第四章 不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2x dx２）⎰x x dx 2３）dx x ⎰-2)2( ４）dx xx ⎰+221５）⎰⋅-⋅dx x x x 32532 ６）dx xx x⎰22sin cos 2cos７）dx x e x)32(⎰+８）dx x x x)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dx x ⎰-3)23( ２）⎰-332xdx３）dt tt ⎰sin ４）⎰)ln(ln ln x x x dx５）⎰xx dxsin cos ６）⎰-+x x e e dx７）dx x x )cos(2⎰ ８）dx x x ⎰-4313 ９）dx xx⎰3cos sin 10）dx x x ⎰--2491 11）⎰-122x dx 12）dx x ⎰3cos13)⎰xdx x 3cos 2sin 14)⎰xdx x sec tan 315) dx x x ⎰+239 16)dx x x ⎰+22sin 4cos 3117)dx xx ⎰-2arccos 2110 18)dx x x x ⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dx xx⎰+211 ２）dx x ⎰sin３）dx x x ⎰-42 ４）⎰>-)0(,222a dx xa x５）⎰+32)1(x dx ６）⎰+xdx 21７）⎰-+21xx dx ８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdx xs ⎰ ２）⎰xdx arcsin３）⎰xdx x ln 2４）dx xe x⎰-2sin 2５）⎰xdx x arctan 2 ６）⎰xdx x cos 2７）⎰xdx 2ln ８）dx x x 2cos 22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx x x ⎰+33２）⎰-++dx x x x 1033223）⎰+)1(2x x dx（Ｂ） １、一曲线通过点)3,(2e ，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。

２、已知一个函数)(x F 的导函数为211x -，且当1=x 时函数值为π23，试求此函数。

３、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则 )0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F adx b ax f 。

证明：由假设得)()(),()(b ax f b ax F x f x F +=+'∴='，故c b ax F adx b ax f b ax F b ax F a ++=+∴+'='+⎰)(1)(),(])(1[。

４、 设)(x f 的一个原函数为xxsin ，求⎰'dx x f x )(。

５、求下列不定积分１）dx x⎰2cos 2２）dx x ⎰-2sin 1３）⎰+dx x x211arctan４）dx xxx⎰+-11 ５）⎰++))((2222b x a x dx６）dx x a x x ⎰-27）⎰+dx xxx ln 1ln 8）⎰+dx x xe x 232arctan )1(（Ｃ）１、求以下积分１）⎰-dx e xe x x 12)⎰+xx dxsin 2)2sin(３）dx e e x x ⎰2arctan ４）dx x x ⎰+4351５）dx x x x ⎰+-185 ６）dx xx x x ⎰+cos sin cos sin第四章 不定积分 习 题 答 案（Ａ）１、（１）c x+-1（２）c x +--2332（３）c x x x ++-423123（４）c x x +-arctan （５）c x x+--3ln 2ln )32(52 （６）c x x ++-)tan (cot （７）c x e x++ln 32 （８）c xx ++427)7(4２、（１）c x +--4)23(81 （２）c x +--32)32(21（３）c t +-cos 2 （４）c x +ln ln ln （５）c x +tan ln （６）c e x+arctan（7）c x +)sin(212 （８）c x +--41ln 43（9）c x+2cos 21 (10)c x x +-+2494132arcsin 21 (11)c x x ++-1212ln221 (12)c xx +-3sin sin 3 (13)c x x +-5cos 101cos 21 (14)c x x +-sec sec 313 (15)c x x ++-)9ln(292122 (16)c +32arctan 321 (17)c x+-10ln 210arccos 2 (18)c x +2)(arctan 3、(1)c t t +-cot csc ln （2）c x x x +--)sincos (2（3）c xx +--)2arccos 24(tan22 (4)c x a ax a x a +--)(arcsin 22222(5)c xx ++21 (6)c x x ++-)21ln(2(7)c x x x +-++)1ln (arcsin 212 (8)c xx x +-+-211arcsin 4、(1)c x x x ++-sin cos (2)c x x x +-+21arcsin(3)c x x x +-3391ln 31 (4)c xx e x ++--)2sin 42(cos 1722 (5)c x x x x +++-)1ln(6161arctan 31223 (6)c x x x x x +-+sin 2cos 2sin 2（7）c x x x x x ++-2ln 2ln 2(8)c x x x x x x +-++sin cos sin 216123 5、(1)c x x x x ++-+-3ln 279233123 (2)c x x +++-5ln 2ln(3)c x x ++-)1ln(21ln 2(4) c x x x x +-+-+-arctan 21)1ln(411ln 21ln 2(5)c x x x x ++++++-312arctan 3311ln 2122(B)1、 设曲线)(x f y =，由导数的几何意义：x y 1='，c x dx x+=⎰ln 1，点)3,(2e 代入即可。

