湖南省 2018 年普通高等学校对口招生考试数 学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 4 页。

时量 120 分钟。

满分120 分一． 选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合 A={1,2,3,4} ， B={3,4,5,6} ，则 ( )A.{1,2,3,4,5,6}B.{2,3,4}C.{3,4}D.{1,2,5,6} 2. “ x 2 9 是 x 3的( ) 条件A. 充分必要B. 必要不充分C. 充分不必要D.既不充分也不必要3. 函数 y x 22 x 的单调增区间是 ( )A. (,1] B. [1, )C. ( , 2]D.[0, )4. 已知 cos3 ，且 为第三象限角，则 tan =( )A.45334B.C. D.3 4435. 不等式 | 2 x 1| 1的解集是 ()A. { x | x 0}B.{x | x 1}C.{ x | 0 x 1} D. { x | x 0 或 x 1}6. 点 M 在直线 3x+4y-12=0 上， O 为坐标原点，则线段 OM 长度的最小值是 ()A.3B.4C.12D.122557. 已知向量 a 、 b 满足 | a | 7,| b | 12 , a b 42 , 则向量 a 、 b 的夹角为 ()A.30 °B.60 °C.120° D.150°8. 下列命题中，错误 的是 ( )．．A. 平行于同一个平面的两个平面平行B. 平行于同一条直线的两个平面平行C. 一个平面与两个平行平面相交，交线平行D. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交9．已知 a sin 15 , b sin 100 , c sin 200 , 则 a,b,c 的大小关系为 ( )A. a b cB.a c bC.c b aD.c a b面积的最10. 过点（ 1,1 ）的直线与圆x 224相交于A,B 两点，O 为坐标原点，则△大值为 ()yOABA.2B.4C.3D. 2 3二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）11. 某学校有 900 名学生，其中女生 400 名，按男女比例用分层抽样的方法，从该学校学生中抽取一个容量为 45 的样本，则应抽取男生的人数为 ______。

12. 函数 f ( x) cosx b （b 为常数）的部分图 像如图所示，则b=______。

13. ( x 1) 6 的展开式中 x 5 的系数为 ______（用数字作答） 。

14. 已知向量 a =（1,2 ）， b = （3,4 ）， c = （ 11,16 ），且c xa yb ，则 x+y=______。

15. 如图，画一个边长为 4 的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第 2 个正方形，依次类推，这样一共画了 10 个正方形，则第 10 个正方形的面积为 ______。

三、解答题（本大题共 7 小题，其中第 21、22 小题为选做题，满分 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16. （本小题满分 10 分） 已知数列 {a n } 为等差数列， a 1 1,a 3 5;⑴求数列 {a n } 的通项公式；⑵设数列 {a n } 的前 n 项和 S n ，若 S n100，求 n.17. （本小题满分 10 分）某种饮料共 6 瓶，其中有 2 瓶不合格，从中随机抽取 2 瓶检测，用ξ表示取出饮料中不合格的评述，求：⑴随机变量ξ的分布列；⑵检测出有不合格饮料的概率。

18. （本小题满分 10 分）已知函数 f ( x) log a ( x 3),( a 0,a 1) 的图像过点（ 5,1 ）。

⑴求 f ( x) 的解析式，并写出 f ( x) 的定义域 ⑵若 f (m ) 1 ，求 m 的取值范围。

19. （本小题满分 10 分）如图，在三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中，AA 1 底面 ABC ，AA 1 AB BC ,∠ABC=90°， D 为 AC 的中点。

⑴证明： BD ⊥平面 1 1 ；AAC C⑵求直线BA 1 与平面 1 1 C 所成的角。

AAC20. （本小题满分 10 分） 已知椭圆 C:x 2y 21 (ab 0)的焦点为F 1 （-1,0），F 2 （1,0），点 （0,1）在椭a 2b 2A圆 C 上。

⑴求椭圆 C 的方程；⑵直线 l 过点 F 1 且与 AF 1 垂直， l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点，求 MN 的长选做题：请考生在第 21,22 题中选择一题作答，如果两题都做，则按所做的第 21 题计分，作答时，请写清题号。

