5.3 指數函數的導數
學習目標 ▪ 求自然指數函數的導數。 ▪ 用微積分分析含自然指數函數的函數圖形。 ▪ 研究常態機率密度函數。
歐亞書局
第五章 指數與對數函數
P.5-15
指數函數的導數
▪ 在 5.2 節中提到指數函數最方便的底是無理數 e ，其方便性在於函數 f (x) ＝ ex 的導數等於本身 (原函數)，而其他 a≠e 的指數函數y ＝ ax 皆無此 性質。若要驗證 f (x) ＝ ex 為自身的導數，觀察 極限
歐亞書局
第五章 指數與對數函數
P.5-16 圖5.9
檢查站 1
▪ 求函數 f (x) ＝ ex 在 (0, 1) 和 (1, e) 的切線方程式 。
歐亞書局
第五章 指數與對數函數
P.5-16
Байду номын сангаас
範例 2 對指數函數微分
▪ 微分下列函數。 a. f (x) ＝ e2x c.
b. d. f (x) ＝ e－x
歐亞書局
第五章 指數與對數函數
P.5-17
範例 4 分析懸索線
▪ 當電話線懸吊在兩電線桿之間，電話線會呈 U 形的曲線，稱為懸索線 (catenary)。譬如，函數 y ＝ 30(ex/60 ＋ e－x/60), －30 ≤ x ≤ 30 為懸吊在距離 60 呎遠的兩電線桿之間電話線形 狀的模型(x 與 y以呎計)。證明此電話線的最低 點是在兩電線桿間的中點，兩桿間的電話線下 垂多少呎？
歐亞書局
第五章 指數與對數函數
P.5-16
學習提示
▪ 從範例 2 可看出，對指數函數微分後，其指數
不變。譬如，y ＝ e3x 的導數為 y ＝ 3e3x，這兩
函數的指數皆為 3x。
歐亞書局
第五章 指數與對數函數
P.5-16
檢查站 2
▪ 微分下列函數。 a. f (x) ＝ e3x b. c. d. f (x) ＝e－2x
x0 x lim ex (ex 1)
x0 x
利用f (x) ex 以1 x取代ex
ex (x) lim
x0 x
約去公因式
lim ex x0
ex
化簡 極限值
歐亞書局
第五章 指數與對數函數
P.5-15
指數函數的導數
▪ 若 u 為 x 的函數，則可用連鎖律來求 eu 對 x 的 導數，公式總結如下：
歐亞書局
第五章 指數與對數函數
P.5-17
範例 3 對指數函數微分 （解）
c. f (x) ex x
f
( x)
xex
ex (1) x2
ex (x 1) x2
d. f (x) xex ex
f (x) [xex ex (1)] ex
xex ex ex
xex
寫出原函數 商律 化簡 寫出原函數 乘積律與差律
化簡
歐亞書局
第五章 指數與對數函數
P.5-17
檢查站 3
▪ 微分下列函數。
a. f (x) x2ex ex
c. f (x) x2
b. f (x) ex ex 2
d. f (x) x2ex ex
歐亞書局
第五章 指數與對數函數
P.5-17
應用
▪ 第四章介紹了如何用導數來分析函數的圖形， 下個範例則要將這些技巧應用在含指數函數在 內的函數上面。請注意，若 ea ＝ eb則 a ＝ b。
歐亞書局
第五章 指數與對數函數
P.5-18
範例 4 分析懸索線 （解）
▪ 函數的導數為
y
30
ex/60
1
60
e x/60
1
60
1 (ex/60 ex/60 ) 2
歐亞書局
第五章 指數與對數函數
歐亞書局
第五章 指數與對數函數
P.5-16
範例 2 對指數函數微分 （解）
a. 令 u ＝ 2x，則 du/dx ＝ 2，再利用連鎖律可得
f (x) eu du e2x (2) 2e2x dx
b. 令 u ＝ －3x2，則 du/dx ＝ －6x，再利用連鎖律 可得
f (x) eu du e3x2 (6x) 6xe3x2 dx
lim (1 x)1/x e
x.0
歐亞書局
第五章 指數與對數函數
P.5-15
指數函數的導數
▪ 對很小的 Δx 而言， e ≈ (1 ＋ Δx)1/Δx ，或 eΔx ≈ 1 ＋ Δx，在下列的導數推導過程中要用到此近似
式。
f (x) lim f (x x) f (x) 導數的定義
x0
x
exx ex lim
f (0) ＝ e0 ＝ 1
點 (0, 1) 的切線斜率
在 (1, e) 的切線斜率為
f (1) ＝ e1 ＝ e
點 (1, e) 的切線斜率
歐亞書局
第五章 指數與對數函數
P.5-16
範例 1 解釋導數之意義 （解）
▪ 如圖 5.9 所示。由此推論， f (x) ＝ ex 圖形上任 一點 (x, ex) 的切線斜率等於該點的 y 座標。
歐亞書局
第五章 指數與對數函數
P.5-16
指數函數的導數
▪ 第三章所介紹的微分法則可用在指數函數上， 如範例 3 所示。
歐亞書局
第五章 指數與對數函數
P.5-17
範例 3 對指數函數微分
▪ 微分下列函數。
a. f (x) xex b. f (x) ex ex 2
c. f (x) ex x
歐亞書局
第五章 指數與對數函數
P.5-16
範例 2 對指數函數微分 （解）
c. 令 u ＝ x3，則 du/dx ＝ 3x2，再利用連鎖律可得
f (x) 6eu du 6ex3 (3x2 ) 18x2ex3 dx
d. 令 u ＝ －x，則 du/dx ＝ －1，再利用連鎖律可 得
f (x) eu du ex (1) ex dx
d. f (x) xex ex
歐亞書局
第五章 指數與對數函數
P.5-17
範例 3 對指數函數微分 （解）
a. f (x) xex
寫出原函數
f (x) xex ex (1) 乘積律
xex ex
化簡
b. f (x) ex ex 2
寫出原函數
1 2
(ex
ex )
改寫函數
f (x) 1 (ex ex ) 常數倍數律 2
歐亞書局
第五章 指數與對數函數
P.5-15
範例 1 解釋導數之意義
▪ 求函數
f (x) ＝ ex
原函數
在 (0, 1) 和 (1, e) 的切線斜率。可做出什麼結論 ？
歐亞書局
第五章 指數與對數函數
P.5-16
範例 1 解釋導數之意義 （解）
▪ 因為 f 的導數為
f (x) ＝ ex
導數
所以 f 圖形在 (0, 1) 的切線斜率為