完全能观的，否则就称系统为不完全能现的或不能观的。
【例1】考虑下图所示的电路，系统的状态变量分别为两 个电容两端的电压 x1 和 x 2，输入为电流源 iS (t ) ，输出为电 压y(t)。
R
C1
iS (t )
R
C2
u (t )

x 2R 1
x
2
y (t )

第3章 线性控制系统的能控性与能观测性
t u(t ) dt
0
tf
2
(7) 定义中的能控性要求由非零状态转移到零状态。如果将 改变为由零状态转移到任意指定的非零状态，则称为系统的 能达性。利用系统状态转移矩阵的性质可知，对于连续线性 定常系统，其能控性与能达性是等价的。对于离散线性系统 和连续线性时变系统，能控性与能达性不一定是等价的，可 以出现系统是不完全能控，但完全能达的情况。
3.1 能控性和能观性的定义
在线性控制系统的定性分析中，一个很重要的内容是 关于系统的能控性、能观性分析。能控性和能观性是从控
制和观测角度表征系统结构的两个基本特性，这两个概念
对于控制理论和估计问题的研究有着重要的意义。
一.能控性和能观性的直观讨论
状态变量是系统的一个内部变量，能否通过系统输入、 输出这一对外部变量来建立或确定系统的初始状态，这是
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(5) 定义中对状态转移的轨线不加任何限制，这意味着能控 性是系统状态运动的一个定性特性。 (6) 控制向量u(t)无约束，是指对其各分量的幅值不加以 限制。容许控制是指在 t [t , t ] ，u(t)的每个分量均在J上 0 f 平方可积的，可表示为：
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定义1
对于系统 A(t ), B(t ) ，如果对于初始时刻 t0 J ，存
在一个有限时刻 t f t0 ， t f J ，对 t 0 时刻的非零初始状态 x(t0 ) x0，可找到一个无约束的容许控制u(t)，能在一个 有限的时间间隔内 t [t0 , t f ]
x(t ) [ x1 x2
x(t f ) 0 ，则称系统是完全能控的。否则，如果系统的一
个状态变量或多个状态变量不满足上述条件，则称系统是 不完全能控的。
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对能控性定义做如下解释： (1) 对状态变量x(t)中的每一个变量 xi 都能单独从非零初
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第3章 线性控制系统的能控性与能观性
3.1 3.2 3.3 3.4 能控性和能观性的定义 线性连续时间系统的能控性判据 线性连续时间系统的能观测性判据 対偶系统与对偶原理
3.5
3.6 3.7 3.8
线性离散时间系统的能控性和能观测性
线性定常系统能控规范形和能观测规范形 线性系统的结构分解 线性定常系统的状态分解
第3章 线性控制系统的能控性与能观测性
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第3章 线性控制系统的能控性与能观性 重点：
1. 线性控制系统的能控性判据 2.线性系统的能观测性判据 3.能控规范形和能观测规范形
4.线性定常系统的结构分解
5.线性定常系统的状态实现
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tf
tf ，使某一状态轨线在
时刻ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
为 x(t f ) 0 ，则称此状态在 t 0 时刻为完全能控的。 定义2 如果存在一个无约束的容许控制u(t)，能在一个有
xn ]T由给定的非零初始状态 x(t0 ) x0 转移到
限的时间间隔内 t [t0 , t f ] ，使得系统 A(t ), B(t )的所有状态
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二. 能控性定义
对系统能控性的分析，就是分析系统状态的能控性， 它揭示出系统输入变量与系统状态变量之间的一个基本关 系。因此在讨论系统的能控性时，输出方程不起任何作用。 考虑线性时变系统的状态方程
x A(t )x B(t )u , x(t0 ) x0 , t J
记为 A(t ), B(t )，其中：x为 n 1 状态向量；u为 p 1 输入向 量；A(t)为 n n时变矩阵；B(t)为 n p 时变矩阵；J为时间 定义区间；A(t)的元在J上为绝对可积；B(t)的元在J上为 平方可积。
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从电路的结构可以看到，电容C1上的电压x1可通过输入 电流源iS(t)将其从初始状态x1(0)转移到任意的目标值，而
电容C2上的电压x2,则无论输入电流源iS(t)如何变化，都不能
对其产生任何影响，x2只在自身的初始状态x2(0)的作用下自 由运动。因此说状态x1是能控的，而状态x2是不能控的。 另一方面为考察系统的可观性，即输出y(t)与状态之
间的关系，可令输入电流源iS(t)为零。对于电流源为零时，
相当于将电流源所在支路开路。此时不管状态变量x1如何 变化，都不能从输出y(t)上得到任何反映，因此称状态变
量x1为不能观的，而状态变量x2的任何变化都能在输出y(t)
上表现出来，因此状态变量x2是能观的。
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始状态达到终态 x(t f ) 0
，才能称系统是状态完全能控的。
(2) tf 时刻一般与初始状态x0有关，但对于能控系统来说， 必须对所有的初始状态，存在一个共同的时刻tf ，因此可 取得与初始状态无关，仅取决于t0。 (3) 对时变系统，系统在t0时刻能控，并不意味者在t=t1能 控，对线性定常系统能控与否与t0 的选取无关。 (4) 只有当在有限时间内[t0 , t f ] ，系统的状态变量x(t)趋近 于状态空间的原点，才能称系统是完全能控。如果当 t 时， 系统的状态才有 控的。 t0 时刻是完全能 x(t )，则不能称系统在 0
系统能控性、能观性问题所要研究的内容，也即研究系统
这个“黑箱”的内部状态能否由输入来加以影响和控制以 及能否由输出来加以反映。
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如果系统内部的所有状态的运动能够由输入来加以影 响和控制，就称系统是完全能控的，否则系统就称为不完 全能控的或不能控的。同样，如果系统内部所有状态变量 的任意运动形式均可由输出完全地反映出来，则称系统为