1 1 的最小值
解:
xy
1 1 xy
2x y 2x y
x
y
3 y 2x xy
3 2
2
当且仅当 y 2x 即: y 2x 时取“=”号 xy
而 y 2x
2x y 1
x
y
1 2
2 2
2 2
即此时 ymin 3 2 2
1、当x>0时，x 1 的最小值为 2 ，此时x= 。
1
x
2、已知 2x 3 y 2( x 0, y 0)
1
则x y 的最大值是 6
。
3、若实数 x, y ，且 x y 5，则 3 x 3 y的最小
值是（ D ）
A、10
B、6 3 C、4 6 D、18 3
4、在下列函数中，最小值为2的是（ C）
A、y
x 5
5 x
(x
R,
x
0)B、y
lg
当a 0,b 0时，a b 2 ab 当且仅当a b时等号成立
变形式：
ab a b 平方 2
ab
a
2
b
2
重要不等式：a2 b2 2ab(a、b R）
当且仅当a=b时，等号成立.
基本不等式： ab a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a =b时，等号成立.
注意：
（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。
若a 0,b 0,则 2ab ab a b a2 b2，
ab
2
2
当且仅当a b时取等号。（由小到大）
应用基本不等式求最值的条件： ab a b （ a＞0，b＞0）
2
一正
二定
三相等
a与b为正实数
积定和最小 和定积最大
若等号成立， a与b必须 能够相等
基本不等式
a2 b2 2ab 当且仅当a b时等号成立
几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长
证明:当 a 0,b 0 时,a b ab . 2
证明:要证 a b ab ① 2
只要证 a b ( 2 ab ) ②
要证②，只要证 a b (2 ab) 0 ③
要证③，只要证（
a－
2
b) 0
④
显然: ④ 是成立的,当且仅当 a b时
④中的等号成立.
（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。
2（.基均本值不定等理式）如果(a当且0，仅b当a0， b那时么，a取2"b"号a)b
我们把 a b 叫做正数a,b的算术平均数， 2
把 ab叫做正数a,b的几何平均数。
此定理又可叙述为：
1.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数.
2.两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。
知识要点：
1. 基本不等式：
如果a≥0，b≥0，那么 a b ≥ ab. 2
（当且仅当__a_=_b____时取“＝”号）．
基本不等式的变形：
如果a 0, b 0,则a b 2 ab.或 ab a b .
或ab ( a b )2 .
2
2
（当且仅当a=b时取“＝”号）．
重要变形2
x
1 lg x
(1
x
10)
C、y
3x
3x(x R)
D、y sin x 1 (0
sin x
x ) 2
下面几道题的解答可能有错，如果错了， 那么错在哪里？
１．已知函数 f (x) x 1 ，求函数的 最小值和此时x的取值． x
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数” 这个条件．
２．已知函数 f (x) x 3 (x 2) ， x2
能否用不等式的性质进行证明？
P98探究
在右图中，AB是圆的直径，
点C是AB上的一点，
设 AC = a , BC = b 。
过点C作垂直于AB的弦DE，
连接AD、BD。
E
Rt三角形ACD与Rt三角形DCB相似
a CD CD b
CD2 ab CD ab
a b ab (当且仅当a b时，取" "号)
x
所以 2x 3 ≥ 2 2x 3 2 6
x
x
得 (2x 3)≤ -2 6
x
因此f(x)≤ 1 2 6
当且仅当 2x 3 ，即 x2 3 时，式中等
x
2
号成立。
由于x>0，所以 x
6 2
，式中等号成立，
因此 f (x)max 1 2 6
，此时 x 6 。
2
1
例４、已知正数x、y满足2x+y=1，求
3.4基本不等式: ab a b
2
一、问题引入
2002年国际数学大会 （ICM-2002）在北京召开，此 届大会纪念封上的会标图案，其 中央正是经过艺术处理的“弦 图”。
它标志着中国古代的数学成 就，又像一只转动着的风车，欢 迎来自世界各地的数学家。
情景设置
新课探究
D
G
F
A
a
H
E
a2 b2
当且仅当 a b时，(a b)2 0 此时
a2 b2 2ab
二、新课讲解
1.思考:如果当 a 0,b用 0 去替a ,换b
a2 b2 中2的a b ,能得a到, b什么结论?
ab a b (a 0,b 0) 2
（当且仅当a=b时，等号成立）
几何平均数 算术平均数
基本不等式
22..代代数数意证义明：: 几何平均数小于等于算术平均数
33..几几何何意证义明：: 半弦长小于等于半径
从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的 等差中项
若a 0,b 0,则a b 2 ab 当且仅当a b时取等号
D
D
G
F
C
A
aH
E
ab
b
A
a GHFE
C
ab b
B
B
小组合作：
ab a b （a 0,b 0） 2
当且仅当a=b时，取“=”号
求函数的最小值．
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这 个条件．
1
的最小值
xy
错解:1 2x y 2 2xy
错因：
xy 1 即 1 2 2 2 2 xy
过程中两次运用了
1 1 2 1 22 2 4 2 x y xy
均值不等式中取“=” 号过渡，而这两次取
即 11 xy
的最小值4为2
“=”号的条件是不同的， 故结果错。
正确解答是:
已知正数x、y满足2x+y=1，求
(2)设0 x 1,求y x(1 x)的最大值。
变式：
已知0 x 1 ,求y x(1 2x)的最大值。 2
练习：
求y 3x 4 的最小值 x 1
（其中x 1）；
例3．求函数 f (x) 2x2 x 3 (x 0) 的最大
x
值，及此时x的值。
解： f (x) 1 (2x 3) ，因为x>0，
a b 2 ab (a 0,b 0)
当且仅当a b时等号成立
ab a b (a>0,b>0) 2
ab
a
2
b
2
（a
0,
b
0）结论1：两个正数积Fra bibliotek定值，则和有最小值
结论2：两个正数和为定值，则积有最大值
例题：
(1)已知x 0，求y x 4 的最小值。 x
变式：已知x 1,求y x 4 的最小值。 x 1
2
基本不等式的几何意义是：“半径不小于半弦。”
1.如图,AB是圆o的
P
直径，Q是AB上任
一点，
AQ=a,BQ=b,过
点Q作垂直于AB的
A
ao
Qb
B
弦PQ，连AP,aBbP,
则半弦PQa=__b __,
半径AO=__2___
你能用这个图得出基本 2.PQ与AO的大小关系怎样
不等式的几何解释吗?
动态演示
b
B
C a2 +b2 > 2ab
S四个三角形 2ab S大正方形 a2 b2
新课探究
特别地，当a=b时又有怎样的结论？
D
a2 +b2 =2ab
A
a GHFE
C
b
B
一般地，对于任意实数 a, b ，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当 a b 时等号成立
思考：如何证明？
证明：
a2 b2 2ab (a b)2 0 a2 b2 2ab