第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
用绕动坐标轴转角为参数的欧拉角表示法 z-y-x欧拉角设定法
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
用绕动坐标轴转角为参数的欧拉角表示法
• 三次旋转变换后的得到 的姿态矩阵如何？
某个方向(或子域)上, 不管机器人关节速度怎样选择, 手部也 不可能动。
节变量)
• 一般的递推解题步骤如下：
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
例：已知T06，求例PUMA560的位姿逆解。即：已知
以及A1，A2，A3，A4，A5，A6 求： θ 1，θ 2，…θ 6（代数法）
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
开链操作机位姿逆解实例
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 2. 工业机器人速度分析 把式(3.44)两边各除以dt, 得
dX dq J (q) dt dt
或
(3.45) (3.46)
V=J(q) q
其中: V——机器人末端在操作空间中的广义速度,V=X;
J(q)——速度雅可比矩阵;
q——机器人关节在关节空间中的关节速度。
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
关于关节角(θ )的多解(多值)问题
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 5.2 工业机器人速度分析
1. 工业机器人速度雅可比矩阵 数学上, 雅可比矩阵(Jacobian Matrix)是一个多元函数的偏
导矩阵。假设有六个函数, 每个函数有六个变量, 即
(3.36)
则式(3.41)可简写为
dX=J dθ
d 1 dx 其中, dX , d d y d 2
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 由此可求得
l1s1 l2 s12 J l1c1 l2c12
l2 s12 l2c12
和姿态，称作机器人运动学正问题；对于移动关节，取 d 为 关节变量。
•
逆解
– 已知作业要求时，末端执行器的空间位置和姿态以及各杆的 结构求关节变量
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 5.1.1 工业机器人的运动学方程简介
• 这两个问题，是机器人应用中 极为重要的问题，是对机器人 进行位置控制的关键。 • 由于末端执行器类型复杂，为 了便于研究，下面以末杆的位 姿矩阵T0n 取代T0e 作为研究对象。
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
3转角表示的姿态矩阵
• 用连杆坐标系之间的变换矩阵A确定的T6建立机器人运动学方
程的方法.其中n,o,a共9个元素表示手部姿态.实际只有三个独
立的.这种方法对坐标变换运算十分方便,但利用它做手部姿态 描述不方便. • 如何用3个独立参数描述姿态? 这3个独立变量可以取作绕3个 轴的转角。
写成矩阵为
x d x 1 dy y 1
x 2 d 1 y d 2 2
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 令
x J 1 y 1
x 2 y 1
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
关于关节角(θ )的多解(多值)问题
• 代数法和几何法进行位姿逆解时，关节角的解都是多解
(多值的)的。
• 如用几何法，这种多值可以方便地由解图直接判定。
•
为达到目标点，操作机的上臂(杆2)和下臂(杆3)可有两
种位形关系。对于下臂，可在基座右面，转到基座的左 面。这样，到达目标点，就可有4种不同的位形。
解：1）求θ 1
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
2）求θ
3
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
3）求θ
2
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
求逆小结 求逆解：
1) 2) 方法：等号两端的矩阵中对应元素相等； 步骤：利用矩阵方程进行递推，每递推一次可解一个或多于 一个的变量公式； 3) 技巧：利用三角方程进行置换
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 可写成 将其微分, 得
Y=F(X)
(3.37)
可简写成
F 式中, (6×6)矩阵 称为雅可比矩阵。 X
F dY dx X
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 对于工业机器人速度分析和静力分析中遇到类似的矩阵, 我 们称为机器人的雅可比矩阵, 简称雅可比。 以二自由度平面关节机器人为例 ,如图3.14所示,机器人的手 部坐标(x,y)相对于关节变量(θ1,θ2)有
x l1 cos 1 l2 cos 12 y l1 sin 1 l2 sin 12
即
x x (1 , 2 ) y y (1 , 2 )
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 求微分有
x x dx d 1 d 2 1 2 dy y d y d 1 2 1 2
Байду номын сангаас
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
若 把 J(q) 矩 阵 的 第 1 列 与 第 2 列 矢 量 记 为 J1 、 J2, 则 有
V=J1θ1+J2θ2, 说明机器人速度雅可比的每一列表示其它关节不 动而某一关节运动时产生的端点速度。
二自由度手部速度为 (3.47)
. . . . 若已知关节上θ1与θ2是时间的函数,θ1=f1(t),θ2=f2(t), 则可求出 该机器人手部在某一时刻的速度V=f(t), 即手部瞬时速度。反之, . -1 . 给定机器人手部速度 , 可由 V=J(q)q 解出相应的关节速度 ,q=J V, 式中J-1为机器人逆速度雅可比矩阵。
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
5.1.2 反向运动学及实例
• 位姿逆解法可分为3类：
–代数法 –几何法 –数值解法。
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
若已知末杆某一特定的位姿矩阵T06：
• 方法步骤
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
• 用 qi 代替 θ i 或 di 表示关节变量 (qi 称作广义关
对于n自由度机器人,关节变量q=［q1 q2…qn］T,当关节为转 动关节时,qi=θi; 当关节为移动关节时,qi=di,则dq=dq1 dq2…dqn］
T反映关节空间的微小运动。由X=X(q)可知,
dX=J(q)dq
其中J(q)是(6×n)的偏导数矩阵. (X=[x,y,z,φx,φy,φz]T dX=[dx,dy,dz,δ φ x,δ φ y,δ φ z]T ), 称为n自由度机器人速 度雅可比矩阵。
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 逆速度雅可比J-1出现奇异解的情况如下: ① 工作域边界上的奇异 : 机器人手臂全部伸开或全部折 回时 , 叫奇异形位。该位置产生的解称为工作域边界上的奇异。 ② 工作域内部奇异 : 机器人两个或多个关节轴线重合引
起的奇异。当出现奇异形位时 , 会产生退化现象 , 即在某空间
• 机器人手部位姿的六维列矢量表示:
X=[x,y,z,φx,φy,φz]T
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
用绕基础坐标轴的转角为参数的导航角表示法 x-y-zRPY
φ——滚转角(roll)； θ——俯仰角(pith)； ψ ——偏摆角(yaw)
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
用绕基础坐标轴的转角为参数的导航角表示法 x-y-zRPY
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第五讲
机器人逆运动学及速度分析
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 5.1 工业机器人的运动学方程简介 • 运动方程
– 末端执行器(对多数机器人常表现为夹持型工具 )上的坐标系 (也称标架)相对于基础坐标系的位姿矩阵Te0，就是操作机的 运动方程。
•
正解
– 已知各杆的结构参数和关节变量，求末端执行器的空间位置