波在板中传播时，只有中心面上的质点做简单的纵振动，其他地方 的质点因泊松效应，除纵振动外还有横振动。纵波传播时的相速度 为
CPl
4
E
1 2
板中弹性波
图b表示板中横波质点振动的情况。质点振动方向与板面平行时的 横波也叫兰姆波，它的相速度与横波在无限固体中横波的相速度 相同，即
Cpt Ct / 0
有限结构前馈控制
• 在简谐分布力激励情况下，平板总振动动能的时间平均可表示为
EK
()
M 2
4S
w(x, y,)w（* x, y,)dxdy
S
• 给出的归一化模态展开式，并注意到模态幅值并不取决于在平板上的位
置，总动能可以表示为
EK
()
M2
4S
n
m
An
(
)
Am*
(
)
1 S
s
n
(
x,
y)
m
(
x,
• 共振激励频率下的剩余位移分布与全局控制情况相似， • 非共振激励情况下，局部控制效果尽管在梁后1/4部分有所
降低，但在梁其他位置的位移则显著增加。
有限结构前馈控制
• 在实验研究中，可以采用在梁上布置多个加速度传感器， • 以传感器输出的平方和为目标函数进行最小化， • 实现对上述数值模拟中横向位移的空间平均均方值最小 化的近似， • 一旦传感器定位以后可以检测出每个被显著激励的结构 模态，这些误差就会被最小化。
EK ()
M 2
4
N n0
2
An ()
• 可以实现在梁的模态自然频率附近显著减小目标函数， • 处于这些共振频率之间时，则几乎不会减少。
有限结构前馈控制
•在受控和不受控的情况下梁横向位移分布如图所示， •激励频率分别等于二阶正规化自然频率ω=40以及一 阶和二阶正规化自然频率ω=25之间的中间值。
ap
• Curtis(1988)在长度为L的无阻尼梁上进行了总振动应变 能最小化的数值模拟，该模拟的一些典型结果如图所示。
有限结构前馈控制
• Curtis在长度为L的无阻尼梁上进行了总振动应变能最小 化的数值模拟。
在位置为xp=0.3L(—-)的简谐点 力作用下梁的振动应变能随频率 变化的曲线 (受到控制后，在位置为 xs=0.1L(----）的二级点激励作 用下，振动应变能减到最小）
为了独立控制悬臂梁的两个最低阶自 然模态，该悬梁臂长度为0.63m，宽度 为50mm，厚度为5mm。
初级振源为激振器通过一个力传感器 连接于梁上，激振信号为随机信号， 并采用了低通滤波器，使得只具有 100Hz的频带宽度。
6.3有限结构的反馈控制
次级振源作用于梁的同一位置， 在梁上还安装有两个加速度计，一个 靠近力输入点，另一个靠近末端。 力输入点设于接近梁的第三阶结构模 态的节点位置，该模态并不会被初级 或次级振源显著激发。 电荷放大器的输出信号在两个加速度 传感器的驱动下输入至一对模数转换 器。
结构中的振动主动控制
• 这两种分布式结构的运动描述方法产生了两种完全不同 的主动控制方法。
• 第一种方法集中于控制结构振型，通过主动地削减这些 结构振型的振幅，
• 使得整个结构的空间平均均方速度减少，且控制可认为 是“全局的”。
• 减少分布式结构系统的总振动能量并不能保证结构辐射 声也会相应地减少（由于结构声耦合的性质）。
• 平面波动能和势能。
ET
EV
Pa2
2 0 c02
cos2 t kx
有限结构前馈控制
• 平板上某个点横向位移的模态展开还可用向量内积形式
表示为
w(x, y,) aT () (x, y)
• 其中
aT () A1()A2 () • • • AN () T (x, y) 1(x, y) 2 (x, y) • • • n (x, y)
• 利用IIR固定滤波器作为设备模型的情况, • 通过控制硬件研究了因延迟造成的非因果关系的影响， • 表明随着控制系统变得越来越无因果联系， • 频带中可获得的衰减量也在减少， • 如果自适应滤波器系数的数量增加， • 则可在一定程度上增加衰减量。
6.3有限结构的反馈控制
由Hodges(1989)和Rubenstein等 （1991)提出的两个应用实例。
板中弹性波
板中弹性波
表面波的相速度为
CR k / 0
式中k 为一与板材料泊松比有关的常数，其值在0.87到0.96之间。 但当板厚τ 与波长λ 之比小于1时,表面波不复存在，这时只剩下
纵波、横波和弯曲波,如图所示。
板中弹性波
图a中的AB和CD表示板的上下面,M N表示板的中心面，可以看出当纵
有限结构前馈控制
x2
2
w x, dx
J x1
x2 x1
• 作为局部目标函数最小化的例子，在受控和非受控情况下，将 梁的横向位移沿后1/4长度进行平均而得到均方值，并以此均方
