s 时（软钢有明显屈服发生(AB 段） ，合金钢无明显屈服发生）
f () = - s = 0
将发生塑性变形。确定材料发生塑性变形的条件为 初始屈服条件（函数）
当软钢应力达到 A 点后，软钢有明显屈服（塑性流动）阶段。 经过屈服阶段后，荷载可再次增加（称为强化阶段，BC 段） ，但 强化阶段 增幅较少。对于此种材料（有明显屈服流动，强化阶段 应力较少）屈服条件是不变的。当应力满足屈服条件时，卸载将有 残余变形，即塑性变形存在。卸载按线性弹性。
性屈服，但 b 段仍处于弹性）
N2=P- N1=P-sA
力 P 作用点的伸长取决于 b 段杆的变形
b
N 2 b ( P s A)b EA EA
Pe s A(1 a b) , s A Pe (1 a b)

(3)塑性解：
P Pe
(1 a b)b Pa ( P Pe )b EA EA(1 a b)

上述两种模型分别简化为：

s
o
=s
Et
s

o
s+Et

理想刚塑性模型
线性强化刚塑性模型
1.3 金属材料在静水压力实验： 前人（Bridgmen）对大量金属进行水压力实验及拉压和静水压力 联合实验，得到下列结果： 1. 在静水压力(高压) p 作用下，金属体积应变 e=V/V=p/k 成 正比，当 p 达到或超过金属材料的s 时，e 与 p 仍成正比；并且除 去压力后，体积变化可以恢复，金属不发生塑性变形。 2. 金属受静水压力和拉压联合作用与金属单独受拉压作用比 较，发现静水压力对初始屈服应力
Me
s
h/2 y0 y0
s
y
s
+
s
+
y0 M x ydA 2b s A 0
2 h 2 y0 b s 4 3
y x s y0 h 2 y ydy s ydy y0 y0
e
应力应变关系一一对应力。
（2）当应力达到初始屈服条件（ =s 时） ，材料进入弹塑性阶 段， = + ，应力－应变关系不再是一一对应关系，而要考虑加
e p
载变形历史。 （3）对于有明显屈服流动且强化阶段较小的材料，屈服条件采 用初始屈服条件。对于无明显屈服流动且强化阶段较高的材料，将有 后继屈服函数产生。 （4）有些强化材料具有包辛格效应。
s
+
s
+
F1
s
具有一个对称轴截面梁的弹塑性弯曲特点：随着弯矩的增 大，中性轴的位置而变化。
中性轴的位置的确定： 在弹性阶段：应力为直线分布，中性轴通过截面的形心。 最大弹性弯矩
Me = s W
在弹塑性阶段：中性轴的位置由截面上合力为零来确定:
F1 = F2
在塑性流动阶段：受拉区应力和受压区应力均为常数，中 性轴的位置由截面上合力为零来确定:
第十一章
塑性力学基础知识
第一节 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
1.1 单向拉压实验： 不同材料在单向拉压实验中，有不同的应力－应变曲线。

C

A B
s
o
’s
s

o
B A O’
C
p e

p

e
p e
合金钢 -

软钢 -
当应力－应变曲线在 OA 范围内变化，材料为弹性变化。当应力 达到
o
B A O’

C B C A
’s
p e
合金钢 -
s
o

O’
s’’

包辛格效应
当卸载后，反向加载时，有些金属材料反映出反向加载的屈服极 限 ’’s s ——称为包辛格效应（Bauschinger. J. 德国人） 。 小结： （1）在弹性阶段（ s） ：=
x y

My I
max
b h y z
弹性极限状态（设矩形截面）: M=Me 在截面上 y=h/2 处，
M h M s e 2e , 2I bh 6
或
bh 2 Me s 6 ——最大弹性弯矩
弹塑性阶段：Mp M 弯矩继续增大，截面 上塑性区域向中间扩展， 塑性区域内的应力保持 不变，截面上弯矩为
在主轴方向：
J2 1 2 1 2 2 s1 s 2 s3 s1 s 2 2 s 2 s 3 2 s 3 s1 2 2 6 1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 6





