第一章 行列式1.()()[][][]23154110103631254=520010=8(1)3(1)321(1)(2)(3)2441(1)3214243(1)321012)4n n n n n n n n m n m n n n m n m n n m 1τ=++++=2τ+++++-τ-⋯=-+-+-+⋯+2+1+0===+τ-⋯=+=+τ-⋯=⋯（）该数列为奇排列（）该排列为偶排列（） 当或时，为偶数，排列为偶排列当或时，为奇数，排列为奇排列（其中，，（）[][][]12(1)13521)246(2)0123(1)244113521)246(2)424313521)246(2)012)2.(1)(2)(n n n n n n n m n m n n n m n m n n m i i i k n n n -τ⋯-⋯=++++⋯+-===+τ⋯-⋯=+=+τ⋯-⋯=⋯⋯-+-+（ 当或时，（为偶数，排列为偶排列当或时，（为奇数，排列为奇排列（其中，，解：已知排列的逆序数为，这个数按从大到小排列时逆序数为()()111112(1)3)2(1)2x x x n x n x n n n n n n x i r i i i n x r i n x n n i i i i i i -+-+---+⋯+2+1+0=----τ⋯=-τ⋯个.设第数之后有个数比小，则倒排后的位置变为，其后个数比小，两者相加为故3 证明：.因为：对换改变排列的奇偶性，即一次变换后，奇排列改变为偶排列，偶排列改变为奇排列∴当n ≥2时，将所有偶排列变为奇排列，将所有奇排列变为偶排列 因为两个数列依然相等，即所有的情况不变。

∴偶排列与奇排列各占一半。

4 （1）13243341a a a a 不是行列式的项 14233142a a a a 是行列式的项 因为它的列排排列逆序列τ=(4321)=3+2+0+0=5为奇数，∴应带负号（2）5142332451a a a a a 不是行列式的项 1352413524a a a a a =1324354152a a a a a 因为它的列排排列逆序列τ(34512)=2+2+2+0+0=6 为偶数∴应带正号。

5 解： 112332441223344114233142a a a a a a a a a a a a 利用τ为正负数来做，一共六项，τ为正，则带正号，τ为负则带负号来做。

