2017年湖南省普通高中学业水平考试
数学（真题）
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分100分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体可以是（ ） A 、正方体 B 、圆柱 C 、三棱柱 D 、球
2.已知集合A={}1,0,B={
}2,1,则B A ⋃中元素的个数为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
3.已知向量a =(x,1),b =(4，2)，c =(6,3).若c=a+b ,则x=( ) A 、-10 B 、10 C 、-2 D 、2
4.执行如图2所示的程序框图，若输入x 的值为-2，则输出的y=（ ） A 、-2 B 、0 C 、2
D 、4
5.在等差数列{}n a 中，已知1121=+a a ，163=a ， 则公差d=（ ）
A 、4
B 、5
C 、6
D 、7 6.既在函数2
1)(x x f =的图像上，又在函数1)(-=x x g 的图像上的点是（ ）
A 、（0，0）
B 、（1，1）
C 、（2，21）
D 、（2
1
，2）
7.如图3所示，四面体ABCD 中，E,F 分别为AC,AD 的中点， 则直线CD 跟平面BEF 的位置关系是（ ） A 、平行 B 、在平面内 C 、相交但不垂直 D 、相交且垂直
8.已知sin 2sin ,(0,)θθθπ=∈，则cos θ=（ ） A 、23- B 、21- C 、2
1
D 、23 9.已知4log ,1,2
1
log 22===c b a ，则（ ）
（图1）
俯视图
侧视图
正视图图3
B
D
A
图2
结束输出y
y=2+x
y=2-x
x ≥0?
输入x
开始否
是
A 、c b a <<
B 、c a b <<
C 、b a c <<
D 、a b c <<
10、如图4所示，正方形的面积为1.在正方形内随机撒
1000粒豆子，恰好有600粒豆子落在阴影部分内， 则用随机模拟方法计算得阴影部分的面积为（ ）
A 、 54
B 、53
C 、21
D 、5
2
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
11. 已知函数R x x x f ∈=,cos )(ω（其中0>ω）的最小正周期为π，则=ω 12.某班有男生30人，女生20人，用分层抽样的方法从该班抽取5人参加社区服务，则抽出的学生中男生比女生多 人。
13. 在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a=4,b=3,1sin =C ,则AB C ∆的面积为 。
14. 已知点A （1，m ）在不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧<+>>4,0,0y x y x 表示的平面区域内，则实数m 的取值
范围为 。
15. 已知圆柱1OO 及其侧面展开图如图所
示，则该圆柱的体积为 。
三、解答题：本大题共有5小题，共40分。
解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16. （本小题满分6分）
已知定义在区间[]ππ，-上的函数x x f sin )(=的部分函数图象如图所示。
（1）将函数)(x f 的图像补充完整； （2）写出函数)(x f 的单调递增区间.
图4
17. （本小题满分8分）已知数列{}n a 满足)(3*1N n a a n n ∈=+，且62=a . （1）求1a 及n a ；
（2）设2-=n n a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S .
18. (本小题满分8分)为了解数学课外兴趣小组的学习情况，从某次测试的成绩中随机抽取20名学生的成绩进行分析，得到如图7所示的频率分布直方图， （1）根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数； （2）从成绩不低于80分的两组学生中任选2人，求选出的两人来自同一组的概率.
19. （本小题满分8分）
已知函数⎩
⎨⎧≥+-<=.0,)1(2,
0,2)(2
x m x x x f x （1）若m= -1,求)0(f 和)1(f 的值，并判断函数)(x f 在区间（0，1）内是否有零点；
（2）若函数)(x f 的值域为[-2,∞+),求实数m 的值.
20. （本小题满分10分）
已知O 为坐标原点，点P （1，2）在圆M ：014-22=+++ay x y x 上， （1）求实数a 的值；
（2）求过圆心M 且与直线OP 平行的直线的方程；
（3）过点O 作互相垂直的直线21,l l ，1l 与圆M 交于A,B 两点，2l 与圆M 交于C,D 两点，求CD AB •的最大值.
2017年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
参考答案及评分标准
一、选择题(每小题4分，满分40分)
1. A
2. C
3. D
4.B
5. D
6. B
7. A
8. C
9. A 10. B 二 、填空题(每小题4分，满分20分)
11. 2 12. 1 13. 6 14. （0，3） 15. 4π 三 、解答题(满分40分)
16、（6分）解析：（1）对函数ππ∈f(x)=sinx,x [-,]
的图像补充如下图所示：…………3分
（2）由图可得函数()f x 的单调递增区间为：[,]22
ππ
-
………………………………6分
17、（8分）解析：（1）因为13n n a a += 且26a = 所以2
123
a a =
= ………………2分 所以数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列
所以1
23n n a -=⨯ ……………………………………4分
（2）由（1）知123n n a -=⨯，故1
2232n n n b a -=-=⨯- …………5分
所以{}n b 的前n 项和为：
11(22)(62)(182)(232)(261823)22(31)231
3218n n n n n s n n
n --=-+-+-++⨯-=++++⨯--=--=--L L L L L L 分
18、（8分）解析：（1）根据频率分布直方图可估计本次测试成绩的众数为：
7080
=
=752
x +众数 ……………………4分 （2）根据已知条件可得在抽取的20名学生中，
成绩在区间[80,90) 的人数为：200.153⨯= ，这3人分别记为a,b,c 成绩在区间[90,100] 的人数为：200.102⨯=,这2人分别记为d,e
若从成绩不低于80分的两组学生中任选2人，其所有情况有：ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de 共10个基本事件，
其中两人来自同一组所含基本事件有：ab,ac, bc, de 共4个。
所以选出的两人来自同一组的概率为：42
105
P =
= ……………………8分 19、（8分）解析：（1）因为2
2,0,
()2(1)1,0.x x f x x x ⎧<=⎨--≥⎩
所以
(0)211,(1)1
f f =-==- …………………………2分
又因为
[0,1]
x ∈ 时
2()2(1)1
f x x =-- 是连续函数且
(0)(1)0
f f ⋅<
所以()
f x 在区间(0,1)
内必有零点……………………4分
（2）因为当
x < 时，
()2x
f x = ，此时
0()1
f x << ；
当0x ≥ 时，2
()2(1)f x x m m =-+≥ ………………6分
而()f x 的值域为[2,)-+∞ ，所以2m =- …………8分
20、（10分）（1）因为点P （1，2）在圆M ：014-2
2
=+++ay x y x 上
所以221-4110a +⨯+=
0a ⇒= ………………3分 （2）因为直线OP
的斜率为10
OP k =
=-，圆M 的圆心为(2,0)M 所以过圆心M 且与直线OP 平行的直线的方程为：
02)y x -=-
0y --=…………6分
（3）因为圆M 的标准方程为：2
2
(2)3x y -+=， 故直线12,l l 的斜率均存在。
设直线1l 的方程为0kx y -= ，则2l 的方程为0x ky += 于是圆心M 到直线1l
的距离为1d =
于是|AB |=== 圆心M 到直线2l
的距离为1d =
所以|CD |===
又由12d d ⎧<⎪⎨<⎪⎩可得k
的取值范围是(U
这时
222
||||4(31)(3)
241
4
AB CD k k k ⋅=-+-≤⋅+= 当且仅当2
2
313k k -=- 即1k =± 时取等号 所以||||AB CD ⋅ 的最大值为4。