例 4 dx3 2x 1 1 1 2dx= d(3 2x) ln |3 2x| C . 2 3 2x 22例 52xe x dx2xe x dx e x (x 2) dx e x dx 2 e x例 6 求 x 1 x 2 dxx 1 x 2 dx1( 2x) 1 x 2dx 211 x2 (1 x 2) dx 1 1 x 2d(1 x 2) 22u 1 x 1udu 1 2u 2 C 1(1 x 2 )2C .2 23 3二、掌握几种典型的“凑微分”的方法精彩文档1 dx= 1 13 2x 2 3 2x三、利用第一换元积分法法计算有关函数的不定积分 计算有关函数的不定积分时，需要先把被积函数变形转化，再利用第一换元积分法计算 例 7 求 sin 2 xdx21 1 1 解 sin2 xdx (1 cos2x)dx dx cos2xdxx1 2dx x 1sin 2x C . (此题利用三角函数中的降幂扩角公式)241 dx 1 a 1 (a x )2 1 (a x ) 利用 d(x n ) nx n 1dx ，有如下例题1 sin例 9 求 2xdxx 2 IIII解 d(1)12 dxxx1sin1 11 11 1 1 2xdx(sin 1)( 12 )dx (sin 1)(1) dx sin 1 d(1) cos 1 C x 2x x 2x xx x x例 10 求 e x cos e x dx解 e x cose x dx ＝ cose x d(e x ) sine x C . 利用 d(e x ) e x dx ， d(a x ) a x lnadxdx d(ax b) ； adx d(ln x) ； xsin xdx d (cos x ) ；x n 1dx 1d(x nb)； nx1 x a x dxd(a x ) ； ln a2sec xdx d (tan x) ；secx tan xdx d (sec x) ；dxd (arcsin x) ；e x dx d(e x ) ；cos xdx d(sin x) ；2csc xdx d(cot x) ； dx 2 d(arctan x) 。
1 x 21 (cos2x)4例8求dxa 2 x 2(a 0)dx 22ax xx d( ) arcsin C .2 a axdx11 求xxeedx12 求 e x dx 16x13 求 4x 6 9x dx3 x 1 3 x 1 (32)x 2d[(32)x ] ln3 II ln2arctan(23)xC . 此题利用 d(a x ) a x lnadx1面几个例题利用 d(ln x) dxx例 14 求dxxln xII d lnln x ln |ln ln x| C . lnln x1例 15 求 (2ln x 5)4dxdxx x x 2 e e (e ) 1dxdexx 2 arctane x C .(e x )2 14x 6x9x dx 4x 9x6x4x9x 1x 1 4xdx(3)x23 dx 1 (3)2x2解dxxlnx1 1dx lnx x ln x 1 d(lnx) ln lnx C .又如习题 4-2:2dx dx解x lnx lnlnx16)x ln x ln ln x11 111 1dxlnlnx ln x x11 d ln x ln ln xln x习题 4-2:2(30)dx xe1xx1 e e 1xe1dxe xdxxe x e1d(e xx 1)x ln(e x 1) C . x e1ln 13ln21 1 2解(2ln x 5)4dx (2ln x 5) 4 dxx 2 x1 4 1 5(2ln x 5) 4 d (2ln x 5) (2ln x 5)5 C .210第一次课可以讲到这里被积函数是分母是二次函数(例 16～例 22六个例题 )dx例 16 求 2dx 2a 2 x 2, 分子是常数或一次函数的有理分式函数的不定积分的求法(a 0) 分子是常数，分母是二次二项式，没有一次项dx 解a 2 x 21dx 11 (x )21 x 1 x d( ) arctan C . a1 (x )2aaa例 17dx 29x 2 12x 4被积函数分母是一个完全平方式dx 9x 2 12x 4= 312 3dx (3x 2)23 (3x2)2d(3x 2)3(3x 2)C .被积函数分母是一个完全平方式，被积函数化为12 dx= 1 (ax b) a (ax b)2 d(ax b)dx 例18 2dx4x2 4x 17dx2分子是常数，分母是二次三项式，不是完全平方式dx 21x 1)2 dx2116 (2x 1)216 1 (1 (42x 1 1 x 1d( ) arc tan( ) C 1 (2x 1)2 4 8 2 41 (4)解24x24x 17被积函数分母是二次三项式且不可以分解因式，不是完全平方式时可以把分母配方化为2(ax b)2c 的形式，然后利用x arctan x C1练习：求2dx (第一换元积分法分)x2 2x 5x22x 5 (x 1)24 ，(x2 d2x x 5) 12 dx=(x 1)24 42 1 (x21)2dx19 求2x2 121x2 x 12 x 11dx (x 1)2 1dx 2x 1 1 x 1d = arctan C22分子是常数，分母是二次三项式且可以分解因式1 (1 1)(x 3)(x 4) 7 x 4 x 31 1 1 1( )dx7 x 4 x 3 7 x 41 11dx7x3dx2x2 x 12 1 7x4 1 1 1 x 4111 d(x 4) 17 x 3d(x 3)1 dxln |x 4| ln |x 3| C ln | | C .7 7 7 x 3被积函数分母是二次三项式且可以分解因式，被积函数可以用裂项法转化为两个简单分式的差(x a)(x b)c[1 a b (xa)1] (xb)x 例20 求1x x2dx 分子是次多项式，分母是二次多项式解d(x21) 2xdx例 21 求 2x 2dx2x 101 1 x 1dx ln(x 22x 10) arctan C .2 3 3被积函数分子是一次多项式，分母是二次多项式时，首先把分子凑成分母的导数 面几个例题利用三角函数的微分公式：22d (sin x) cos xdx ； d (cos x)sin xdx ； d(tan x) sec xdx ； d(cotx) csc xdx2 2sin x 解 tan 3 xdx tan x(sec 2 x 1)dxtan xsec 2 xdx dxcosx12d (cos x) tan x ln cosx C2例 24 求 csc xdxx2 dx 1 2x 1 x 2 2 1 x 2 dx 122(x 21) 1ln(x 2 1) C . 2 解 d(x 22x 10) (2x 2)dx ，则2x 2 2 1 x 2 2x 10 dxd(x 2 2x 10) 22 x 22x 10 2 x 22x 2 21 dx 2x 1022 x 22x 10 2x 2 2 x 2 2x 10x 22x 10dx 2 x 2 2x 10 dxdx 1ln( x 2 2x 10)2x 10 2(x 11)2 9dx1ln(x 2 2x 10) 29 x 1 29(x 31)2 1例 22 求 tan xdx化切为弦）sinx sinx tanxdx ＝dx=cosx cosxdx =1d(cosx) ln cosx C cosx例 23 求 tan3xdx1tan xd (tan x) cosx 1cscxdx ＝dx=sinx2sin x cos x22dx1 2x cos2dx x sin 22 x cos22x sec 2x x dtan x21x dtan2 xtan2xln | tan | C . 因为 x tan2x sin2xcos22sin 2x2 2sin 2 xxx2sin cos22sinx1 cosx cscx cotx .sinxx所以 csc xdx ln | tan | C ln |cscx cotx| C . 此题用三角万能公式代换也可以1解 根据三角函数的积化和差公式： cos3x cos2x(cos5 x cosx)21cos3x cos2xdx cos5x cos xdx21 1 1 1cos5xd 5x cos xdx sin5x sinx C . 10 2 10 2由以上例题可以看出，第一换元积分法是一种非常灵活的计算方法，始终贯穿着“凑微分”思 想，因此学生应熟悉这些基本例题。