j表示在其他解释变量保持不变的情况下，
Xj每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化。
非线性的情况：
(1) ln Yi 1 2 ln X i ui
(2) ln Yi 1 2 X i ui
(3)Yi 1 2 ln X i ui
(4)Yi 1 2 X i 3 X i2 ui
非线性回归模型的线性化
一、双对数模型 二、半对数模型 三、幂函数模型 四、多项式函数模型 五、倒数函数模型
一元线性回归模型
Yi 1 2 X i ui
i=1,2…,n
1表示X每变化一个单位时， 的均值E（Y）的变化。 Y
多元线性回归模型
Yi 1 2 X 2i 3 X 3i k X ki ui i=1,2…,n
Cobb-Dauglas生产函数
Yi AKi Li e

ui
Q：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动
方程两边取对数：
ln Qi = ln A + ln Ki + ln Li+ui
斜率系数衡量的是被解释变量Y关于解释变量X的弹 性， 表示当L不变时，K每变动百分之一，Y的均值 变动的百分比； 表示当K不变时，L每变动百分之 一，Y的均值变动的百分比。
（二）半对数模型
如果设定的非线性模型为
ln Yi 1 2 X i ui
E (lnYi ) E (lnYi 1 ) Y的均值的相对变化 X i X i 1 X的绝对变化
2
斜率系数 2 衡量的是当变量X的绝对量每发生单位变动 时，引起被解释变量Y平均值的相对变动比率。 令
研究119个发展中国家1960-1985年的GDP增长率与 相对人均GDP之间的关系，考虑建立如下模型：
GDPG 1 2 RGDP 3 RGDP ui i i i
2
其中GDPG表示GDP的百分比增长率（1960-1985 年间的平均增长率），RGDP表示1960年的相对人 均GDP（即占美国1960年人均GDP的百分比）。 回归结果如下： 2 ˆ GDPG 0.013 0.062RGDP 0.061RGDP
i i i
Se = (0.004)
(0.027)
(0.033)
这个回归结果表明，在一定范围内发展中国家 GDPG随着RGDP的提高而递增，但增加的速 度递减。
（五）倒数函数模型 如果设定的非线性模型为
Yi 1 2 (1 X i ) ui
这种模型表示随着X的递增Y将呈现非线性的递减， 但最终以为渐近线。 令
Yi* ln Yi
即可将原模型化为标准的线性回归模型
假设Y为对外劳务输出，欲研究Y随时间变化的趋 势，则可建立如下模型：
ln Yt 1 2tt ut
若回归结果如下所示
ˆ ln EXSt 7.7890 0.00743t t
Se = t
(0.0023)
(0.00017)
= (3387.619) (44.282ห้องสมุดไป่ตู้)
两边取对数，得
ln Yi ln A 2 ln X 2i k ln X ki ui
令
Yi ln Yi , 1 ln A, X 2i ln X 2i , X ki ln X ki
即可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi 1 2 X 2i k X ki ui
(5)Yi 1 2 (1/ X i ) ui
（一）双对数模型
ln Yi ln A 2 ln X 2i k ln X ki ui
令
Yi ln Yi , 1 ln A, X 2i ln X 2i , X ki ln X ki
即可将原模型化为标准的线性回归模型
R2=0.9894
结果表示对外劳务输出每年以0.743%的速 度增长。
如果设定的非线性模型为
Yi 1 2 ln X i vi
斜率系数 2 衡量的是当变量X变动1%时，Y的 均值变动的绝对量。 令
Zi ln X i
即可将原模型化为标准的线性回归模型
印度农户食物支出与总支出的关系 回归结果： 食物支出i=94.2087+0.4368总支出i 若建立回归模型 食物支出i=b0+b1ln总支出i+ui 则回归结果为 食物支出i=-1283.912+257.2700ln总支出i
Zi 1 / X i
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi 1 2 Zi ui
ln X 2i ln X 2i 1 ( X 2i X 2i 1 ) / X 2i 1 X 2的相对变化
E(lnYi） E(lnYi 1 ) ( EYi EYi 1 ) / EYi 1 Y的均值的相对变化
Y的均值的相对变化 2 X的相对变化
假设我们想求出耐用品支出（EXDURt)对个人消 费总支出(PCEXt）的弹性。把耐用品支出的对 数和个人消费总支出的对数进行回归分析，回归 结果如下：
斜率系数意味着总支出每提高1%，导致样 本中包括的55个家庭的食物支出平均增加约 2.57卢比。
（三）幂函数模型 幂函数模型的一般形式为
Yi AX2i2 X 3i3 X kik eui
如：Cobb-Dauglas生产函数
Yi AKi Li e

ui
Q：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动
Yi 1 2 X 2i k X ki ui
斜率系数 k 测度了Y对Xk的弹性，表示是在其他 解释变量保持不变的情况下，当变量Xk变动1% 时，Y的均值的相对变动比率。
以 2为例说明：
2
E (lnY )i E (lnYi 1 ) ln X 2i ln X 2i 1
（四）多项式函数模型
多项式函数模型的一般形式为：
Yi 0 1 X i 2 X i k X i ui
2 k
令
Z1i X i , Z2i X i2 ,Zki X ik
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi 0 1Z1i 2 Z2i k Zki ui
ln EXDUˆt 9.6971 1.9056ln PCEXt R
Se = t (0.4341) (0.0514)
= (-22.3370) (37.0962)
R2=0.9849
斜率系数的经济意义：EXDUR对PCEX的 弹性约为1.90，这表明，若个人消费总支出 提高1%，耐用品消费支出则提高约1.9%。