2．2 向量的减法1．问题导航(1)两个向量共线时，如何作出其差向量？(2)点O ，A ，B 为平面中的任意三点，则AB →＝OB →－OA →对吗？ (3)在向量运算中a ＋b ＝c ＋d ，是否有a －c ＝d －b 成立？ 2．例题导读P 79例4.通过本例学习，学会作已知向量的和或差．P 80例5.通过本例学习，学会利用向量加减法的几何意义求向量的和或差的模． 试一试：教材P 81习题2－2 A 组T 4你会吗？向量的减法向量的减法相反向量定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫作a 的相反向量，记作－a ，零向量的相反向量仍是零向量定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量几何意义：已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则AB →＝b －a ，即b －a 可以表示为从向量a 的终点指向向量b 的终点的向量性质：①－(－a )＝a ， ②a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0，③假如a 与b 互为相反向量， 则a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝01．推断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意两个向量的差向量不行能与这两个向量共线．( )(2)向量a 与向量b 的差与向量b 与向量a 的差互为相反向量．( ) (3)相反向量是共线向量．( )解析：(1)错误．当两个向量共线时，其差向量就与这两个向量中的任一向量共线，所以该说法错误． (2)正确．由于两个向量的差仍旧是一个向量，所以向量a 与向量b 的差与向量b 与向量a 的差互为相反向量．(3)正确．依据相反向量的定义知，该说法正确． 答案：(1)× (2)√ (3)√2．下列等式中，正确的个数是( )①a ＋b ＝b ＋a ；②a －b ＝b －a ；③0－a ＝－a ；④－(－a )＝a ；⑤a ＋(－a )＝0. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C.由向量的加法及几何意义，可得：①a ＋b ＝b ＋a ，正确；由向量的减法及其几何意义，得a －b ＝－(b －a )，即②错误；0－a ＝－a ，③正确；依据相反向量的定义及性质得－(－a )＝a ，④正确；而a ＋(－a )＝0≠0，⑤错误． 3.OC →－OA →＋CD →＝________．解析：OC →－OA →＋CD →＝(OC →－OA →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.答案：AD →4．若a 与b 反向，且|a |＝|b |＝1，则|a －b |＝________.解析：由于a 与b 反向，所以|a －b |＝|a |＋|b |＝2. 答案： 21．相反向量满足的两个条件 (1)两个向量的方向相反． (2)两个向量的长度相等． 2．相反向量的意义(1)在相反向量的基础上，可以通过向量加法定义向量减法． (2)为向量的“移项”供应依据．利用(－a )＋a ＝0在向量等式的两端加上某个向量的相反向量，实现向量的“移项”．3．对向量减法的三点说明 (1)减法的几何意义a －b 的几何意义是：当向量a ，b 的起点相同时，从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量． (2)与向量加法的关系a －b ＝a ＋(－b )，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量． (3)向量减法运算法则把减向量与被减向量的起点重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．已知向量作差向量如图，已知向量a 、b 、c 不共线，求作向量a ＋b －c .(链接教材P 79例4)[解] 法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，连接BC ，则CB →＝b －c .过点A作AD 綊BC ，连接OD ，则AD →＝b －c ，所以OD →＝OA →＋AD →＝a ＋b －c .法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ，则CB →＝a ＋b －c .法三：如图③，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC →，则OC →＝a ＋b －c .方法归纳求两向量的差向量关键是把两向量平移到首首相接的位置，然后利用向量减法的三角形法则来运算．平移作两向量的差的步骤此步骤可以简记为“作平移，共起点，两尾连，指被减”．1．(1)如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a －b －c .(2)如图所示，O 为△ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求作向量b ＋c －a .解：(1)作向量OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝BA →，再作向量BC →＝c ，则向量CA →＝a －b －c .(2)以OB →，OC →为邻边作▱OBDC ，连接OD ，AD ，则OD →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，AD →＝OD →－OA →＝b ＋c －a .向量的减法运算化简下列各式： (1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →；(3)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)． (链接教材P 81习题2－2A 组T 5)[解] (1)法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →.