变位齿轮跨齿数计算公式的合理选择 中煤北京煤机公司退休职工 周万峰摘要：目前变位圆柱齿轮的跨齿数，教材、手册上大都给出的是用公式“πααxctg z k 25.01800++=”和“公法线长度 )(**kn k W W 表”进行选择。

其实该公式和该表并不是情况良好的公式和情况良好的选择用表。

本文对此进行了分析和论证，并推荐出情况良好的公式和给出合理的选择用表。

关键词：跨齿数，公法线长度，公法线长度测量点。

目前手册上对变位齿轮的跨齿数大都给出两种确定方法：一种是用公式计算，一种是查图表。

用公式计算绝大多数手册都给出的是下面的公式： απαctg x z k 25.01800++= （直齿） （1） n n n ctg x z k απα25.01800++'= （斜齿） （1） 用查表法手册大都给出的是“020 1====n n m m αα、的标准齿轮的公法线长度表 )(**k k W W ”（见表1）。

笔者认为：公式（1）并不是个情况良好的公式，表1也不是个跨齿数合理的选择用表。

下面进行分析和论证。

表1 公法线长度)(**kn k W W020 1='===αα，m m注：本表选自1991年版由徐灏任主编的《机械设计手册》第三卷“表23·2——13”。

该表跨齿数偏少，公法线的测量点靠近齿根，情况不良。

今天各家手册大都有这个表。

1、表1不是跨齿数合理的选择用表 今天各家手册都给出了表1这样的“公法线长度 )(**k k W W 表”，但该表并不是个公法线长度计算合理的选择用表：⑴ 该表是将“公法线长度”与“基圆弧长”混为一谈的。

该表称“ )(**kn k W W 为 1=m （或)1=n m 的标准齿轮的公法线长度”是不合理的。

对z=86这个齿轮而言，经验证当k=10、k=11时，它们对应的2020.32)(2497.29)(==****kn k kn k W W W W 和是这个标准齿轮的公法线长度；但当k=12、k=13时，它们对应的1060.38)(1540.35)(==****kn k kn k W W W W 和就不是这个标准齿轮的公法线长度了。

因为它们的测量点都在齿顶圆之外，不符合公法线长度的定义，所以它们不是公法线长度。

下面对) 12(k 1540.35==*k W 这条所谓公法线长度的合理性进行验证如下：① 计算1540.35=*k W 的测量点所在圆直径k d 22b k k d W d +=1540.35=*k W ，b d 为基圆直径，8136.8020cos 86d 86861mz d cos 0b ==∴=⨯===，，αd d b 。

1286.888136.801540.3522=+=∴k d 。

② 计算标准齿轮的齿顶圆直径a da a a h h d d ， 2+=为齿顶高，∴==， 1m h a 881286=⨯+=a d 。

③ 计算公法线测量点至齿顶的距离a s0643.02)1286.8888( 2)(-=-=∴-=a k a a s d d s ，。

公法线测量点至齿顶的距离为负值，这说明测量点在齿顶圆之外，量具卡脚不能与渐开线齿廓相切，不符合公法线长度的定义，所以) 12(k 1540.35==*k W 这条线段不是公法线长度。

K=12的这条都不是公法线长度，那k=13的这条就更不是公法线长度了。

在这4条线段中有两条是公法线长度，有两条不是公法线长度；而教材、手册一概称它们都是公法线长度，显而易见这种说法是站不住脚的。

那么k=12、k=13这两条线段是什么呢？它们是该齿轮含12个齿和13个齿的基圆弧长而不是公法线长度。

然而把“基圆弧长”说成是“公法线长度”这显然是指鹿为马了。

那么在这种情况下（如表1中既有公法线长度，又有基圆弧长）怎么办呢？笔者认为在这种情况下应将它们一概称做“基圆弧长”是说得通的。

因为凡是公法线长度必然是基圆弧长，而没有公法线长度功能的基圆弧长，它本身就是基圆弧长。

因此在这种情况下一概称它们是“基圆弧长”是合理的，而一概称它们为“公法线长度”是不合理的。

⑵ 表1给出的变位系数范围过大，因而有些跨齿数是不合理的 比如z=86这个齿轮当x>0.6~1.2时k=11，变位系数范围过大了，不合理。

x>0.26~0.903时k=11才是合理的；当x>0.903~1.2时就该按k=12计算了（见表2）。

表1误差如此之大，怎能保证公法线长度的合理性及合理测量呢？须知：跨齿数多跨或少跨1齿有时会给公法线长度的测量造成“测量点在齿顶部或齿根部，使公法线长度测量不准或无法测量”，而且还会给斜齿轮造成不良的后果。

详见拙作《从斜齿轮齿宽能否进行公法线长度的测量的验算结果，看跨齿数选择合理的重要性》一文。

表1的问题是：跨齿数偏少，公法线测量点靠近齿根；公法线长度测量不准，影响齿厚精度。

⑶ 表1只有正变位系数而没有负变位系数是不全面的。

表1中只有正变位系数而没有负变位系数是不全面的。

谁能说只设计正变位齿轮而不设计负变位齿轮呢？当设计负变齿轮时设计者还需另找资料，这不是增加麻烦吗？鉴于表1种种不合理、不完整之情况，笔者不揣冒昧，将表1改造成表2的样子（见表2）。