6 解：（1）因为它是左下三角形112122313233..........12300...00...0......n n n nna a a a a a a a a a =112131411223242233433444...............0...00 0 (0000)...n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a =()()1231122331n nn a a a a τ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=112233nn a a a a ⋅⋅⋅ （2）11123141521222324253132414251520000000a a a a a a a a a a a a a a a a =()22232425113211425200010000a a a a a a a a +-+()21`232425213112415100010000a a a a a a a a +-=()()1111112212211010a a a a ++-⋅--⋅=0（3）1200340021131751-=()1212121313451+++-⋅-=32 （4）0000000000000xy x y x y x y yx=()()01212023120000011000x y xy xy x y y x y xx yy x++++++-+-=55x y + 7.证明：11121212212............n nn n nna a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=将行列式转化为11122120...00...0 0n n a a a a a 若 零元多于2n n -个时，行列式可变为211200...00 0...0n n a a a 故可知行列式为0.8.（1）204136113131212331---=--52041361112302331----=4310361112302331--=-54310594012302331-=-54314315945212106301231370--==-()()1122121212111212112122111112121212122112121122121.)().)1101=y mx b x y x y y y m x x y y y x b x y x x y y x y y x y x y y x b b y x x x x x x y y x y x yy x x x x x x y x y x y y y x y x =+-=--=⋅+----=⋅+⇒=-=-----=⋅+--=-- 第一章 高数 3册9.(1).经过(，，斜率代入(，则又由左边()()2122112122112120x x y x y y y x y x yy x x x x x -+-==--=⋅+--右边则问题特征：()()()()()22222222sin cos cos 2sin cos cos 2sin cos cos 2cos c 10.145os cos 2.=+=221=b cc a a b b c c a a b b c c a b a bc a c a b b c a c a b b c a c a b a b c a b c a b c αααβββγγγααα'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''+++++++++-利用性质和分成六个行列式相加其余结合为零故原式性质2()()22222222222222cos 1cos cos 2cos cos cos 22cos 1cos cos 2cos cos cos 22cos 1cos 1-2+(1)_cos 2cos 2cos cos 2cos 2cos cos 1052cos 2cos cos 2αααββββββγγγγγγαααβββγγγ---=-=--（）列列性质()()()()()()22222342222222222222000013.000401111111010101010111.12324323yzxz xzx y z xyz xyz xyz x z y x xz xy y z x yyz x y yz xz xy zyx z y z x zxyz y z y xyz xyz z x z yz xz xy y x y x a bc d a a b a b ca b c d a a b a b ca b c d a a ⨯⨯⨯−−−−→←−−−−⋅⋅⨯⋅==⋅⋅+++++++++++++列列列列()()()()()()()()()()()()()()1-122+323423+43-3446310630002324320020363106300363000200b a bc a b c da b c d a b c d aa ba b c a a b a b c a a ba b ca ab a a b a b caa ba b c da ab a bc a a a b a⋅⋅-⋅⋅-⋅++++++++++++−−−−−→−−−−−−→←−−−−−←−−−−−−+++++++++++−−−−−→=←−−−−−+列加到行行列行行行行()()()()()()()()()()()()1-2+21-3+31-+1+1112131*********23311231231000-103-12622-1-20-1032-1-2-30-102620321-1234!004200013n n n n n n n n n n n nn nn n n nx a a a a a x x a a x x x a x x x x x ⨯⨯⨯−−−−−→←−−−−−⨯=⨯⨯⨯⨯==LL L L L L L M M M M M M M M LLL L L L M MM L L L L L L L L L L列列列列列列降阶()()()()()()()()312232233231221331122133********21-+21+131131-+11111101-1110010n n n n nn nn nn n n nx n nn n x n nn n a x a a x x a x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x a x a x ⨯⨯-----------−−−−−−→-⨯⨯⨯-←−−−−−−-LL L L L L L L L LL L L L L L L LL L L L L L LLL列列列列降阶习题一 13 （1）000000000000x y x y D x y y x=L L M M M L M M L L根据“定义法”(2.3.4.5...)1(1)(1)nI n n n n n D x y x y -=+-=+-（2）1231110002200011n n D n n--=+---L L L LL L L L LL根据“降阶法”~n (1)n(n+1)23n-1n 2n(n+1)34n 12n(n+1)12n-2n-12D −−−−−→L L L L L LLLL 将第2列加到第列上得-1123n-1123n-1n 011111341n(n+1)n(n+1)=01111221122101111n n nn n n n -−−−−−−→----L L LL L LL L L L L L L L L L L LL将前一行乘以加到后一行得(2)~(n)(1)1111-n -1111-n 111-n 1-111-n 1n(n+1)(n-1)=211-n 11-11111-n 111−−−−−→L L L L L L LL L L LL L L L LL 将列加到列上得变为阶1111-n 111-n 1n(n+1)=-211-n 111111L L L L L L L L L-1(1)(2)~(n)110110(1)-210100nn n n n ⨯--+−−−−→-L LL L L L L L L L列加到列2(1)(2)3222(1)2112222(1)11(1)(1)(1)(1)222n n nn n n n n n n n n n n nn ---+--+---+++=---=-=-（3）212122222111112111111a12111(1)(1)(1)(2)(1)12(2)(2)(1)(2)(1)11(1)(1)n n n n n n n n a a a a a a n a a a a a a a n a a a a a a a n a n a n a n -----------+---−−−→---+------+-+-+-+L L L L L L LLLLL MMMMM LL 转置(1)2(-1)1!2!(1)!n n n -−−−−−→-L 范达蒙行列式注：根据范达蒙行列式原式=123(1)(1)(2)(1)(1)1!2!(1)!n n n ++++----+=--L gL L(1)(2)(2)n ---+g L L L-1 =(1)2(1)1!2!(1)!n n n ---L（4）122111111111122122222222nn 122-111111111a nn n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n a a b a b a b b a a b a b a b b n a a b a b a b b --------++++++++L L LLLLLL L 第行提出得12211111111112122222n-11212222211111211111111n n n nn n n nn nn n n n n n n n n n n n n b a b a ba ba b b b b a a aa a a ab b b b a a a a -----+-++++-++++L L L L L LL LLL=2111112111112122222n-11212222211111211111111n n n nn n n n nnn n n n n n n n n n n n n b b b b a a a a b b b b a a a a a a a b b b b a a a a ---+-++++-++++L L L L L L LLL L =1231()()j n n n n i n j i i j i jb b a a a a a b a b a a ππ+-=-L14 （1）证明：cossincos222cossincos 222+cossincos222αβαβαββγβγβγγαγαγα-++-++-+ sincossincos2222=coscos ++22sincos sincos2222βγβγαβαβαββγγαγαγαγα++++---++sincos-22+cos++2sincos22αβαβγαβγβγ++ ++=cos(sin coscossin)cos(sincoscossin)2222222222αββγγαβγγαβγαβγααβγα-++++-++---+cos(sincoscossin)22222γααββγαββγ-++++-cos sin cos sin cos sin222222αββαβγβγγααγ------=-+ 111sin()sin ()sin()222βαγβαγ=-+-+- []1sin()sin()sin()2βααγγβ=-+-+- (2)证明：123422221234444412341111x x x x x x x x xxxx12341x x x x +++=（3）12(-1)(1)~()na x a a a a a a x a a an a a a a x a a a a aa+++LL M M M M M 最后一行乘以加到行得 121212300000000000n n n x x x x x a ax x x x x a a a a a==L LL L M M M M M L L（4）“递推法”01211000100001000n n a a x a x a x-----L L MM M M M L L 01n+n112100100010100(-1)(1)00001n n n a a x x xa a x x +------+--L L L L M M M M M M M M L L 降阶 11n n xD a --=+12221112011:n n n n n n D xD a D xD a D a x a x a ------=+=+∴=+++LL 由此类推15.(1)=+ =(ab+1)(cd+1)-[a(-d)]=(ab+1)(cd+1)+ad==(4-6) (-1-15)=32=++精品教育=-a(c-d)-a(d-b) -a(d-c)精品教育=abd= abd(c-b)(d-b)(c-d)精品教育(4) ===(== 16.范达行列式V()=31()x x -L13221()())()n n n n x x x x x x x x --=---L L （21211111221111111n n n n n n x x x a a a a a a a ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L LL M MLL−−−→←−−−转量行列式12122111111211111n n n n n n x a a a x a xa a a ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L LM L M M M M LM =121()(n a x a x a x ----L L ）（）21(a -a ）11n a a --L L （）32(a -a ）L 1212n n n a a ----L （）(a -a )（1）因为121n a a -L L a 为常数。