法二：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋(MB →＋BO →)＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0＝AB →.(2)法一：原式＝DB →－DC →＝CB →.法二：原式＝AB →－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →.(3)法一：原式＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →)＝AD →＋DA →＝0.法二：(AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)－CD →＋BD → ＝CB →－CD →＋BD →＝DB →＋BD →＝0. 方法归纳 (1)(2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相接且相加；②起点相同且相减．做题时，留意观看是否有这两种形式的向量消灭．同时留意向量加法、减法法则的逆向运用．2．(1)在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列等式中不正确的是( ) A ．a ＋b ＝c B ．a －b ＝d C ．b －a ＝d D ．c －a ＝b (2)化简下列各式： ①OP →－OQ →＋PM →－QM →； ②(AB →＋CD →)＋(BC →＋DE →)－(EF →－EA →)．解：(1)选B.依据向量加法的平行四边形法则知， AB →＋AD →＝AC →，AD →－AB →＝BD →，即a ＋b ＝c ，b －a ＝d .c －a ＝AC →－AB →＝BC →＝AD →＝b ，故选B.(2)①OP →－OQ →＋PM →－QM →＝QP →＋PM →－QM →＝QM →－QM →＝0. ②(AB →＋CD →)＋(BC →＋DE →)－(EF →－EA →)＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DE →)－(EF →－EA →)＝AC →＋CE →－AF →＝AE →－AF →＝FE →.用已知向量表示其他向量设O 是△ABC 内一点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，若以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OC ，OD 为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H .试用a ，b ，c 表示DC →，OH →，BH →.[解] 由题意可知四边形OADB 为平行四边形，所以OD →＝OA →＋OB →＝a ＋b .所以DC →＝OC →－OD →＝c －(a ＋b )． 又四边形ODHC 为平行四边形，所以OH →＝OC →＋OD →＝c ＋a ＋b .所以BH →＝OH →－OB →＝a ＋b ＋c －b ＝a ＋c .若题中的条件不变，如何用向量a ，b ，c 表示出向量AH →？解：由例题解析可得OH →＝OC →＋OD →＝c ＋a ＋b ，则AH →＝OH →－OA →＝c ＋a ＋b －a ＝b ＋c . 方法归纳用已知向量表示其他向量的三个关注点(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)留意综合应用向量加法、减法的几何意义以及加法的结合律、交换律来分析解决问题．(3)留意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．例如四边形ABCD 中，AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.3.(1)如图，O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________．且AB →＝a ，AC →＝(2)如图所示，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量BD →，BC →，BE →，CD →及CE →.解：(1)由于BA →＝CD →，BA →＝OA →－OB →，CD →＝OD →－OC →，所以OD →－OC →＝OA →－OB →，OD→＝OA →－OB →＋OC →，所以OD →＝a －b ＋c .故填a －b ＋c .(2)由于四边形ACDE 是平行四边形，所以CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ， BE →＝AE →－AB →＝c －a ，CE →＝AE →－AC →＝c －b ，所以BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .易错警示向量加减法的几何意义应用中的误区已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0 B .BD →－CF →＋DF →＝0 C .AD →＋CE →－CF →＝0 D .BD →－BE →－FC →＝0[解析] 由于D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，所以AD →＝DB →，CF →＝ED →，FC →＝DE →，FE →＝DB →，所以AD →＋BE →＋CF →＝DB →＋BE →＋ED →＝0，故A 成立． BD →－CF →＋DF →＝BD →＋DF →－CF →＝BF →＋FC →＝BC →≠0，故B 不成立， AD →＋CE →－CF →＝AD →＋FE →＝AD →＋DB →＝AB →≠0，故C 不成立． BD →－BE →－FC →＝ED →－DE →＝ED →＋ED →≠0，故D 不成立． [答案] A[错因与防范] (1)解答本题的过程中，若忽视利用几何图形的性质和相等向量的定义，则不能推出相等向量，从而导致推导变形无法进行；或因应用向量减法的几何意义时字母挨次出错而导致错误．