J3
1 1 2 2 2 3J 1 J 2 J 13 s ij s jk s ki s ij s jk s ki s11 s 22 s 33 2 s12 s 23 s 31 s 22 s13 s11 s 23 s 33 s12 3 3 s1 0 0 1 3 3 3 s ij 0 s 2 0 s1 s 2 s 3 s1 s2 s3 3 0 0 s3
2.2 常见的几种简化力学模型： 1. 理想弹塑性模型： 加载时：

=E s = s s
s
o s

2. 线性强化弹塑性模型： 加载时：
理想弹塑性模型
=E s s
Et E ( s ) E
= E s+ Et ( - s )
Pe N 1 (1 a b) s A(1 a b)
e a Pe a N 1a s EA (1 a ) EA E b
最大弹性荷载
力 P 作用点的伸长为 (2)弹塑性解 Pp P Pe :
P = Pe 后，P 可继续增大，而 N1=sA 不增加（a 段进入塑





3 利用 s1 s 2 s3 0
2.应变偏量 eij 的三个不变量：
* 第一不变量： J 1
0
第二不变量：
* J2
1 *2 1 J 1 eij eij eij eij 2 2



1 2 2 2 e11 e22 2 e22 e33 2 e33 e11 2 e12 e23 e31 6 1 1 2 2 2 2 2 2 x y y z z x xy yz zx 6 4
a
N1a EA ,
b
N 2b EA ，代入变形协调方程为
N 1a N 2 b 0 EA EA
得
， 或
N 2 N1 a b N 2 N1 a b 代入平衡方程。
由于 b a，所以 N1 N2 ，将
N 1 P(1 a b) ， N 2 ( P a b) (1 a b) ；
代入梁弹塑性弯曲时 M 的表达式
2 h 2 y0 ，得 M b s 4 3
e

h 2 1 s 2 M b s 4 3 E
( M Me )
(3) 梁弹塑性弯曲时的卸载： 卸载是以线弹性变化，卸载后梁截面的弯矩 M=0, 但截 面内的应力不为零，有残余应力存在。以矩形截面为例：
而对于合金钢，无明显屈服，当
s 时进入强化阶段，在加 达到
载即发生弹性变形和塑性变形，卸载按线弹性。对于强化特性明显的 材料，由 O’点继续加载，在 O’ B 段又是线性弹性变化，当
B 点再次发生塑性变形，
- ’s=0——后继屈服函数 ，而 ’s=’s( p)，

’s
s
P Pp Pe
N1=sA , N2=sA
则最大荷载 Pp=2sA——极限荷载 这时杆件变形显著增加， 丧失承载能力。
e

梁的弹塑性弯曲
1. 假设： (1)材料为理想弹塑性; (2)平截面假设(适用于 l h);
s
-s

(3) 截面上正应力 x 对变形影响为主要的; 2.梁具有两个对称轴截面的弹塑性弯曲: (1) 梁的弯矩 在线弹性阶段 M M
F1 = F2
得
或
s A1 = s A2
得
A1 = A2 ——中性轴的位置由受拉区截面面积
等于受压区截面面积确定。
极限弯矩
Mp = s (S1 + S2 )
S1 和 S2 分别为面积 A1 和 A2 对等面积轴的静矩。
第三节 应力、应变偏量的不变量和等效应力 e、 等效应变 e、罗德（Lode）参数
s
+
s
h 当 y0=h/2 时： M M e b s

2
4

h 2 s bh 2 12 6
——最大弹性弯矩
当 y0=0 时： M M p 令
s bh 2
4
——极限弯矩 截面形状系数。
=Mp/Me=1.5（矩形截面）——
截面形状

1.5
1.7
的定义， 。
类似、 和 1.可求应力偏量
sij
的三个不变量：
J 1 sii s11 s22 s33 0
J2 1 2 1 J 1 sij sij sij sij 2 2


1 2 2 2 2 2 2 s11 s 22 s33 s12 s 23 s31 2 1 2 2 2 2 2 2 2 s11 s 22 s33 2 s11 s 22 2 s 22 s33 2 s33 s11 s12 s 23 s31 6 1 2 2 2 s11 s 22 2 s 22 s33 2 s33 s11 2 s12 s 23 s31 6