值作为目标函数的情况◦
• 当激励频率在梁的自然频率附近时，局部目标函数减小幅度相 对于全局价值函数更显著。
有限结构前馈控制有限结构前馈 Nhomakorabea制• 实际测量振动的替代方法是使用 空间分布式的传感器， • 这些传感器对某些结构模态非常 敏感， • GU等通过实验发现，采用两个 特别成形的分布式传感器比采用 两个点加速度传感器观察到的平 板结构模态的衰减效果更为显著。
有限结构前馈控制
• Vipperman等采用理论和实验方法研究了简支梁上某点处横向 位移的前馈控制。
• 平板总振动动能可表示为
EK
()
M 2
4
aH
()a()
有限结构前馈控制
• 结构模态幅值向量为初级激励产生的分量与次级激励力 分布阵列M产生的分量的叠加，次级激励力的复幅值包 含于矢量中，再通过模态耦合系数矩阵B作用于结构模态 振幅，
a a p Bf s
有限结构前馈控制
• 总振动动能可表示为标准的厄米特二次型，即
N
w(x, y,) An ()（n x, y) n0
有限结构前馈控制
• An(ω)为频率ω下的第n阶自然模态的复振幅；Ψn(x,y)为第 n阶自然模态振型函数，并且与其他各阶振型函数正交
S n (x, y) m (x, y)dxdy 0, n m
归一化
1
S
S
2 n
(
x,
y)dxdy
1,
n
m
有限结构前馈控制
• Post(1990)、Post和Silcox(1990)对阻尼系数ξn为1%的简支梁计 算出来的结果，对梁的总动能进行最小化而得到。对系统物理参 数进行了正规化处理，这样一阶模态具有ω=10的正规化自然频 率。
n d • 1
EK ()
M 2
4
N n0
2
An ()
有限结构前馈控制
结构中的振动主动控制
• 结构振型的控制意味着对整个结构的全局振动控制， • 而当结构各部分间的振动能量流很重要时， • 就需要应用对结构波的主动控制方法（第二种方法）。 • 例如，凡是在集中振动源所在的位置， • 在结构的另一点处都会设置一个特殊敏感组件， • 通过较长的结构组件进行连接， • 在该结构组件中仅有一定数量的结构波能够传递能量。
板中弹性波
图Cpf表示板中弯曲波传播的情况，它的相速度为
Cpf
EI
h
板中弯曲波的相速度Cpf与频率f 有关，故而板对弯曲波也是一个频 散系统。
6.2有限结构前馈控制
假定被控制结构的初级激励为单频信号， 该激励用结构上的分布力f(x,y,ω)来描述， 结构为沿x和y两个方向延伸的平板。 平板上的横向位移分布w(x,y,ω)用N阶自然模态叠加表示，
式中S为平板的面积。
有限结构前馈控制
• 原则上，求和需要用到无数阶模态， • 但在实际情况中，任意精度的位移分布都可用有限数量的模
态来逼近。 • 若激励频率处于前几阶结构模态频率范围内时，精确描述位
移分布所需的模态数量相当少。 • 每个结构模态的振幅可以表示为
An () An' () S f (x, y,) n (x, y)dxdy
板中弹性波
板中弹性波简称板波。因引起板波的扰动或原因不同，板波的 类型也不同。由于受板面的限制和与板面接触的媒质的影响，板波 的传播与波在各向同性无限固体中传播的情况不同。
在真空或空气中的各向同性而长宽无限的平板，可以认为板面
为不受限制的自由面,当板厚τ与板中波动波长λ 之比大于1时，一
般板波可有四种类型,即瑞利波或叫表面波（见声表面波）、弯曲波、 纵波和横波。
y)dxdy
• 应用自然模态的正交性准则，总动能可以表示为
• 即与模态振幅绝对值的平方和成正比。
EK ()
M 2
4
N n0
2
An ()
有限结构前馈控制
• 平板的总振动势能（或应变能）可以表示为
E
P ()
EI 4
2
S
x2
2
2 dxdy
y2
• 对于很多常见的边界条件，包括两端自由、简支、夹紧， 其动能和势能是相等的。
• 在前馈控制法中，假定激励为单频， • 较为直接地写出其解析表达式，求解其模态， • 能对任何主动控制系统展示其最终的极限性能。 • 当对初级激励所知有限时， • 反馈控制是一个更为有效的策略。
结构中的振动主动控制
• 结构波的主动控制与此类似，只是前馈控制可以应用于更多类型 的激励，
• 这是因为对结构波进行控制就意味对结构能量流向已知， • 可以在初级和次级激励源之间布置一个传感器阵列， • 该传感器阵列可以检测到各种波形的入射结构波， • 特别关注弯曲波的主动控制。
结构中的振动主动控制