笔者认为：表2才是变位齿轮跨齿数选择和公法线长度计算的合理用表。

2、公式(1)并不是个情况良好的公式公式（1）是今天众多手册如《机械设计手册》、《机修手册》等手册热选的公式，但它并不是个情况良好的公式。

它的跨齿数往往偏多，公法线的测量点靠近齿顶，情况不良（见表3）。

在众多跨齿数计算公式中下面的公式是情况良好的公式：5.02cos arccos 1800++=x z z z k α （直齿） （2） 5.02cos arccos 1800++'''=n n x z z z k α （斜齿） （2） 经验证，公式（2）确定的跨齿数一般都是合理的，公法线的测量点一般都在齿高的中点部位，情况良好（见表3）。

表2 基 圆 弧 长 *L0201====m m αα注 ：① 表2是笔者根据表1改造的。

② 绝对值符号内数字是负变位系数的据对值。

负变位系数按绝对值的大小查取跨齿数是为了习惯上的方便。

如95.0-=x 则取8=k ；如25.1-=x 则取7=k 。

如此而已。

③ 变位系数的范围是由本文公式（2）计算的。

表3 变位齿轮跨齿数选择方法优劣之比较0 注：① 从本表明显看出，表1公法线的测量点靠近齿根，公式（1）的测量点靠近齿顶，情况均不良。

而公式（2）和表2的测量点都在齿高的中点部位，情况甚好。

② 4.1 41==x k ，的跨齿数6=k 也是从“表23·2——13”选取的（见表1的“注”）。

③ 本表的齿数和变位系数肯定不是用于高度变位、而是用于角度变位的。

之所以取mm h 25.11=（实际上)25.11mm h <是为了计算上的方便、省事（偷懒，因为角度变位齿轮的全齿高计算非常麻烦），其说明的道理是一样的。

3、表1、表2、公式（1）、公式（2）优劣之比较下面用表3的数据分析几个齿数，看看表1、公式（1）以及公式（2）和表2是否如笔者所说的那样。

例如当z=86、x=2.7时从表1知k=13，用公式（1）计算k=15 ；而用公式（2）计算或从表2查取都是k=14。

当K=13、k=15、k=14时它们的公法线测量点至齿顶、齿根的距离分别、依次为 4.76 10.051.20 13.12.8，，（见表3）。

显然表1的跨齿数偏少（k=13），公法线的测量点靠近齿根（)13.312.8了；而公式（1）的跨齿数又偏多（k=15），公法线的测量点靠近齿顶（05.1020.1）了。

只有公式（2）和表2确定的跨齿数k=14才是合理的，公法线的测量点正在齿高的中点部位（49.676.4），情况甚好。

其他几个齿数亦是如此（见表3）。

这就证明了“公法线长度)(**kn k W W 表”（即表1）和公式（1）确定的跨齿数在这几个算例中都是不合理的。

而公式（2）和表2确定的跨齿数才是合理的。

有鉴于此，笔者建议手册应该选公式（2）或其他情况良好的公式和表2作为变位齿轮跨齿数计算公式和公法线长度的选择用表。

这样才能更好地保障公法线长度的合理性和合理测量，从而更好地保证齿厚精度。

注：该文写于2001年；同年10月投稿给《机械制造》杂志，未发表。

作者赘言齿轮的跨齿数不论用公式计算还是查图表，它们确定的跨齿数本来都应该是一样的。

比如某个齿轮的跨齿数用公式计算是k=5，那么用查图表的方法也应是k=5才对。

然而就在同一本教材或同一部手册上，用它们给出的公式和它们给出的图表查取，它们的结果有时并不一样：有的相差一齿，有的相差2齿，有的甚至相差还多。

比如上世纪90年代以来由徐灏任主编的《机械设计手册》上就是这种情况。

本文的公式（1）和表1就是从该手册上节录下来的。

有的教材也是这样。

让人不解的是各家手册也大都选这样的公式和图表。

然而当有人对教材、手册上的说法、作法等提出异议时，有些学者、专家、权威、教授不是“闻过则喜”，看看人家的说法有无道理；而是“闻过则怒”“闻过则恼”。

千方百计，想方设法否定人家的论点。

实在无法否定时甚至用给作者出难题的办法应付，这就不是实事求是的治学态度和学术态度了。

欲知详情，请看附在该文后面的“附录（9）”《何必在毫无意义的问题上下大功夫呢？——就〈变位齿轮跨齿数计算公式的合理选择〉一文作者对“审稿意见”的评述》一文。

读者肯定要问了：“本文既然将‘公法线长度表’（见表1）改称‘基圆弧长表’（见表2）了，那么公法线长度的计算还怎样表述呢？”笔者考虑到了，这是牵一发而动全身的问题，不能只改此，不改彼。

欲知公法线长度计算如何表述等等问题，请看《变位齿轮公法线长度计算的研究与探索》和《谈谈对〈机械设计手册〉上“公法线长度表”的看法》两篇文章。

何必在毫无意义的问题上下大功夫呢? ——就《变位齿轮跨齿数计算公式的合理选择》一文 作者对“审稿意见”的评述周万峰《变位齿轮跨齿数计算公式的合理选择》这篇文章于上世纪90年代投给江南一家杂志。

之所以写这篇文章是基于以下几个原因：①上世纪90年代以来出版的手册上大都选了ααxctg z k 25.01800++=（直齿）和πααn n ctg x z k 25.01800++'=（斜齿）及)1(1==n m m 或“的公法线长度)(**kn k W W 表”作为变位齿轮的跨齿数计算公式和跨齿数的选择用表。

然而这个公式并不是个情况良好的公式，“公法线长度)(**kn k W W 表”也不是个合理的选择用表。

② 在同一本教材或同一部手册上，跨齿数不论用它们给出的公式计算还是查它们给出的图表，它们的跨齿数都应该是相同的。