(2)解答以几何图形为背景的向量加减运算问题，首先应重视向量学问与平面几何学问的结合，利用平面几何中线线平行、线段相等可以推出向量共线，向量相等等结论，为向量式的变形供应依据．其次，要记准向量减法的几何意义，依据向量减法的几何意义作两个向量的差的基本步骤：作平移，共起点，两尾连，指被减．4．(1)如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，则b ＋c －a 等于( )A.OA → B ．OB →C.OD →D ．OA →＋b(2)如图，在△ABC 中，若D 是边BC 的中点，E 是边AB 上一点，则BE →－DC →＋ED →＝________．解析：(1)法一：由于四边形ABCD 是平行四边形，所以DA →＝CB →，所以b ＋c ＝DA →＋OC →＝CB →＋OC →＝OB →，所以b ＋c －a ＝OB →－AB →＝OB →＋BA →＝OA →.法二：由于四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，所以c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OC →＋CD →＝OD →.由于DA →＝b ，所以AD →＝－DA →＝－b ，所以OD →＝OA →＋AD →＝OA →－b .所以c －a ＝OA →－b ，即b ＋c －a ＝OA →.(2)BE →－DC →＋ED →＝BE →＋CD →＋ED →＝BE →＋ED →＋CD →＝BD →＋CD →，由于BD →＋CD →＝0，所以BE →－DC →＋ED →＝0. 答案：(1)A (2)01．若BA →＝a ，BC →＝b ，则CA →等于( ) A ．0 B ．a ＋b C ．b －a D ．a －b解析：选D.CA →＝BA →－BC →＝a －b .故选D.2．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c解析：选A.DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝a －b ＋c .3．已知a 、b 为非零向量，则下列命题中真命题的序号是________． ①若|a |＋|b |＝|a ＋b |，则a 与b 方向相同； ②若|a |＋|b |＝|a －b |，则a 与b 方向相反； ③若|a |＋|b |＝|a －b |，则a 与b 有相等的模； ④若||a |－|b ||＝|a －b |，则a 与b 方向相同． 解析：当a 、b 方向相同时有 |a |＋|b |＝|a ＋b |，||a |－|b ||＝|a －b |，当a 、b 方向相反时有||a |－|b ||＝|a ＋b |，|a |＋|b |＝|a －b |， 因此①②④为真命题． 答案：①②④, [同学用书单独成册])[A.基础达标]1．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D ．EF →＝－OF →－OE →解析：选B.依据向量的减法的定义可得EF →＝OF →－OE →. 2．下列式子不正确的是( ) A ．a ＋0＝a B ．a ＋b ＝b ＋a C.AB →＋BA →≠0D .AC →＝DC →＋AB →＋BD →解析：选C .依据向量加法的三角形法则，A 正确；向量加法满足交换律，B 正确；由于AB →与BA →是一对相反向量，相反向量的和为零向量，所以C 不正确；依据向量加法的多边形法则，D 正确．3．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD →－AC →等于( ) A .CB → B ．BC → C .CD → D ．DC →解析：选C .在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC →＝CD →. 4.如图，在任意四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则EF →＋EF →＝( ) A .AB → B .AB →＋DC → C .DC → D ．AD →＋BC →解析：选B .由于EF →＝EA →＋AB →＋BF →，EF →＝ED →＋DC →＋CF →，又EA →与ED →互为相反向量，BF →与CF →互为相反向量，所以EA →＋ED →＝0，BF →＋CF →＝0.所以EF →＋EF →＝ED →＋DC →＋CF →＋EA →＋AB →＋BF →＝(ED →＋EA →)＋DC →＋AB →＋(BF →＋CF →)＝AB →＋DC →.5．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3，8] B ．(3，8) C ．[3，13] D ．(3，13) 解析：选C .当AB →与AC →不共线时，有BC →＝AC →－AB →(如图所示)， 由三角形三边的不等关系可知8－5<|BC →|<8＋5，即3<|BC →|<13， 当AB →与AC →共线反向时，|BC →|＝13； 当AB →与AC →共线同向时，|BC →|＝3，所以3≤|BC →|≤13.6．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________．解析：BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝(BA →－BC →)－(OA →－OD →)＋DA → ＝CA →－DA →＋DA →＝CA →.答案：CA →7．化简：(1)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝________．