数列的概念
1.数列：按一定的次序排列的一列数叫数列。

2．项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

其中第1项也叫做首项 3.项数：数列的各项所在的位置序号叫做项数。

4．数列的表示：
（1）一般形式：1a ，2a ，3a ，…n a ，…其中n a 是数列的第n 项。

（2）简单表示：
{}n a
5、数列分类：递增数列，递减数列，摆动数列， 6．通项公式：若数列{}n a 的第
n 项n a 与它的项数n 之间的关系可以用一个公式表示，则
这个公式叫做数列的通项公式。

简记为)(n f a n =。

等差数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示
设数列}{n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列 d n a a n )1(1-+= *
N n ∈ 广义通项公式: d m n a a m n )(-+=
*1
,n n a a d n N +=+∈
(1)*
,,,N q p n m ∈若q p n m +=+
则:q p n m a a a a +=+ (2)}{n ka k 为常数,也是等差数列. (3)下标成等差数列的项也成等差数列. (4)}{n a ,}{n b 是等差数列,则}{n n
qb pa +也是等差数列.
在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项。

由定义,实数b a ,的等差中项2
b
a A +=
等 比 数 列
一、基础知识 1．定义与定义式
从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.
)(1
为不等于零的常数q q a a n
n =+ 2．通项公式11-=n n q a a ,推广形式:m n m n q a a -=,变式),,(*-∈>=N n m m n a a q m
n m
n
3．前n 项和⎪⎩⎪⎨⎧≠≠--=--==)
10(11)1()1(111q q q q a a q
q a q na S n n
n 且
注:应用前n 项和公式时,一定要区分11≠=q q 与的两种不同情况,必要的时候要分类讨论. 4．等比中项:若a 、b 、c 成等比数列,则b 是a 、c 的等比中项,且ac b ±=
5．在等比数列{}n a 中有如下性质: (1)若q p n m a a a a N q p n m q p n m ⋅=⋅∈+=+*
则,,,, (2)下标成等差数列的项构成等比数列
(3)连续若干项的和也构成等比数列. 6．证明数列为等比数列的方法: (1)定义法:若
{}为等比数列数列n n
n a N n q a a ⇔∈=*+)(1
(2)等比中项法:若{}为等比数列数列
且n n n n n n n a a a a N n a a a ⇔≠∈⋅=++*
++)0(21221 (3)通项法:若{}为等比数列数列的常数均是不为n n n a N ，n q c cq a ⇔∈=*)0,( (4)前n 项和法:若{}为等比数列数列且为常数n n n a q q ，q A A Aq S ⇔≠≠-=)1,0,( 7．解决等比数列有关问题的常见思维方法 (1)方程的思想(“知三求二”问题)(2)分类的思想
①运用等比数列的求和公式时,需要对11≠=q q 和讨论 ②当
{}为递增数列等比数列
时或n a q a q a ,10,01,011<<<>>
()1(1
11-=--+q q
a a a n n n )
{}为递减数列等比数列
时或n a q a q a ,10,01,011<<>><
1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。

d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
⎪⎩
⎪
⎨⎧≠--==)1(1)
1()
1(11q q q a q na S n n 公比含字母时一定要讨论无穷递缩等比数列时，q a S -=11 2．错位相减法求和：如：{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++
3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

4．合并求和：如：求2
2
2
2
2
2
12979899100-++-+- 的和。

5．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项：
1
11)1(1+-=+n n n n
)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ]
)2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n
!)!1(!n n n n -+=⋅
)!
1(1
!1)!1(+-=+n n n n
6．公式法求和 6)
12)(1(1
2
++=∑=n n n k n
k
2
1
3]2
)1([
+=∑=n n k n
k 1．用公式求和
例1．求和：①
个
n n S 111111111++++= ②22222)1
()1()1(n n n x
x x x x x S ++++++= 2．错位相减法求和
例2．已知数列)0()12(,,5,3,11
2
≠--a a n a a n ，求前n 项和。

3.裂项相消法求和
例3求和)
12)(12()2(5343122
22+-+
+⋅+⋅=n n n S n 13．求21123n n S x x nx -=+++； 14．1111
2612
(1)
n S n n =
++++
+
3) 3, 33, 333, 333…33 求数列 23，2323，232323，… 的前n 项和。