第五章 平面向量第一教时教材：向量目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。

过程：一、开场白：课本P93（略）实例：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去， 问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。

二、 提出课题：平面向量1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。

例：力、速度、加速度、冲量等注意：1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

2从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

2． 向量的表示方法： 1几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫）2字母表示法：可表示为 P95 例 用1cm 表示5n mail （海里）3． 模的概念：向量 记作：|| 模是可以比较大小的4． 两个特殊的向量：1零向量——长度（模）为0的向量，记作。

的方向是任意的。

注意与0的区别2单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。

例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？答：不是。

因为零上零下也只是大小之分。

例：与是否同一向量？A B A(起点) B （终点） a答：不是同一向量。

例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。

三、 向量间的关系：1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作：∥∥ 规定：与任一向量平行2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

记作：= 规定：=任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。

3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。

= = =例：（P95）略变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（,,）四、 小结： 五、 作业：P96 练习 习题5.1第二教时教材：向量的加法目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作几个向量的和向量。

能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向量计算。

过程：六、复习：向量的定义以及有关概念强调：1向量是既有大小又有方向的量。

长度相等、方向相同的向量相等。

2正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。

七、 提出课题：向量是否能进行运算？5．某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，a bcA B C则两次的位移和：=+6．若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ 7．某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+ 8．船速为，水速为， 则两速度和：=+提出课题：向量的加法三、1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。

注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则：强调：1“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点2可以推广到n 个向量连加 3=+=+4不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则3．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b 作法：在平面内取一点， 作= = 则b a OB +=4．加法的交换律和平行四边形法则上题中+的结果与+是否相同 验证结果相同 从而得到：1向量加法的平行四边形法则 2向量加法的交换律：+=+9．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)A BCA BCAA AB B BC C OABaaabbba +b a +b a a b b b a a ACDca +b+ca +bb+c证：如图：使=, =, =则(+) +==+ + (+) ==+ ∴(+) +=+ (+)从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。

四、例二（P98—99）略五、小结：1向量加法的几何法则 2交换律和结合律 3注意：|+| > || + ||不一定成立，因为共线向量不然。

六、作业：P99—100 练习 P102 习题5.2 1—3第三教时教材：向量的减法目的：要求学生掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。

过程：八、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律：例：在四边形中，=++BA BA CB CD 解：=++=++九、 提出课题：向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法1“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。

记作a2规定：零向量的相反向量仍是零向量。

(a ) = a任一向量与它的相反向量的和是零向量。

a + (a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = b , b = a , a + b = 0 3向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。

即：a b = a + (b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。

2．用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a b 3．求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a b ) + b = a + (b ) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O ， 作= a , = bA BO a bBa bab则= a b即a b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量。

注意：1AB 表示ab 。

强调：差向量“箭头”指向被减数2用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + (b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。

4．a ∥b ∥ca b = a + (b ) a b十、例题：例一、（P101 例三）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a b 、c d 。

解：在平面上取一点O ，作OA = a , OB = b , OC = c , OD = d , 作BA , , 则BA = a b , = cd例二、平行四边形中，，用表示向量， 解：由平行四边形法则得： = a + b, DB = AD AB = ab变式一：当a , b 满足什么条件时，a +b 与a b 垂直？（|a | = |b |） 变式二：当a , b 满足什么条件时，|a +b | = |a b |？（a , b 互相垂直） 变式三：a +b 与a b 对角线方向不同）十一、 小结：向量减法的定义、作图法|OA Ba B’b bB a + (b ) a b ABCbad cDOa b A B B’ a ba ab b O A O Ba b B A O b十二、 作业： P102 练习P103 习题5.2 4—8第四教时教材：向量、向量的加法、向量的减法综合练习《教学与测试》64、65、66课 目的：通过练习要求学生明确掌握向量的概念、几何表示、共线向量的概念，掌握向量的加法与减法的意义与几何运算。

过程：十三、 复习：1︒向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向量2︒向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律 十四、 1．处理《教学与测试》P135—136 第64课 （略）2．处理《教学与测试》P137—138 第65课例一、设a 表示“向东走3km ”，b 表示“向北走3km ”，则a + b 表示向东北走23km 解：= +233322=+=OB (km )例二、试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

证：由向量加法法则： = +, = + 由已知：AO =OC , DO =OB∴= 即AB 与CD 平行且相等 ∴ABCD 为平行四边形例三、在正六边形中，若OA = a , OE = b ，试用 向量a 、b 将、、表示出来。

解：设正六边形中心为P则=++=+=OA OE OA PB OP OB )(a + b=+=PC OP OC a + b + a + b由对称性：= b + b + a3．处理《教学与测试》P139—140 第66课 （略）十五、 有时间可处理“备用题”：Ba +b bO a AA BC例一、化简++++解：++++= ++++ =+++=++=+= 0例二、在静水中划船的速度是每分钟40，水流的速度是每分钟20，如果船从岸边出发，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向何处？ 解：如图：船航行的方向是与河岸垂直方向成30︒夹角，即指向河的上游。

十六、 作业：上述三课中的练习部分（选）第五教时教材：实数与向量的积目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。

过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。

二、1．引入新课：已知非零向量a 作出a +a +a和(a)+(a )+(a )=++=a +a +a =3a=++=(a )+(a )+(a )=3a讨论：13a 与a 方向相同且|3a |=3|a|23a 与a 方向相反且|3a |=3|a| 2．从而提出课题：实数与向量的积实数λ与向量a 的积，记作：λa定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa1|λa |=|λ||a|2λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=03．运算定律：结合律：λ(μa )=(λμ)a①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa②第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③上游 下游 a a a a O A B C a -a-a-a-NMQP结合律证明：如果λ=0，μ=0，a=至少有一个成立，则①式成立 如果λ0，μ0，a有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a||(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a|∴|λ(μa )|=|(λμ)a|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a反向。

从而λ(μa )=(λμ)a第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a=至少有一个成立，则②式显然成立 如果λ0，μ0，a当λ、μ同号时，则λa 和μa同向，∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a| |λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a |∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a同向即：|(λ+μ)a |=|λa +μa|当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa同向当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa同向还可证：|(λ+μ)a |=|λa +μa|∴②式成立第二分配律证明：如果a=，b =中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立当a ，b且λ0，λ1时1当λ>0且λ1时在平面内任取一点O ，作=a =b =1λa=11B A λb则=a +b =1OB λa+λb由作法知：AB ∥11B A 有OAB=OA 1B 1 |AB |=λ|11B A |==||||111AB OA λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1OAB B 1A 11λ AOB= A 1OB 1因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λ| 1OB 与λ方向也相同λ(a +b )=λa+λb当λ<0时 可类似证明：λ(a +b )=λa+λb ∴ ③式成立4．例一 （见P104）略三、向量共线的充要条件（向量共线定理）1．若有向量a (a 0)、b ，实数λ，使b =λa则由实数与向量积的定义知：a 与b为共线向量 若a 与b 共线(a)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa当a 与b 反向时b =μa从而得：向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使b =λa2．例二（P104-105 略） 三、小结：四、作业： 课本 P105 练习 P107-108 习题5.3 1、2第六教时教材：平面向量基本定理目的：要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。