c
b
双曲线 x
y y0 .
以平行于 yz 面的平面 x=x0 截曲面，所得截线 方程为：
y b
2 2

z c
2 2

x0 a
2 2
z y
0
1,
x x0 .
椭圆
作业
P47.1. 2. 3.画出 z=xy 的图象. 4.研究z=2x2+3y2与5-z=3x2+2y2的交线在xy平面上 的投影
高校理科通识教育平台数学课程
微积分学(二)
多元微积分学
空间解析几何
●
授课教师
孙学峰
向量代数与
空间解析几何
二次曲面的标准方程
§6 二次曲面的标准方程
1.定义
由x, y, z的二次方程:
ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0 所表示的曲面, 称为二次曲面. 其中a, b, …, i, j 为常数且a, b, c, d,e, f 不全为零.
当 |k | c 时, |k |越大, 椭圆越小; 当 |k | = c 时, 椭圆退缩成点.
3 类似地, 依次用平面x = 0,平面 y = 0截割, 得椭圆:
y2 z 2 b c x 0
2 2
1
,
x 2 z 2 c a y 0
2 2
1 .
o x
y
k = 0时, 为一点O(0,0,0); 随着k增大, 椭圆也增大.
2 用平面 y = k去截割, 截线是抛物线
x2 k 2 b a y k
2 2
z ,
当k 0 时 , 为 z
x a
2 2
.
3 类似地，用平面 x = k 去截割, 截线是抛物线.
2 k 2 y 2 2 z a b x k
x a
2 2

y b
2 2

z c
2 2
1
(a, b, c均大于0)
以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截线方程为
2 z0 x y 1 , 2 2 2 2 2
a
b
c
双曲线
z z0 .
以平行于xz面的平面 y=y0截曲面， 所得截线方程为
a
2 y0 x z 1 , 2 2 2 2 2
特别: 当a=b=c时, 方程x2 + y2 + z2 = a2 , 表示
球心在原点o, 半径为a的球面.
(2) 椭圆抛物面:
x a
2 2
y b2 2zz1 平面 z = k ,(k 0)截割, 截线 是平面 z = k上的椭圆.
2 x2 y 2 2 k a b z k
,
椭圆
z z0 .
以平行于xz面的平面 y=y0截曲面， 所得截线方程为
x a
2 2

z c
2 2
1
y0 b
2
2
,
双曲线
y y0 .
以平行于 yz 面的平面 x=x0 截曲面，所得截线 方程为：
y b
2 2

z c
2 2
1
x0 a
2 2
,
双曲线
x x0 .
5. 双叶双曲面
研究方法是采用平面截痕法.
2. 几种常见二次曲面. (1) 椭球面
x a
2 2
z
2 2

y b

z C
2 2
1
1 用平面z = 0去截割, 得椭圆
x2 y 1 2 2 a b z 0
2
O
x
o
y
2 用平面z = k去截割(要求 |k | c), 得椭圆
2 x2 y k 2 2 1 a b c z k 2 2
当k 0 时 , 为 z
y b
2 2
.
3. 双曲抛物面
z
x a
2 2

y b
2 2
z y x
4. 单叶双曲面
x a
2 2

y b
2 2

z c
2 2
1
(a, b, c均大于0)
以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截线方程为
x a
2 2

y b
2 2
1
z0 c
2
2