特征函数的概念及意义
目录：
一．特征函数的定义。
二．常用分布的特征函数。
三．特征函数的应用。
四．绪论。
一．特征函数的定义
设X 是一个随机变量，称 ()()
itX
e t E =ϕ, +∞<<∞-t ,
为X 的特征函数.
因为＝１Ｘit e ，所以()
itX e E 总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的.
当离散随机变量X 的分布列为() ,3,2,1,P p k ===k x X k ，则X 的特征函数为
()∑+∞
==1k k itx p e t k ϕ, +∞<<∞-t .
当连续随机变量X 的密度函数为()x p ,则X 的特征函数为 ()()⎰+∞
∞-=dx x p e t k itx ϕ, +∞<<∞-t .
与随机变量的数学期望，方差及各阶矩阵一样，特征函数只依赖于随机变量的分布，分布相同则特征函数也相同，所以我们也常称为某分布的特征函数.
二．常用分布的特征函数
1、单点分布：().1P ==a X 其特征函数为 ().e t it a =ϕ
2、10-分布：()(),10x p 1p x X P x
1x =-==-，，其特征函数为
()q pe t it +=ϕ，其中p 1q -=.
3、泊松分布()λP ：()λλ-=
=e k k X P k
！
，k=0,1， ，其特征函数为
()()∑+∞
=---===0k 1e e k
ikt
it
it e e e e k e
t λλλλλϕ！
. 4、均匀分布()b a U ,：因为密度函数为
()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.;,
0,
1其他b x a a b x p
所以特征函数为
()()
⎰
--=
-=b a
iat
ibt itx a b it e e dx a b e x ϕ. 5、标准正态分布()1,0N ：因为密度函数为
()2
221x e x p -=
π
， +∞<<∞-x .
所以特征函数为
()()
⎰
⎰∞+∞-∞+∞
----
-
∞==
dx
it x t x itx e e
dx e x 22
22
222121
π
ϕ
=⎰
-∞+-∞---
-
=it
it
t t t e
dz e
e
2
2
2
22221π
.
其中
⎰
-∞+-∞--
=it
it
x dz e
π22
2 .
三．特征函数的应用
1、在求数字特征上的应用
求()
2N σμ，分布的数学期望和方差. 由于()2N σμ，的分布的特征函数为()2
t i 2
2e
t σμ
ϕ=,
于是由()k k k i 0ξϕE =得，
()μϕξi 0i ′
==E , ()22″
220i σμϕξ--==E , 由此即得
()22
2D σξξξμξ=E -E ==E ，.
我们可以看出用特征函数求正态分布的数学期望和方差, 要比从定义计算
方便的多.
2、 在求独立随机变量和的分布上的应用
利用归纳法, 不难把性质4推广到n 个独立随机变量的场合,而n
21,ξξξ ，，是n 个相互独立的随机变量, 相应的特征函数为
()()()∑==n 1
i i n 21t t t ξξϕϕϕ，则，，， 的特征函数为()()∏==n
1
i i t t ϕϕ.
设()n ,,21j j ，=ξ是n 个相互独立的，且服从正态分布()
2N j j a σ，的正态随机变量.
试求∑==n
1j j ξξ的分布.
由于j ξ的分布为()
2N j j a σ，，故相应的特征为()2
2
2t
ia j j j
e t σϕ=.
由特征函数的性质()()ξϕϕ可知∏==n
j j t t 1的特征函数为
()()21
212
2211
1
2
t t a i n j n
j t
ia j n
j j n
j j j j
e
e
t t ⎪
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛
==∑∑
=====∏∏σσϕϕ.
而这正是⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∑∑==n j j n j j a N 12
1,σ的特征函数.
由分布函数与特征函数的一一对应关系即知ξ服从⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∑∑==n j j n j j a N 12
1,σ. 3、 在证明二项分布收敛于正态分布上的应用
在n 重贝努力实验中，事件A 每次出现的概率为p(0<p<1)，n μ为n 次试验中事件A 出现的次数，则
dt e x npq np P x
t n
n ⎰
∞
-∞→=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛<-2
2
21
lim πμ.
要证明上述结论只需证明下面的结论，因为它是下面的结论一个特例. 若 ,,21ξξ是一列独立同分布的随机变量，且
()
,,2,1,0,22 =>==E k D a k k σσξξ则有
dt e x n
na P x
t n k k n ⎰
∑∞
-=∞→=⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛<-2
12
21lim π
σξ.
证明 设a k -ξ的特征函数为(),t ϕ则
∑∑==-=-n
k k n
k k
n a
n
na
11
σξσξ
的特征函数为n
n t ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛σϕ
又因为()(),,02σξξ=-=-E a D a k k 所以()()20,00σϕϕ-=''=' 于是特征函数()t ϕ有展开式
()()()()()()
222222
1
12000t t t t t t οσοϕϕϕϕ+-=+''+'+=.
从而对任意的t 有，
∞→→⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n e n t n
t n t t
n
,2122
222
οσϕ. 而2
2
t e
-
是()1,0N 分布的特征函数，由连续定理可知
dt e x n na P x
t n k k n ⎰
∑∞
-=∞→=
⎪⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛<-2
1221
lim π
σξ.
成立，证毕.
我们知道在n 2
221
P lim μπ
μ中dt e x npq np x
t n n ⎰
∞
-∞
→=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛<-是服从二项分布.
()n k q p C k p k
n k k n n ≤≤==-0,μ.
的随机变量，dt e x x
t ⎰
∞
-∞→=
⎪⎭
⎫
⎝⎛<-2
2
21P lim πλλξλλ为“泊松分布收敛于正态分布” , 我
们把上面的结论常常称为“ 二项分布收敛于正态分布”.
4、在求某些积分上的应用
我们知道⎰+∞
-022
dx e x x k 可以用递推法，现在我们用特征函数来解决随机变量
ξ服从⎪⎭
⎫ ⎝⎛21,0N ，其密度函数为：()2
1
x e x p -=
π
，
其特征函数为：()∑⎰∞
+=-∞
+∞
--⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⋅
⋅=024
1!411
22
i t
i
t x itx i t
e
dx e e t π
ϕξ， 故 ()()()() +++⎪
⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+!
131241!!2412
1
2k t k k k t k k
k
ξϕ ，
所以 ()()()!!1221!!24102-⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k k k k
k
k ξϕ,
由特征函数的性质 ()()()k
k k
k k i 2!!120222-=
-=E ξϕξ，
又 ⎰+∞
-=E 0
222
dx e x x k k
ξ，
故
()⎰
∞
+∞
-+--=
1
22!!122
k x k k dx e x .
即 ()⎰∞++--=
01
22!!122k x k k dx e x
四．结论
从上面的内容可以看出：特征函数并不是一个抽象概念，在概率论与数理
统计的许多问题中，无论是证明还是应用，通过构造特征函数，比如在求分布的数学期望和方差；在求独立随机变量和的分布上的应用，利用独立随机变量和的特征函数为特征函数的积性质推广，往往能使问题得到简化；在证明二项分布收敛于正态分布上的应用，可以从特例到一般问题，从而使问题迎刃而解；在求某些积分上的时候，可以通过构造特征函数使问题简单.。