山东大学机械工程学院机电工程研究2010/09/02
2、运动学方程的逆解
上述方程组是由一些非线性的、超越 、难解的方程组成。为了降低求解难度， 机器人的杆件参数应仅可能地取为0，如 常见的PUMA机器人那样。对于任何非线 性方程组，必须关心其解的存在性、多解 性和求解方法。
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前置模式：
{i-1}→坐标系{i} 。 仅涉及i杆件的参数，
1、杆长:沿xi轴从zi-1到zi的距离。 2、扭角：绕xi从zi-1转到zi的角度。 3、平移量：沿zi-1轴从xi-1轴量至xi轴的距离。 4、转角：绕zi-1轴从xi-1轴到xi的转角。
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机器人运动学方程的逆解，也称机器 人的逆运动学问题，或间接位置求解。 逆运动学问题：对某个机器人，当给 出机器人手部在基座标系中所处的位置和 姿态时（即M0h中各元素给定），求出其对 应的关节变量值qi。
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2、运动学方程的逆解
逆运动学问题的可解性： 下面以六自由度机器人PUMA为例， 研究其可解性。
其中：
nx c1[c23 (c4 c5c6 s4 s6 ) s23 s5c6 ] s1 ( s4 c5c6 c4 s6 ) n y s1[c23 (c4 c5c6 s4 s6 ) s23 s5c6 ] c1 ( s4 c5c6 c4 s6 ) nz s23 (c4 c5c6 s4 s6 ) c23 s5c6
2、运动学方程的逆解
解得存在性： 解是否存在与机器人的工作空间密切 相关，工作空间又取决于机器人的结构、 杆件参数，或手部（工具）的位姿。 一般情况下，如果手部坐标系的位置 和姿态都位于工作空间内，则至少存在一 个解；相反，若手部坐标系的位置和姿态 都位于工作空间外，则无解。
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第3章 机器人运动学
3.1 机器人的位姿描述
3.2 齐次变换及运算
3.3 机器人运动学方程
3.4 机器人微分运动
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3.3 机器人运动学方程
3.3.2小节 运 动 学 方 程 的 逆解
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3.3 机器人运动学方程
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2、运动学方程的逆解
a x c1 (c23c4 c5 s23c5 ) s1s4 s5 a y s1 (c23c4 c5 s23c5 ) c1s4 s5 az s23c4 c5 c23c5
p x c1[d 6 (c23c4 s5 s23c5 ) d 4 s23 l2c2 ] s1 (d 6 s4 s5 d 2 ) p y s1[d 6 (c23c4 s5 s23c5 ) d 4 s23 l2c2 ] c1 (d 6 s4 s5 d 2 ) pz d 6 (c23c5 s23c4c5 ) d 4c23 l2 s2
3.3 机器人运动学方程
运动学逆解的求解方法 不像线性方程，不存在求解非线性方程 组的通用算法。 非线性方程组的算法应能求出它的所 有解；因此，某些数值递推方法不适用。 逆解的形式： 1)闭式解(Close-form solution):用解 析函数式表示解。 特点：求解速度快。 存在闭式解是机器人设计的目标，仅仅 在一些特殊情况下，机器人存在解析的闭式 解，如：相邻的多个关节轴交与一点，杆件 扭角等于0或90度等。
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3.3 机器人运动学方程
2)数值解(Numerical solution): 特点：递推求解。 求解方法分类： 代数法、几何法以及数值法，前两种 用于求闭式解，后一种用于数值解。 下面我们结合几个实例，介绍机器人 闭式解析解的求解方法。
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2、运动学方程的逆解
多解性问题： 解得数量不仅与机器人的关节数有关， 还与它的杆件参数、关节活动范围等相关。 一般说，连杆的非零参数越多，解的数量 就越多，即到达某个位置的路经就越多。 多个解的存在使我们面临选择。 如何选择？如：路径最短、最近原则。 多解的应用： 躲避障碍物等。
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ox c1[c23 (c4c5 s6 s4c6 ) s23 s5 s6 ] s1 ( s4c5 s6 c4 c6 ) o y s1[c23 (c4c5 s6 s4c6 ) s23 s5 s6 ] c1 ( s4 c5 s6 c4c6 ) oz s23 (c4c5c6 s4 c6 ) c23 s5 s6
其中：
cij cosi cos j sin i sin j cos(i j ) sij cosi sin j sin i cos j sin(i j )
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2、运动学方程的逆解
可见，我们有12个方程及6个未知数。 上述12个方程关系如何？ 我们先看看转动部分，它是3X3子矩阵 ，共有9个元素；我们知道，转动矩阵的每 列都是单位矢量，并且每列之间都两两正交 ；因此，9个元素中仅三个是独立的，或则 说，12个方程中仅有6个是独立，对应6个 未知数。 因此，一般情况下，单从数学的角度看 ，方程组应该是有解的。
3.3 机器人运动学方程
例1：已知四轴平面关节SCARA机器 人如图所示，试计算： （1）机器人的运动学方程； （2）当关节变量取 qi=[30°，-60°，－120，90°]T 时，机器人手部的位置和姿态； （3）机器人运动学逆解的数学 表达式。