(2)(PQ →－MO →)＋(QO →－QM →)＝________．解析：(1)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝AD →＋MB →＋BC →＋CM →＝AD →＋(MB →＋BC →)＋CM →＝AD →＋MC →＋CM →＝AD →.(2)(PQ →－MO →)＋(QO →－QM →)＝PQ →＋QO →－(QM →＋MO →)＝PO →－QO →＝PO →＋OQ →＝PQ →.答案：(1)AD → (2)PQ →8．四边形ABCD 是边长为1的正方形，则|AB →－AD →|＝________．解析：|AB →－AD →|＝|DB →|＝12＋12＝ 2. 答案： 2 9.如图，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示以下向量： (1)AC →；(2)AD →；(3)DF →＋FE →＋ED →.解：(1)AC →＝OC →－OA →＝c －a . (2)AD →＝AO →＋OD →＝－OA →＋OD →＝－a ＋d .(3)DF →＋FE →＋ED →＝DO →＋OF →＋FO →＋OE →＋EO →＋OD →＝0.10．如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作出下列向量，并分别求出其长度．(1)a ＋b ＋c ；(2)a －b ＋c .解：(1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，又AC →＝c ，所以延长AC 到E ，使|CE →|＝|AC →|.则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →|＝2 2. 所以|a ＋b ＋c |＝2 2.(2)作BF →＝AC →，连接CF . 则DB →＋BF →＝DF →， 而DB →＝AB →－AD →＝a －BC →＝a －b ，所以a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →|＝2.所以|a －b ＋c |＝2. [B.力量提升]1．给出下列各式： ①AB →＋CA →＋BC →； ②AB →－CD →＋BD →－AC →； ③AD →－OD →＋OA →； ④NQ →－MP →＋QP →＋MN →.对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1解析：选A .①AB →＋CA →＋BC →＝AC →＋CA →＝0； ②AB →－CD →＋BD →－AC →＝AB →＋BD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0； ③AD →－OD →＋OA →＝AD →＋DO →＋OA →＝AO →＋OA →＝0；④NQ →－MP →＋QP →＋MN →＝NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0.2．平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的外形是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．矩形 D ．菱形解析：选B .由于OA →＋OC →＝OB →＋OD →，所以OA →－OB →＝OD →－OC →， 即BA →＝CD →，又A ，B ，C ，D 四点不共线，所以|BA →|＝|CD →|，且BA ∥CD ， 故四边形ABCD 为平行四边形．3．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋CD →|＝________解析：由于菱形ABCD 的边长为2，所以|AB →－CB →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AC →＋CD →|＝|AD →|＝2. 答案：24．如图，在正六边形ABCDEF 中，与OA →－OC →＋CD →相等的向量有________．①CF →；②AD →；③BE →；④DE →－FE →＋CD →；⑤CE →＋BC →；⑥CA →－CD →；⑦AB →＋AE →. 解析：由于四边形ACDF 是平行四边形，所以OA →－OC →＋CD →＝CA →＋CD →＝CF →， DE →－FE →＋CD →＝CD →＋DE →＋EF →＝CF →， CE →＋BC →＝BC →＋CE →＝BE →， CA →－CD →＝DA →，由于四边形ABDE 是平行四边形，所以AB →＋AE →＝AD →，综上知与OA →－OC →＋CD →相等的向量是①④. 答案：①④5．在五边形ABCDE 中，设AB →＝m ，BC →＝n ，CD →＝p ，DE →＝q ，EA →＝r ，求作向量m －p ＋n －q －r .解：由于m －p ＋n －q －r＝(m ＋n )－(p ＋q ＋r ) ＝(AB →＋BC →)－(CD →＋DE →＋EA →) ＝AC →－CA →＝AC →＋AC →.延长AC 到M ，使|CM →|＝|AC →|，则CM →＝AC →，所以AC →＋AC →＝AC →＋CM →＝AM →.所以向量AM →为所求作的向量，如图所示．6．(选做题)如图，已知点O 是△ABC 的外心，H 为垂心，BD 为外接圆的直径．求证：(1)AH →＝DC →；(2)OH →＝OA →＋OB →＋OC →.证明：(1)由题意，可得AH ⊥BC ，DC ⊥BC ， 所以AH ∥DC .又DA ⊥AB ，CH ⊥AB ，所以DA ∥CH ， 所以四边形AHCD 为平行四边形．所以AH →＝DC →.(2)在△OAH 中，OH →＝OA →＋AH →，而AH →＝DC →，所以OH →＝OA →＋DC →.又在△ODC 中，DC →＝DO →＋OC →，而DO →＝OB →，所以DC →＝OB →＋OC →.所以OH →＝OA →＋OB →＋OC →.。