21. （本小题满分 10 分）如图，在四边形 ABCD 中，BC=CD=6，AB=4，∠BCD=120°， ∠ ABC=75°，求四边形 ABCD 的面积。

22. （本小题满分 10 分）某公司生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产 1 吨甲产品可获利 4 万元，生产 1 吨乙产品可获利润5万元，问：该公司如何规划生产，才能使公司每天获得的利润最大？甲乙原料限额A（吨）128B（吨）3212参考答案 一、 选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CBBADD CBDA二、 填空题11、25 12、2 13 、6 14、515、132三、解答题16、解：⑴ {a n } 为等差数列， a 1 1, a 3 5，所以公差 da 3 a 15 13 122故 a n a 1 ( n 1)d 1 2(n 1) 2n 1 ⑵因为等差数列 {a } 的前 n 项和 S nn( a 1 a n ) , S100，所以有n2 nn(1 2n 1)， n 10210017、解：⑴ 的可能取值有 0，1， 2P( 0) C 42 C 20 2, P( C 41 C 21 8, P( 2)C 40 C 22 1C 625 1)C 6215C 62 15故随机变量 的分布列为：12P28 151515⑵设事件 A 表示检测出的全是合格饮料，则 A 表示检测的有不合格饮料因为检测出的全是合格饮料的概率P( A)C 42 C 20 2, 所以检测的有不合格饮料的概率为C 625P(A)1 P( A)2315518、解：⑴由 f x log a ( x 3) 的图像过 (5,1) 得：log a (5 3) 1 ，即 log a 2 1，所以 a 2 。

由对数性质知 x 3 0, x 3 ；所以函数 fx log 2 ( x3) 的定义域为 (3, ) 。

⑵因为 fxlog 2 ( x 3) ， f (m ) 1 , 所以 log 2 (m 3)1即有： log 2 (m 3)log 2 2所以有 0 m 3 2 , 3 m 5即 m 的取值范围是 (3, 5) 。

19、⑴证明：因为在三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中， AA 1底面 ABC ，BD 底面 ABC ，所以 AA 1 BD又 AB BC , ∠ABC=90°， D 为 AC 的中点所以 BD AC又AA 1 AC A，所以 BD ⊥平面11，连 1AAC C是直线1 与平面⑵因为 BD ⊥平面1 1，则1AAC CA DBA DBA1 1C 所成的角。

AAC在直角 A 1BD 中， BD1AC2AB, A 1B2AB2 2所以 sin BA 1 D BD 1 ,BA 1D30A 1B 220、解：⑴因为椭圆 C:x 2 y 2 b 0 ) 的焦点为 F 1 (-1,0) ， F 2 (1,0),a 22 1 ( a所以 c1b又点 A(0,1) 在椭圆 C 上, 所以a 2b 2 c21 1 2故椭圆方程为 x2 y 2 12⑵因为直线 AF 1 的斜率 k AF 1 直线 l 的方程为 y x 1220 2 1 2 1 ，即 b 2 1a b1, 直线 l 过点 F 1 且垂直 AF 1 ，所以直线 l 的斜率 k 1yx 12由2消去 y 得： 3x 4 xy 2x 124, x 1 x 2 0设 M,N 坐标分别为 M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ) , 则有 x 1x 24 3| x 2 x 1 |( x 2 x 1 )2 4 x 1 x 23|MN |k 21 | x 2x 1 |2 4 4 233即 MN 的长为4 2321、解：连结 BD,在 BCD 中， BC=6 ， DC=6 ，由余弦定理得BD 2 =BC 2 +DC 2 -2 BC DC cosBCD=120 ，BCD所以BD 2 =62 +62 -2 6 6 cos120即 BD=6 3又由 BC=DC=6 ， BCD=120 得CDB= CBD=30所以 ABD=45s 四边形ABCD=sABDsBCDs四边形ABCD=1BC DC sin BCD1AB BDsin ABD22s四边形= 166 sin120 1 4 6 3 sin 45ABCD22s=16631 6 3 42四边形 ABCD2222s四边形 ABCD=936 622、解：设每天生产甲乙两种产品分别为 x, y 吨， 才能使公司每天获得的利润最大，利润为 Z 万元，则x 2 y 8 3x+2y 12x 0y 0目标函数为 z 4x 5y作出二元一次不等式组所表示的平面区域 （阴影部分） 即可行域。

由 z 4x5 y 得 y4 Zx55平移直线 y4 xZ55由图像可知当直线 y4 x Z经过点 B 时，55直线 y4 x Z的截距最大，此时 Z 最大55解方程组 x 2 y=8 得 x 2, y 33x+2y=12即点 B 的坐标为（ 2,3 ） z 最大值 =4 2+5 3=23 （万元）答： 每天生产甲 2 吨，乙 3 吨，能够产生最大利润，最大利润是 23 万元。