第四节 几种常见的二次曲面
一、问题的提出 二、柱面 三、锥面 四、旋转曲面 五、椭球面 六、双曲面 七、抛物面 八、一般的二次曲面 九、小结与思考判断题
04.03.2020
《高等数学》第九章
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一、问题的提出 (Introduction)
三元二次方程表示的曲面，称为二次曲面。 如球面 (x 1 )2 (y 2 )2 (z 3 )2 4
例2、 x z 表示怎样的曲面？
z
解：母线平行于 y 轴，准线为
xoz 面上的曲线（抛物线）
x z 的抛物柱面。
xo
x z
y
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3）一般地，只含 y, z 而缺 x 的方程 H(y, z)=0 在空间直角坐标系中表示母线平行于 x 轴的柱 面，其准线为 yoz 面上的曲线 H(y,z) 2、练习题:
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2、 旋转曲面方程的求法 ：
1）设在 yoz 坐标平面上有一已知曲线C，
方 程为fx(y,0z)0
把该曲线绕 z 轴旋 转一周，得一个以 z 轴 为轴的旋转曲面。
设 M (,y,z)为曲线C上的任意一点，则有
f(y,z)
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y o x
曲面与平面 z = t 相交，得截痕为不同高度、
不同大小的椭圆：
x2 a2

y2 b2

t2 c2
特殊情形：当 a = b 时，此时为圆锥面。
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四、旋转曲面
1 、定义：以一条平面 曲线绕该平面上的一条 直线旋转一周所成的曲 面叫做旋转曲面。这条 直线叫做旋转曲面的轴。 旋转的曲线称为母线。
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当曲线C绕 z 轴旋转时，点 M 也绕 z 轴转动到
另一 M(点 x,y,z), 此时z，z1保持不变，
点M到 z 轴的距离 d xy y, 将zz1,
y xy 代f入 (y,z) 得f( xy,z)
z
d M1(0,y1,z1)
下列方程在平面、空间直角坐标系中各表 示什么图形，并画出其草图。
)x )y x
z
z
o y
x
x2
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o
x
y
yx1
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)x z
z
x2 y2 4
o y
x
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三、锥面
z
椭圆锥面： x2 y2 z2 a2 b2 c2 0
x
特殊情形：① 当 a=b=c 时，此时为球面 xyza
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动的直线L形成的轨迹叫做柱面。
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L C
动直线L叫做柱 面的母线，定曲线C 叫做柱面的准线。
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1）一般地，只含 x, y 而缺 z 的方程 F(x, y)=0 在空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy 面上的曲线 F(x,y)
例1、 xy R 表示怎样的曲面？
f(y, xz)
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2）xoy
面上的曲线C
：
f z
( x, y) 0

0
绕 x 轴 f(x, yz)
绕 y 轴 f( xz,y)
3）zox
面上的曲线C
：
f y
( x,z) 0

0
绕 x 轴 f(x, yz)
二次曲面的研究方法：(不能用描点法，而用截痕法) 用平行于坐标面的平面去截曲面，由所得
截痕来勾画曲面的大体形状及如下一些特性。 1）对称性：关于坐标面，坐标轴 2）存在范围 3）曲面与坐标轴、坐标面的关系
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二、柱面
1、柱面的定义： 一般地，平行于定直线并沿定曲线C移
z
zycot (0)
2
旋转面为 z xycot
0
x
即 z(xy)cot
直线L
y
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x2 y2
例4 xoy 面上的椭圆 a2 b2 1
绕 x 轴转得曲面： 绕 y 轴转得曲面：
x2 y2 z2 a2 b2 1
4 94
解：是由
x xo:y
y

绕y轴 转 成

或
z2 y2 yo:z 1
绕y轴 转 成
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z
思考：方程 x2y2 R2 z 表示怎样的曲面？
1、怎样形成？ 2、什么曲面？
0
y
x
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五、椭球面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
z y
旋转椭球面
x2 z2 a2

y2 b2
1
旋转椭球面
zox 面上的双曲线
x2 a2

z2 b2
1
绕
z
轴转得曲面：
x y a
z b

旋转单叶双曲面
绕
x
轴转得曲面：
x2 a2

y2 z2 b2
1
旋转双叶双曲面
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例5 x2 y2 z2 1 是怎样形成的？
解：母线平行于 z 轴，准线为 xoy 面上的
曲线（圆） xy R 的圆柱面。
z
x2(ya)2a2也是圆柱面。
yx 是平面，也是柱面。
o x
y
yx
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《高等数学》 y 的方程 G(x, z)=0 在空间直角坐标系中表示母线平行于 y 轴的柱 面，其准线为 xoz 面上的曲线 G(x,z)
M f(y,z)0
此即为所求旋转曲面的方程。
o x
y
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注：求旋转曲面的方程的技巧：
在曲线C
的方程

f ( y, z) x0

0
的第一个方程
中，只要将 y 改成 x2 y2, z 不变，便得曲
线C绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程。
同理，曲线C绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的 方程为：
绕 z 轴 f( xy,z)
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例3 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一
周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫
圆锥面的顶点，两直线的夹角()叫圆 锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转
轴为z轴，半顶角为 的圆锥面方程．
解：yo面 z 上的直 L的 线方程:为