函数定义域、值域求法总结一。
求函数得定义域需要从这几个方面入手:(１)分母不为零(2)偶次根式得被开方数非负。
(３)对数中得真数部分大于0。
(４)指数、对数得底数大于0,且不等于1(5)y=tanｘ中x≠ｋπ＋π／2;ｙ=cotｘ中x≠kπ等等。
( 6 )中ｘ二、值域就是函数y=ｆ(x)中y得取值范围。
常用得求值域得方法: (1)直接法(２)图象法(数形结合)(3)函数单调性法 (4)配方法(５)换元法 (包括三角换元)(６)反函数法(逆求法)(7)分离常数法 (8)判别式法(9)复合函数法 (1０)不等式法(11)平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学得始终。
定义域得求法1、直接定义域问题例1 求下列函数得定义域:①;②;③解:①∵x—2=0,即x=2时,分式无意义,而时,分式有意义,∴这个函数得定义域就是、②∵3ｘ+2〈0,即x<－时,根式无意义,而,即时,根式才有意义,∴这个函数得定义域就是｛｜｝.③∵当,即且时,根式与分式同时有意义,∴这个函数得定义域就是｛|且｝另解:要使函数有意义,必须:例2 求下列函数得定义域:①②③④⑤解:①要使函数有意义,必须: 即:∴函数得定义域为: [］②要使函数有意义,必须:∴定义域为:{ x｜｝③要使函数有意义,必须: ⇒∴函数得定义域为:④要使函数有意义,必须:∴定义域为:⑤要使函数有意义,必须:即 x< 或 x〉∴定义域为:２定义域得逆向问题例３若函数得定义域就是Ｒ,求实数a得取值范围(定义域得逆向问题)解:∵定义域就是R,∴∴练习: 定义域就是一切实数,则m得取值范围;3复合函数定义域得求法例4 若函数得定义域为［-１,1],求函数得定义域解:要使函数有意义,必须:∴函数得定义域为:例5 已知f(x)得定义域为［—1,1],求f(2x—１)得定义域。
分析:法则f要求自变量在［-１,1]内取值,则法则作用在2x－1上必也要求2x-1在［－1,1］内取值,即－１≤2x-1≤１,解出ｘ得取值范围就就是复合函数得定义域;或者从位置上思考f(2ｘ－1)中2x－１与f(ｘ)中得x位置相同,范围也应一样,∴—1≤２x-1≤1,解出x得取值范围就就是复合函数得定义域。
(注意:f(x)中得x与f(2x-1)中得x不就是同一个x,即它们意义不同。
)解:∵ｆ(ｘ)得定义域为［—1,1］,∴—1≤２x－1≤1,解之0≤x≤1,∴f(2x－1)得定义域为[0,１］。
例6已知已知ｆ(x)得定义域为[－1,1],求f(ｘ２)得定义域。
答案:—１≤x2≤1 x２≤1－１≤ｘ≤1练习:设得定义域就是[-3,］,求函数得定义域解:要使函数有意义,必须: 得:∵≥0 ∴∴函数得定域义为:例7 已知f(2x－1)得定义域为［0,１］,求f(x)得定义域因为2x-1就是R上得单调递增函数,因此由2x-１, x∈［0,1］求得得值域［-1,1］就是f(ｘ)得定义域、练习:1已知f(3ｘ－１)得定义域为[—1,２),求f(2ｘ+１)得定义域。
)(提示:定义域就是自变量ｘ得取值范围)2已知ｆ(ｘ2)得定义域为［－１,１］,求f(x)得定义域3 若得定义域就是,则函数得定义域就是 ( )A 、 ﻩB ﻩﻩC 、Ｄ、 ４ 已知函数得定义域为Ａ,函数得定义域为Ｂ,则( )Ａ.ﻩＢ。
ＢC.Ｄ.求值域问题利用常见函数得值域来求(直接法)一次函数y=a ｘ+b(a0)得定义域为R,值域为Ｒ;反比例函数得定义域为｛x ｜ｘ0｝,值域为｛y|ｙ0}; 二次函数得定义域为Ｒ,当a 〉0时,值域为｛};当ａ〈０时,值域为｛｝. 例1 求下列函数得值域① y=3ｘ+2(－1ｘ１) ② ③ (记住图像) 解:①∵—1x1,∴-3３x3,∴-13ｘ+25,即-１ｙ５,∴值域就是［－１,5］ ②略③ 当x>０,∴=, 当x 〈0时,＝-∴值域就是[2,＋)。
(此法也称为配方法) 函数得图像为:二次函数在区间上得值域(最值):例2 求下列函数得最大值、最小值与值域:①; ②; ③; ④;解:∵,∴顶点为(２,-３),顶点横坐标为2. ①∵抛物线得开口向上,函数得定义域R,∴x=2时,y ｍi ｎ=－3 ,无最大值;函数得值域就是｛ｙ｜y －3 }. ②∵顶点横坐标２［3,4］, 当x ＝3时,y= -2;x=4时,y=1;∴在［３,4］上,=—2,=1;值域为[—2,１］、 ③∵顶点横坐标2 [0,１],当x=0时,y=1;x=1时,y ＝-2, ∴在[０,1]上,＝－2,=1;值域为［－2,1］.④∵顶点横坐标2 ［0,5］,当x＝0时,y=1;ｘ=2时,y＝－3, x=５时,y=6,∴在［０,１］上,＝—３,=6;值域为［—3,6].注:对于二次函数,⑴若定义域为R时,①当ａ〉０时,则当时,其最小值;②当a〈0时,则当时,其最大值;⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0就是否属于区间［ａ,b]。
①若[ａ,ｂ],则就是函数得最小值(ａ〉0)时或最大值(a＜0)时,再比较得大小决定函数得最大(小)值。
