有可能出现在x轴上。
11
忽略高阶无穷小， 一般情况下令 x10 x20 0
则有
P( x1,
x2 )
P( x1, x1
x2 )
(0,0)
x1
P( x1, x2
x2 )
(0,0)
x2
Q( x1,
x2 )
Q( x1, x1
x2 )
(0,0)
x1
Q( x1, x2
x2 )
(0,0)
x2
令 a P( x1, x2 )
平面上绘制一系列的等倾线。
8
x2
1
( x10 , x20 )
2
3 x1
4
图8-27 用等倾线法绘制相轨迹
1,2 ,表3示,相轨迹通过这些等倾线时切线的斜率。
相平面中所有等倾线上的短线，组成了相轨迹的切线场。 从相轨迹起始点 ( x10, x20 ) 出发，平滑的将相邻等倾线上 的短线连起来，即得系统相轨迹。
§8.4 相平面法
相平面法是Poincare在1885年首先提出来的， 它是一种求解一、二阶常微分方程的图解 法。这种方法的实质是将系统的运动过程 形象地转化为相平面上一个点的移动，通 过研究这个点移动的轨迹，就能获得系统 运动规律的全部信息。由于它能比较直观、 准确、全面地表征系统的运动状态，因而 获得广泛应用。
1,2
2
5）纯虚根
(a d ) 0, ad bc 0
奇点称为中心点。 x2
0
x1
图8-32 纯虚根对应的相轨迹
18
2、极限环
相平面图上的一根孤立的封闭相轨迹称为极限环。它对应系统 的自激振荡状态。极限环把相平面划分为内部平面和外部平面 两部分，相轨迹不能从环内穿越环进入环外，反之也不能。
4）共轭复根
(a d )2 4(ad bc)
若 a d，具0 有负实部的共轭复根，奇点称为稳定焦点；
若a d，具0 有正实部的共轭复根，奇点称为不稳定焦点。
x2
x2
0
x1
0
x1
(a)稳定焦点
(b)不稳定焦点
图8-31 共轭复根对应的相轨迹
17
a d (a d )2 4(ad bc)
7
相轨迹的画法——等倾线法
令 dx2 a1( x1, x2 )x2 a0( x1, x2 )x1 Q( x1, x2 )
dx1
x2
P( x1, x2 )
为一常数。
根据上式可在相平面上绘制一条线，相轨迹通
过这条线上的各点时，其切线的斜率都相同，
称之为等倾线。如果取不同的值 1,则2 ,可在相
或写成 令
则有
x a1( x, x )x a0( x, x )x 0
x1 x x2 x1 x
x1 x 2
x2 x
a1( x1,
x2
)x2
a0 (
x1dx1
a1( x1, x2 )x2 a0 ( x1, x2 )x1 x2
5
将方程组写成一般形式有
(a d )2 4(ad bc)
若 a d，两0 个相等负实根，奇点称为退化的稳定节点；
若 a d，两0 相等正实根，奇点称为退化的不稳定节点。
x2
x2
0
x1
0
x1
(a) 重负实根
(b) 重正实根
图8-30 重根对应的相轨迹
16
a d (a d )2 4(ad bc)
1,2
2
10
二、奇点与极限环
1、奇点
奇点即为系统平衡点，它由方程组
x1 x 2
P( x1, Q( x1,
x2 ) x2 )
0 0
联立求解得到 ( x10 , 。x20 )
将 P( x1,、x2 ) Q在( x平1,衡x2点)
附近(展x1开0 , x成20台) 劳级数，
以便研究该点附近相轨迹的形状及运动特性。奇点只
x1
(0,0)
b P( x1, x2 )
x2
(0,0)
c Q( x1, x2 )
x1
(0,0)
d Q( x1, x2 )
x2
(0,0)
12
则有
x1 x 2
ax1 cx1
bx2 dx2
系统特征方程为
I A 2 (a d ) (ad bc) 0
特征方程的根为
a d (a d )2 4(ad bc)
9
绘制相轨迹的目的是为了分析系统的运动特性； 由于系统的平衡点有无穷根相轨迹离开或到达，因此平衡 点附近的相轨迹，最能反映系统的运动特性。 平衡点又称为奇点。
另一反映系统运动特性的相轨迹是极限环（奇线）。 极限环是相平面上一根孤立的封闭的相轨迹，反映了系统 的自激振荡状态，它将无穷大的相平面分为两个部分，有 利于与奇点特性一起分析系统的运动特性。
x1
(a) 稳定节点
（b）不稳定节点
图8-28 特征方程根为同号相异实根的相轨迹
14
a d (a d )2 4(ad bc)
1,2
2
2) 异号实根
ad bc 0
奇点称为鞍点。
x2
0
x1
图8-29 鞍点对应的相轨迹
15
a d (a d )2 4(ad bc)
1,2
2
3）重根
x1 x 2
P( x1, Q( x1,
x2 ) x2 )
则
dx2 Q( x1, x2 )
dx1 P( x1, x2 )
相轨迹上某点处 切线的斜率。
若 P( x1,、x2 ) Q是( x解1, x析2 )的，在以x1为横坐标轴， x2为纵坐标的平面上绘制一条x2与x1的关系曲线， 我们把这样一条轨线称为相轨迹，由一族相轨迹
1
相平面法的作用
可以用来分析一、二阶线性或非线性系统 的稳定性、平衡位置、时间响应、稳态精 确度及初始条件和参数对系统运动的影响。 在非线性程度严重，或有非周期输入，不 能采用描述函数法时，利用相平面法是可 行的。
2
相平面的基本概念
3
相轨迹的绘制方法
解析法 图解法 实验法
4
图解法
对于一任意二阶非线性微分方程 x f ( x, x ) 0
组成的图像称为相平面图。
6
令
P( Q(
x1 x1
, ,
x2 x2
) )
0 0
联立求解出的点 ( x10 , x称20为) 系统的平衡点。
相轨迹的特点：
1、相平面上除平衡点外的任意一点只有一根相轨迹通过。 2、由式 dx2 Q可知0 ，相轨迹在平衡点附近切线斜率不定，
dx1 P 0 意味着有无穷多根相轨迹到达或离开平衡点。
1,2
2
根据特征方程根的性质，可将奇点分为如下几种情况：
13
a d (a d )2 4(ad bc)
1,2
2
1) 同号相异实根
(a d )2 4(ad bc)
当 a d时 ，0 两根同负，奇点称为稳定的节点； 当 a d时 ，0 两根同正，奇点称为不稳定的节点。
x2
x2
x1