河南理工大学土木工程学院
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
§7-9 空间应力状态的应变能密度
一、应变能密度的定义 物体在单位体积内所积蓄的应变能。
二、应变能密度的计算公式 1、单向应力状态下，物体内积蓄的应变能密度为
1 vε σε 2
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
另一方面，剪切的强度条件是： 所以 [ ] = 0.5
[σ ] τ 2
τ [τ ]
河南理工大学土木工程学院
材料力学 按第四强度理论得强度条件为：
第 7章 应力和应变分析·强度理论
1 [( τ 0)2 (0 τ )2 ( τ τ )2 ] 3τ [σ ] 2
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
材 料力学
第7章 应力状态和强度理论
2014年6月26日
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
材料力学实验（拉、压、扭）：5月11日（本周日）
地点：1号实验楼一楼
安全12-1、12-3：上午9:00-12:00
安全12-2、12-4：下午3:00-6:00
σ1 σ 3 τ xy
σ2 0
0
即在小变形下，切应力不引起各向同性材料的体积改变. 河南理工大学土木工程学院
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
目 录
§7-1 应力状态概述
§7-2 平面应力状态分析· 主应力
§7-3 空间应力状态的概念 §7-4 应力与应变间的关系
§7-5 空间应力状态下的应变能密度 §7-6 强度理论及其相当应力 §7-7 强度理论的应用
体积应变为：
V V V a1 (1 ε1 ) a2 (1 ε2 ) a3 (1 ε3 ) a1a2a3 a1a2a3 a1a2a3 (1 ε1 ε2 ε3 ) a1a2a3 a1a2a3 ε1 ε2 ε3
1 ε1 σ1 μσ 2 σ 3 E 1 ε2 σ 2 μσ 3 σ1 E 1 ε3 σ 3 μσ1 σ 2 E
第 7章 应力和应变分析·强度理论
一般情况下：脆性材料通常发生脆性断裂破坏，应
采用第一和第二理论； 塑性材料通常发生塑性屈服破坏，应
采用第三和第四理论。
特殊情况下：三向受拉时，不论是脆性材料还是塑
性材料，用第一和第二理论；
三向压缩时，不论是脆性材料还是塑 性材料，用第三和第四理论。
河南理工大学土木工程学院
强度条件为：
1
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
● 第二强度理论（最大伸长线应变理论） 该理论认为材料发生脆性断裂破坏是由最大拉应变引起 的：复杂应力状态下，当最大拉应变1达到单向拉伸时发生 脆性断裂破坏的极限应变时，材料发生脆性断裂破坏，即断 裂条件为
许用应力可由实验测出。
max
在复杂应力状态下，不可能测出每一种应力状态下的极
限应力，因此提出了材料在不同应力状态下产生某种形式破 坏的共同原因的各种假设，这些假设称为强度理论。强度理 论的核心是认为复杂应力状态下的某一因素达到简单拉伸的 试验破坏时的同一因素，材料也将失效。
河南理工大学土木工程学院
强度条件为：
1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 2
章 应力和应变分析·强度理论
三、强度理论的应用
1. 强度理论的统一形式：
r
r 称为相当应力
第一相当应力 r1 1
形状改变能密度为：
1 2 2 2 vd [( σ1 σ 2 ) (σ 2 σ 3 ) (σ 3 σ1 ) ] 6E
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
[例9－8]证明弹性模量E 、泊松比µ 、切变弹性模量G 之间 E 的关系为 G 。 2(1 )
1 2 (σ1 σ 2 σ 3 ) E
河南理工大学土木工程学院
材料力学 令
第 7章 应力和应变分析·强度理论
1 m ( 1 2 3 ) 3
K E 3(1 2 )

m
K
m称为平均正应力，K 称为体积弹性模量。上式称为体
积胡克定律。 纯剪切应力状态下的体积应变
1 vd [( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 ] 6E
单向拉伸至屈服时， 1 s ， 2 3 0 代入上式得到单向拉伸至屈服时的形状改变能密度为 河南理工大学土木工程学院
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论

1 σ1 μσ2 σ3 E 1 ε2 σ 2 μσ 3 σ1 E 1 ε3 σ 3 μσ1 σ 2 E

vε vV vd
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
式中，体积改变能密度为：
1 2 2 vV ( 1 2 3 ) 6E
1
河南理工大学土木工程学院
材料力学
y
第 7章 应力和应变分析·强度理论
应力圆的作法：
y
x
x
x
x

D
o
最大和最小切应力的表达式：
y
B C D′ A

max 1 2 2 min
河南理工大学土木工程学院
x
材料力学
2
1

第 7章 应力和应变分析·强度理论 2
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
v1 v2
1 2 1 2 2G E
E G 2(1 )
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
§11-5 强度理论
一、强度理论的概念
1. 什么是强度理论
强度理论是关于材料破坏原因的学说。
1 ε x σ x μσ y σ z E 1 ε y σ y μσ z σ x E 1 εz σ μ σ σ z x y E
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
二、各向同性材料的体积应变
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
[]为材料在单向拉伸时的许用拉应力. 材料在纯剪切应力状态下的许用切应力为[ ].
[σ ] τ 3
[ ] [ ] 0.577[ ] 0.6[ ] 3
按第三强度理论得到： 按第四强度理论得到： [ ] = 0.5 [ ] ≈ 0.6
河南理工大学土木工程学院
2
cos 2 x sin 2

x y
2
sin 2 x cos 2
主应力的解析表达式：
y
2
y x x
max x y x y 2 x min 2 2
2 x 2 0 tan ( ) x y
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为 a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3 变形后单元体的体积为 V'=a1(1+· a2(1+2 · a3(1+3
a2
2
1
a3
3
a1
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
材料力学 推知纯剪切应力状态下的 .
第 7章 应力和应变分析·强度理论
例题9 根据强度理论 , 对于塑性材料，可由单轴拉伸时的
纯剪切应力状态下:
1 = , 2 = 0 , 3 = –
按第三强度理论得强度条件为：
σ1 σ 3 τ ( τ ) 2τ [σ ]
max
强度条件为：
1 3
2

S
2
1 3
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
● 第四强度理论（形状改变能密度理论） 该理论认为材料发生塑性屈服破坏是由形状改变能密度 引起的：复杂应力状态下，当形状改变能密度vd 达到单向 拉伸时发生塑性屈服破坏的形状改变能密度vd，材料发生塑 性屈服破坏。 相关理论分析可得三向应力状态下的形状改变能密度为
3
2
1
k
3
1

3
O
C
B
A
2
1
3 2 1
3
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
各向同性材料的广义胡克定律：
yz zx xy xy , yz , zx G G G
上述一组方程为用应力表示应变，若用应变表示应力，
该如何改写？
1 2 vd s 3E
按照形状改变能密度理论，屈服判据为
1 1 2 2 2 2 vd [( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) ] s 6E 3E
1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] s 2
2、三个主应力同时存在时, 单元体的应变能密度为
1 vε (σ1ε1 σ 2 ε2 σ 3 ε3 ) 2
将广义胡克定律代
ε1
入上式, 经整理得
1 2 2 vε 12 2 3 2 σ1σ 2 σ 2σ 3 σ 3σ1 2E