课 题： 3．5对数函数与指数函数的导数(1)教学目的：1.理解掌握对数函数的导数的两个求导公式.2.在学习了函数四则运算的求导法则与复合函数求导法则的基础上，应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数 教学重点：应用对数函数的求导公式求简单的初等函数的导数． 教学难点：对数函数的导数的记忆，对数函数求导公式的灵活运用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭3.复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u )ϕ′(x ).4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 二、讲解新课：⒈对数函数的导数（1）： xx )'(ln = 证明：∵ x x f y ln )(==∴ x x x x x x y ∆+=-∆+=∆lnln )ln()1l n (xx∆+=， ∴ )1l n (1x x x x y ∆+∆=∆∆=)1ln(1xxx x x ∆+∆x xx x x ∆∆+=)1ln(1∴ =∆∆=→∆x y y x 0lim 'x xx x x x ∆→∆∆+)1l n (l i m 10])1(lim ln[10x xx x x x ∆→∆∆+=xe x 1ln 1==． 即 xx 1)'(ln =． 附：重要极限e xxx =+∞→)11(lim 或e x x x =+→10)1(lim2.对数函数的导数（2）： xx a a log 1)'(log = 证明：根据对数的换底公式 e xx a a x x a a l o g 11ln 1)'ln ln ()'(log =⋅==． 根据对数函数的求导公式以及函数的四则运算的求导法则、复合函数的求导法则，我们可以求一些简单函数的导数．三、讲解范例：例1求)132ln(2++=x x y 的导数． 解： y ′=［ln(2x 2+3x +1)］′=13212++x x (2x 2+3x +1)′=132342+++x x x 例2求21lg x y -=的导数． 解法一：y ′=(lg21x -)′=211x-lg e ·(21x -)′=21lg x e-·21·(1－x 2)21-(1－x 2)′=21lg x e -·2121x-·(－2x )=1lg 1lg 22-=--x e x x e x分析：对数函数，可以先把它化简，然后根据求导法则进行求导解法二：∵ y =lg2112=-x lg(1－x 2) ∴y ′=［21lg(1－x 2)］′=21121x -lg e (1－x 2)′ =)1(2lg 2x e -·(－2x )=1lg 2-x ex 说明：真数中若含乘方或开方、乘法或除法的，均可先变形再求导． 实际上，解法1中u y lg =，v u =，21x v -=，取了两个中间变量，属于多重复合．而解法2中u y lg 21=，21x u -=，仅有一次复合，所以其解法显得简单，不易出错．例3求函数y =ln(12+x －x )的导数.分析：由复合函数求导法则：y ′x =y ′u ·u ′x 对原函数由外向内逐个拆成几个简单的基本初等函数.解：)1(1122'-+⋅-+='x x xx y 1221[(1)21)2x x -=+⋅-1)=-==例4 若f (x )=ln(ln x )，那么f ′(x )|x =e = .(B) A.e B.e1 C.1 D.以上都不对解：f ′(x )=［ln(ln x )］′=xln 1·(ln x )′=x x ln 1f ′(x )|x =e =e e ln 1⋅e例5 y =ln ［ln(ln x )］的导数是 (C)A.)ln(ln 1x x B.)ln(ln ln 1x x C.)ln(ln ln 1x x x D.)ln(ln 1x解：y ′=)ln(ln 1x ［ln(ln x )］′=)ln(ln 1x ·xln 1 (ln x )′=)ln(ln 1x ·x ln 1·x 1=)ln(ln ln 1x x x ⋅ 所以用复合函数的求导法则时，要由外向内逐层求导，直到不能求导为止. 例6求y =ln|x |的导数.解：当x ＞0时，y =ln x . y ′=(ln x )′=x1； 当x ＜0时，y =ln(－x )，y ′=［ln(－x )］′=x -1 (－1)= x1， ∴y ′=x1错误方法：y ′=(ln|x |)′=||1x ，|x |可以看成ln|x |的中间变量，对|x |还要求导.所以以后遇到要求含有绝对值的函数的导数时，首先要把绝对值去掉，分情况讨论.例7求y =log a 21x +的导数. 解：y ′=(log a21x+)′=211x+log a e ·(21x +)′221221log 2)1(211log x e x x x x e a a +=⋅+⋅+=- 例8（仅教师参考）求y =nx x)(ln 的导数.分析：这类函数是指数上也是含有x 的幂函数.这样用以前学过的幂函数的求导公式就行不通了. 以前指数是常数的幂函数.像形如(u (x ))v (x )的函数的求导，它的方法可以是两边取自然对数，然后再对x 求导.解：y =nx x )(ln 两边取自然对数.ln y =ln nx x)(ln =(ln x )n ·ln x =(ln x )n +1.两边对x 求导，y 1 y ′=(n +1)(ln x )n·(ln x )′=(n +1)x x n )(ln∴y ′=x x n n ))(ln 1(+·y =xx n n ))(ln 1(+·nx x )(ln =(n +1)(ln x )n ·1)(ln -nx x.四、课堂练习：求下列函数的导数.1.y =x ln x 解：y ′=(x ln x )′=x ′ln x +x (ln x )′=ln x +x ·x1=ln x +1 2.y x 解：y ′=(ln x 1)′=x11 (x 1)′=x ·(－1)·x －2=－x －1=－x 1.3.y =log a (x 2－2). 解：y ′=［log a (x 2－2)］′=2log 2-x e a (x 2－2)′=2log 22-x e x a . 4.y =lg(sin x )解：y ′=［lg(sin x )］′=x e sin lg (sin x )′=xe sin lg cos x =cot x lg e . 5.y =lnx -1.解：y ′=(ln x -1)′)1(11'--=x x)1()1(211121---=-x x )1(21)1(21-=--=x x6.y =ln12+x解：y ′=(ln12+x )′)1(1122'++=x x⋅+⋅+=-2122)1(2111x x 122+=x x x . 7.y =1ln +x xx －ln(x +1). 解：y ′=(1ln +x xx )′－［ln(x +1)］′ 21(ln )(1)ln (1)1(1)1x x x x x x x x x '+⋅+-+=-++2(ln 1)(1)ln 1(1)1x x x x x x ++-=-++ 2ln ln 1ln 1(1)x x x x x x x x +++---=+2ln (1)xx =+8.y =a a x x a a x x 22222ln22++⋅++. 解：y ′=)ln 2()2(22222'+++'+aa x x a a x x1222211()2(222x a x a x x a-'=⋅+⋅+1222221()2]2x a x -++⋅22(1+222=222==五、小结 ：⑴要记住并用熟对数函数的两个求导公式；⑵遇到真数中含有乘法、除法、乘方、开方这些运算的，可以先利用对数运算性质将函数解析式作变形处理，然后再求导，以使运算较简便 六、课后作业：求下列函数的导数：⑴)1(log 22x x y ++=； ⑵2211ln xx y -+=； ⑶xx y 2sin ln=； ⑷)(sin ln 2x e y -=． 解：⑴)'1(1log '222x x x x ey ++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=)'1(12111log 2222x x x x e⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=222111log x x x x e221log x e +=； ⑵)]1ln()1[ln(2122x x y --+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++=22221)'1(1)'1(21'x x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=22121221x x x x 412x x-=； ⑶)'2sin (2sin 'x x x x y =22sin 2cos 22sin xx x x x x -⋅=x x 12cot 2-=； ⑷cot(2)(sin )1)(cos()sin(2)(sin )]'([sin '222x e x e x e x e x e x e y --=----=--=七、板书设计（略）八、课后记：。