(2)若F(x)是格点的，周期为d，则
容易看出，基本更新定理是Blackwell定理的特殊 情况。
3、关键更新定理
记
m
=
EX n
，设h(t)
≥0满足(1)
h(t)
非负不增；(2)
ò +¥ h (t )dt 0
< ¥。
H(t)是更新方程
òt
H (t) = h(t) + H (t - x)dF (x) 0
用N (t)表示[0,t)内更换部件的数目， Ti为更新间距，各Ti相互独立且同分布F (t)
则：
(1)若更新时间X i = 0
对任意的时刻t ¹ 0,系统是在工作着的。
前n个更换部件的寿命t
的分布：
n
Ft1 (t) = P{T1 £ t}= F (t) = F1(t)
ò Ft2 (t) = P{T1 + T2
t
ò = E( X1) +
K (t - x)dF (x)
0
这就是更新方程，其解为
4.2.2更新方程在人口学中的一个应用
4.3 更新定理
一、基本更新定理 Theorem： （Feller初等更新定理）
设 m = E[ X n ] ，则
二、N(t)的渐近正态分布
Q{N (t ) ³ n} Û {Tn £ t}
A(t)
---------剩余寿命 ---------年龄
Y (t)
TN (t)
t
解：令
X N (t)+1
Ry (t) = P(Y (t) > y)
TN (t)+1
对第一次更新时刻X1取条件，得
ì 1,
P(Y (t)
>
y
X1
=
x)
=
ï í
0,
ï î
Ry
(t
-
x),
x >t+ y t < x£t+ y
0¢ t - x
( ) 记 K (t) = E TN (t)+1 , 则
( ) K (t) = E TN (t)+1 = E[E(TN (t)+1 X1)]
+¥
ò= 0
E(TN (t)+1 X1 = x)dF (x)
t
¥
ò ò = 0 [x + E(TN (t-x)+1)]dF (x) + t xdF (x)
Tn ® m n
(n ® ¥)
所以，if n ® ¥, Then Tn ® ¥
从而，无穷多次更新只可能在无限长的时间内发生，即 有限的时间内最多只能发生有限次更新。
N (t ) = sup{n;Tn £ t} = max{n;Tn £ t}
2、更新函数
令M(t)=E[N(t)]，称m(t)为更新函数。显然M(t) 是单调递增的，因而其反函数m-1(t)存在
N (t )+1
å = E[ X k ] = E( X1)E(N (t) +1) k =1
证明：对第一次更新时刻X1取条件
( ) ìx,
E
TN (t)+1 X1 = x
=
í î
x
+
E (TN
(t
- x )+1 ),
TN (t )+1
x>t x£t
0
t
x
TN (t )+1
0
x
t
TN (t -x)+1
4更新过程
4.1更新过程及其若干分布
4.1.1更新过程的定义
设{Xn,n≥1}是独立同分布的非负随机变量，分布 函数为F(x)，且F(0)<1，令
n
å T0 = 0, Tn = X k
记
k =1
¥
N (t ) = sup{n;Tn £ t} 或 å ( ) N t = I(Tn£t) n=1
称{N(t),t≥0}更新过程。
t®¥
a
m
所以lim lim M (t)- M (t - a) = 1
a®0 t®¥
a
m
交换求极限的顺序：有lim dM (t) = 1
t®¥ dt
m
即当t很大时dM (t) = 1 dt
m
ò ò ò 所以：t h(t - x)dM (t) » 1
t
h(t
-
x)dx
t -x= y
=
1
t h(y)dy
近似
~
N
(
t m
,
ts 2 m3
)
三、 关键更新定理 1、定义：非负随机变量X称为格点的，若X只取某 个非负数d的整数倍。即存在d≥0，使得
¥
å P ( X = nd ) = 1
n=0
具有这个性质的最大的d称为X的周期。若X是格点 的，F(x)是X的分布函数，则称F(x)是格点的。
2、布莱克威尔(Blackwell)定理 设F(x)为非负随机变量X的分布函数 (1) 若F(x)不是格点的，则对任意的a≥0，有
的解。那么 （1）若F(x)不是格点的
ò ì 1
lim
H
(t
)
=
ï í
m
+¥ h (t )dt,
0
t®¥
ïî 0,
m<¥ m =¥
（2）若F(x) 是格点的，对于 0 £ c < d
å lim
n®¥
H (c
+
nd )
=
ìd
ï í
m
ïî
¥
h(c
n=0
0,
+
nd ),
m<¥ m =¥
注：关键更新定理与布莱克威尔(Blackwell)定理是等 价性的。
一、更新方程
设M(t)为更新函数，其导数称为更新密度，记为 m(t)，则
¥
M (t) = å Fn (t) n=1 ¥
m(t) = M ¢(t) = å fn (t) n=1
其中 fn (t) 是 Fn (t)的密度函数。
定理4.2.1
定义4.2.1（更新方程）如下形式的积分方程称 为更新方程
= P{Tn £ t} - {P Tn+1 £ t} = Fn (t ) - Fn+1 (t )
其Fn(x)中是Tn的分布函数，它是F(x)自身的n次卷积。
注1：
F(x)是单调增函数，
Q F1 ( x ) = F ( x )
ò Fn ( x ) =
x 0
Fn -1
(
x
-
u
)dF
(u
)
x-u<x 故F(x-u)<F(x)
å =LL= H + (n-1 Fk )* H + Fn * K% k =1
与定理中解的形式一致。
例题4.2.1瓦尔德（Wald）等式
设{Xn,n≥1}为独立同分布随机变量序列 ，m = EXn < ¥
å 则
E
æ çè
N n=1
X
n
ö ÷ø
=
E
(
N
)
E
(
Байду номын сангаас
X
n
)
( ) ( ) 特别的，E TN (t)+1 = E X1 + X 2 +L + X N (t)+1
N (t ) = sup{n;Tn = X1 +K + X n £ t}
则 {X n , n ³ 1} 是一个新的更新过程。
由于 X n 只取0和 a两个常数所以过程 N (t ) 只能在
t = na, n = 0,1, 2,L 时刻出现更新。
比如在时刻 t = a 出现k次更新，就意味着：
事件“ X k ³ a ”第k次首次出现，
定理4.1.1
定理4.1.2
M (t)是t的不减函数，且对0 £ t < +¥,有M (t) < +¥
所以：
证明方法2：
Pr oof Q F (0) < 1,即P{X n = 0} < 1 \$a > 0,使得 P{X n ³ a} > 0,
令
ì0, X n = íîa
若X n < a 若X n ³ a
£
æ çè
t a
+ 1ö÷ø
P(Xn ³a)< ¥
Q Xn £ Xn, \N (t) ³ N (t) \ E éëN (t )ùû £ E éëN (t )ùû < ¥
因为，几何分布的各阶矩都存在，所以，我们实际上已证明了
"t ³ 0, r > 0, E éëN r (t )ùû < ¥
第二节 更新方程
即布莱克威尔(Blackwell)定理成立推出关键更新定理成立。
4、剩余寿命和年龄的极限分布
考虑一个更新过程，{Xn,n≥1}为事件来到时间间隔， 用A(t)表示[0,t]内最后一次更新到t时刻的时间，用Y(t)表示t 时刻到下一次更新的时间，即
Y (t ) = TN(t)+1 - t A(t ) = t - TN(t)
\
F2
(
x
)
=
x
ò0
F1
(
x
-
u
)dF
(u
)
£
x
ò0
F
(
x
)dF
(u
)
=
F
2
(
x
)
F3
(
x
)
=