第章机械振动与机械波 Final revision on November 26, 2020第3章 机械振动与机械波3-1判断下列运动是否为简谐振动（1） 小球沿半径很大的水平光滑圆轨道底部小幅度摆动； （2） 活塞的往复运动；（3） 质点的运动方程为sin(/3)cos(/6)x a t b t ωπωπ=+++ （4） 质点的运动方程为cos(/3)cos(2)x a t b t ωπω=++（5） 质点摆动角度的微分方程为 2221050d dtθθ++=答：（1）是简谐振动，类似于单摆运动； （2）不是简谐振动；（3）是简谐振动，为同频率、同振动方向的两个简谐振动的合成； （4）不是简谐振动，为不同频率、同振动方向的两个简谐振动的合成； （5）不是简谐振动。

3-2物体沿x 轴作简谐振动，振幅A =m ，周期T =2s 。

当0=t 时，物体的位移x =m ，且向x 轴正方向运动。

求：(1)此简谐振动的表达式；(2)4Tt =时物体的位置、速度和加速度；(3)物体从06.0-=x m 向x 轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间。

解：（1）设此简谐振动的表达式为：0cos()x A t ωϕ=+，则振动速度0sin()dxA t dtυωωϕ==-+, 振动加速度2202cos()d xa A t dtωωϕ==-+由题意可知：0.12A =m ，2T =s ，则22Tπω==(rad/s) 又因为0t =时0.06x =m 且0υ>，把初始运动状态代入有：00.060.12cos ϕ=，则03πϕ=±又因为0t =时0sin 0A υωϕ=->，所以03πϕ=-时故此简谐振动的表达式为：0.12cos()3x t ππ=- m(2) 把4Tt =代入简谐振动表达式：10.12cos()0.10423x ππ=⨯-==（m ）把4Tt =代入简谐振动速度表达式： 10.12sin()0.060.1823πυπππ=-⨯⨯-=-=-(m/s)把4Tt =代入简谐振动加速度表达式：2210.12cos() 1.0323a πππ=-⨯⨯-=-=(m/s 2)(3) 由旋转矢量法可知，物体在06.0-=x m 向x 轴负方向运动时，相位为123πϕ=，而物体从06.0-=x m 向x 轴负方向运动第一次回到平衡位置时，相位为232πϕ=，旋转的角度21325236πππθϕϕ∆=-=-=， 则所需的时间为：56t θω∆∆===(s)3-3 如图示，质量为g 10的子弹以速度310=v s /m 水平射入木块，并陷入木块中，使弹簧压缩而作简谐振动。

设弹簧的劲度系数3108⨯=k 1m N -⋅，木块的质量为kg 99.4，桌面摩擦不计，试求：（1）振动的振幅；（2）振动方程。

解：（1）子弹进入木块后，与木块一起做简谐振动，子弹与木块的作用时间短，在水平方向动量守恒且弹簧没有形变，设子弹进入木块后木块的位置为坐标原点，水平向右的方向为正方向，子弹进入木块后与木块的共同速度为0υ，则0()m M m υυ=+，0m M m υυ=+，代入数据得：02υ=(m/s)，子弹与木块相互作用时，弹簧没有形变，即该简谐振动的初始位置00x =，弹簧简谐振动的圆频率ω=40ω=(rad/s)，所以A =0.05A =m 。

(2) 由0t =时，00x =且向X 轴的正方向运动，所以02πϕ=-，所以振动方程为：0.05cos(40)2x t π=- m3－4一重为p 的物体用两根弹簧竖直悬挂，如图所示，各弹簧的劲度系数标明在图上。

试求图示两种情况下，系统沿竖直方向振动的固有频率。

习题3-3 图解：a 图中两弹簧是串联的，总劲度系数1212k k k k k =+， 弹簧振子的固有频率为1212()k k g km k k pω==+。

b 图中两弹簧是并联的，总劲度系数2K k =，弹簧振子的固有频率为2K kgm pω==。

3-5 一匀质细圆环质量为m ，半径为R ，绕通过环上一点而与环平面垂直的水平轴在铅垂面内作小幅度摆动，求摆动的周期。

解：设转动轴与细圆环的交点为坐标原点，过原点的竖直轴为Y轴，由转动轴定理可知，该圆环的小幅度摆动的平衡位置为圆环的质心在Y 轴时，由平行轴定理可知，圆环对通过环上一点而与环平面垂直的水平轴的转动惯量为：把圆环沿逆时针方向拉离平衡位置转动θ，则圆环对转轴的重力矩为sin M mgR θ=，方向为θ增大的反方向，由转动轴定理：M J β=， 即22d sin 0d J mgR tθθ+=，由于环做小幅度摆动，所以sin θ≈θ，可得微分方程22d 0d mgRt Jθθ+=， 摆动的圆频率为：mgRJω=， 周期为：2222J RT mgR gπππω=== 3-6． 横截面均匀的光滑的U 型管中有适量液体如图所示，液体的总长度为L ，求液面上下微小起伏的自由振动的圆频率。