②若［a,b],则［a,ｂ］就是在得单调区间内,只需比较得大小即可决定函数得最大(小)值、注:①若给定区间不就是闭区间,则可能得不到最大(小)值;②当顶点横坐标就是字母时,则应根据其对应区间特别就是区间两端点得位置关系进行讨论. 练习:1、求函数y=3+得值域解:由算术平方根得性质,知≥０,故3+≥3。
∴函数得值域为、2、求函数得值域解:对称轴1 单调性法例3 求函数ｙ=４x—(x≤1/３)得值域。
设f(x)＝4x,g(ｘ)= －,(x≤１／3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)＋ｇ(x)=4x—在定义域为x≤１／３上也为增函数,而且y≤f(1/３)+g(１/3)=4／3,因此,所求得函数值域为｛y|ｙ≤４/3｝、小结:利用单调性求函数得值域,就是在函数给定得区间上,或求出函数隐含得区间,结合函数得增减性,求出其函数在区间端点得函数值,进而可确定函数得值域。
练习:求函数y=3+得值域、(答案:｛y|y≥3})2换元法例4 求函数得值域解:设,则点评:将无理函数或二次型得函数转化为二次函数,通过求出二次函数得最值,从而确定出原函数得值域、这种解题得方法体现换元、化归得思想方法。
它得应用十分广泛。
练习:求函数y=得值域、(答案:｛y｜y≤—3/4｝求得值域;例5 (三角换元法)求函数得值域解:设小结:(1)若题目中含有,则可设(2)若题目中含有则可设,其中(３)若题目中含有,则可设,其中(4)若题目中含有,则可设,其中 (5)若题目中含有,则可设其中 3 平方法例５ (选)求函数 得值域 解:函数定义域为:[][][][]2,24,21,0158,5,31582)5()3(2222原函数值域为得由∴∈∴∈-+-∈-+-+-+-=y x x x x x x x y4 分离常数法例６ 求函数 得值域由 ,可得值域小结:已知分式函数,如果在其自然定义域(代数式自身对变量得要求)内,值域为;如果就是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为,用复合函数法来求值域、练习求函数 得值域 求函数 得值域求函数 y =得值域;(y ∈(-１,1)) 例7 求 得值域 解法一:(图象法)可化为 如图,观察得值域 解法二:(不等式法)4114)1(134)1()3(13--+≥+--+=+--=+--≤+--x x x x x x x x x x 练习:得值域例8 求函数 得值域解:(换元法)设 ,则 原函数可化为[][]8,2,13,121,22值域为时对称轴∴=∴∉=+-=y t t t t y 例9求函数 得值域 解:(换元法)令,则由指数函数得单调性知,原函数得值域为 例10 求函数 得值域 解:(图象法)如图,值域为 (换元法)设 ,则例１３ 函数 得值域解法一:(逆求法)解法二:(换元法)设 ,则解法三:(判别式法)原函数可化为21） 时 不成立 2） 时,综合1)、2)值域解法四:(三角换元法)设,则()(]1,12cos ,22cos tan 1tan 122-∈∴-∈-=+--=θππθθθθ y 原函数得值域为 例14 求函数得值域解法一:(判别式法)化为1)时,不成立2)时,得综合1)、2)值域解法二:(复合函数法)令,则所以,值域例1５ 函数得值域解法一:(判别式法)原式可化为解法二:(不等式法)１)当时, 2） 时,综合1)2)知,原函数值域为 例１6 (选) 求函数得值域解法一:(判别式法)原式可化为解法二:(不等式法)原函数可化为当且仅当时取等号,故值域为例17 (选) 求函数得值域解:(换元法)令 ,则原函数可化为。
、。
小结:已知分式函数 ,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域;如果就是条件定义域,用判别式法求出得值域要注意取舍,或者可以化为(选)得形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数得最大最小值;如果不满足用基本不等式得条件,转化为利用函数得单调性去解。
练习:1 、;解:∵ｘ０,,∴ｙ11、另外,此题利用基本不等式解更简捷:(或利用对勾函数图像法) ２ 、 0〈y5.3 、求函数得值域①; ②解:①令0,则,原式可化为,∵u0,∴y,∴函数得值域就是(－,]。
②解:令t=４x-０得０x4在此区间内(4x-)＝4,(4ｘ-) =0∴函数得值域就是{ｙ｜０y２}4、求函数y=｜x+1|＋｜x-2｜得值域.解法１:将函数化为分段函数形式:,画出它得图象(下图),由图象可知,函数得值域就是｛y｜y３｝.解法2:∵函数y=｜ｘ＋1｜+｜ｘ－２|表示数轴上得动点ｘ到两定点—1,2得距离之与,∴易见y得最小值就是３,∴函数得值域就是[3,+］。
如图5、求函数得值域解:设则ｔ0 ｘ=1-代入得∵t0 ∴ｙ４6、(选)求函数得值域方法一:去分母得(y-１)+(y+5)x-6y-6＝0 ①当y≠１时∵x∈Ｒ∴△=(y+5)+４(y-1)×6(y＋1)0由此得(5y+1)０检验(有一个根时需验证)时(代入①求根)∵2∉定义域｛x｜x≠2且x≠3｝∴再检验y=１代入①求得ｘ=2 ∴ｙ≠１综上所述,函数得值域为｛y｜y≠１且ｙ≠}方法二:把已知函数化为函数(x≠2)由此可得y≠1,∵x=2时即∴函数得值域为{ y｜y≠1且y≠｝。