解：如图所示建立坐标，两边液面登高时为坐标原点，向上为Y 轴正方向，左边液面上升y ，则右边液面下降y ，U 型管的横截面面积为S ，液体的密度为ρ，则左右液面的压力差为：2F gyS ρ=-，方向为Y 轴的负方向，由牛顿第二定律：F ma =可知，222d ygyS SL dtρρ-=，即2220d y g y dt L +=， 故液面上下微小起伏的运动为简谐振动，其振动的圆频率2gLω=C Rmgθ O3-7 如图一细杆AB 一端在水平槽中自由滑动，另一端与连接圆盘上，圆盘转轴通过o 点且垂直圆盘和OX 轴，当圆盘以角速度ω做匀速圆周运动时，写出槽中棒端点B 的振动方程，自行设计参数，利用mathematica 软件或matlab 软件画出振动图线。

解：在AOB 中，AB 长度不变，设为l ，圆半径OA 不变设为R ，OA 与OB 的夹角设为t θω=，则B 点的坐标x 满足关系式：上式表明，x 是时间t 的周期函数，但不是谐振动函数。

取2,1,10l R ω===,画图如下。

3-8质量为31010-⨯kg 的小球与轻弹簧组成的系统，按1.0=x )328cos(ππ+t 的规律作振动，式中t 以秒)s (计，x 以米)m (计。

求：（1）振动的圆频率、周期、振幅、初位相； （2）振动的速度、加速度的最大值；（3）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能；画出这振动的旋转矢量图，并在图中指明1=t 、2、10s 等各时刻的矢量位置。

解：（1）由振动的运动学方程可知：振幅0.1A =m ，圆频率8ωπ=rad/s ，周期220.258T ππωπ===(s)，初相位023πϕ=。

（2）振动的速度：20.8sin(8)3dx t dt πυππ==-+，振动速度的最大值为：max 2.51υ=(m/s)，振动的加速度：22226.4cos(8)3d x a t dt πππ==-+，振动加速度的最大值为：max 63.1a =(m/s 2)（3）最大回复力：max max 0.63F ma ==(N)，振动能量：2222113.161022E kA m A ω-===⨯(J) 平均动能和平均势能：211.58102p k E E E -===⨯(J)3-9 质量为kg 25.0的物体，在弹性力作用下作简谐振动，劲度系数k 1m N 25-⋅=，如果开始振动时具有势能J 6.0和动能J 2.0，求：（1） 振幅多大经过平衡位置的速度。

（2） 位移为多大时，动能恰等于势能解：（1）简谐振动能量守恒，其总能等于任意时刻的动能与势能之和，即210.82k p E E E kA =+==，所以振幅0.253A =(m)，在平衡位置时，弹簧为原长（假设弹簧座水平方向谐振动），此时只有动能，即210.82k E E m υ===(J)，所以速度 2.53υ=(m/s).（2）要使10.42k p E E E ===(J)，即210.42p E kx ==(J)，则位移0.179x =±(m)。

3-10 两个质点平行于同一直线并排作同频率、同振幅简谐振动。

在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反。

求它们的位相差，并作旋转矢量图表示之。

解：设它们的振动方程为0cos()x A t ωϕ=+， 当2A x =时，可得位相为3πϕ=±． 由于它们在相遇时反相，可取13πϕ=-，23πϕ=它们的相差为2123πϕϕϕ∆=-=， 同理当2A x =-时，可得位相为23πϕ=±，它们的相差为43πϕ∆=矢量图如图所示．3-11 已知两个同方向简谐振动如下：130.05cos(10)5x t ππ=+，210.06cos(10)5x t ππ=+（1） 求它们合成振动的振幅和初位相； （2）另有一同方向简谐振动30.07cos(10)x t πϕ=+，问ϕ为何值时，31x x +的振幅为最大ϕ为何值时，32x x +的振幅为最小ϕ为何值时，123x x x ++的振幅最小解：（1）由同频率、同方向的简谐振动合成可知：A =1102200110220sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=+，其中10.05A =m ，20.06A =m ，1035πϕ=，205πϕ=，25πϕ∆=，所以它们的合振动振幅为：28.9210A -=⨯m ，它们合振动的初相位：0'06813ϕ=。

（2）由同频率、同方向的简谐振动合成可知，同相位振动，其合成振幅最大；反相位振动，其合成振幅最小。

所以要使31x x +的振幅为最大，cos 1ϕ∆=则35πϕ=；要使32x x +的振幅为最小，cos 1ϕ∆=-则65πϕ=时；要使123x x x ++的振幅最小，cos 1ϕ∆=-则0'11147ϕ=-。

3-12 三个同方向，同频率的简谐振动为)6314cos(08.01π+=t x ,)2314cos(08.02π+=t x ,)65314cos(08.03π+=t x求：（1）合振动的圆频率、振幅、初相及振动表达式；（2）合振动由初始位置运动到A x 22=所需最短时间（A 为合振动振幅）。

解：（1）合振动的圆频率为314100ωπ==(rad/s)，1230.08A A A ===(m)，根据公式得 112233sin sin sin 0.16y A A A A ϕϕϕ=++=(m ）合振幅为：A == (m)，初位相为：()arctan //2y x A A ϕπ==。

合振动的方程为：0.16cos(100)2x t ππ=+（2）当/2x =时，可得cos(100/2)2t ππ+=，解得100/2/4t πππ+=或7/4π由于0t >，所以只能取第二个解，可得所需最短时间为t = (s)3－13 将频率为Hz 384的标准音叉振动和一待测频率的音叉合成，测得拍频为Hz 0.3，在待测音叉的一端加上一小块物体，则拍频将减小，求待测音叉的固有频率。