2、 设函数为)(x F ，由211)()(xx f x F -=='，得C x dx x f x F +==⎰arcsin )()(，代入)23,1(π即可解出C 。

3、 由假设得)()(),()(b ax f b ax F x f x F +=+'∴='，故c b ax F adx b ax f b ax F b ax F a ++=+∴+'='+⎰)(1)(),(])(1[。

４、把)(x f '凑微分后用分部积分法。

５、（１）用倍角公式：2cos 12cos2xx += （２）注意0sin cos ≥-x x 或0sin cos <-x x 两种情况。

（３）利用)cot (11,cot 1arctan2x arc d dx x x arc x -=+=。

（４）先分子有理化，在分开作三角代换。

（５）化为部分分式之和后积分。

（６）可令t a x 2sin 2=。

（７）可令,sin )(2t a b a x -=-则t a b x b 2cos )(-=-。

（８）令t x =+ln 1。

（９）分部积分后移项，整理。

（１０）凑xearctan 后分部积分，再移项，整理。

（１１）令t x=2tan。

（１２）变形为⎰-⋅--4)2(23x x x dx 后，令t x x =--23， 再由2211t x =--，两端微分得tdt dx x 2)2(12=-。

（Ｃ）1） 解：令1-=x e u ，则du uudx u x 2212),1ln(+=+= 所以原式du uu u u du u ⎰⎰+-+=+=222214)1ln(2)1ln(2 c u u u u ++-+=arctan 44)1ln(22c e e e x x x x +-+---=1arctan 414122）解：方法一：原式⎰⎰⎰==+=2cos 2tan )2(tan 412cos 2sin )2(41)cos 1(sin 223x x x d x x x d x x dx c x x x d x x++=+=⎰2tan ln 412tan 81)2(tan 2tan 2tan 14122 方法二：令t x=2tan方法三：变形为⎰+-)cos 1)(cos 1(2sin 2x x xdx，然后令u x =cos再化成部分分式积分。

3）解：原式)(arctan 212⎰--=xx e d e ])1()(arctan [21222⎰+--=-x x x xx e e e d e e（令u e x=）])1(arctan [21222⎰+--=-u u due ex x]1arctan [21222⎰⎰++--=-u du u du e e x x[]c e e e e x x x x +++-=--arctan arctan 2124）解：原式)](11)(11[31)(131********433x d x x d x x x d x x ⎰⎰⎰+-++=+=)]1()1()1()1([3134133433++-++=⎰⎰-x d x x d xc x x ++-+=433473)1(94)1(214 5）解：原式⎰⎰-++=+-=----2)()(2122222443x x x x d dx xx x x ，令22-+=x x u c u u u du ++-=-=⎰22ln 2412212 c x x x x ++++-=1212ln24124246）解：原式dx xx x x ⎰+-+=cos sin 11cos sin 221 dx xx dx x x x x ⎰⎰+-++=cos sin 121cos sin )cos (sin 212 ⎰++--=)4sin()4(221)cos (sin 21ππx x d x x⎰+-++-=)4(cos 1)4cos(221)cos (sin 212ππx x d x x )4cos(])4cos(11)4cos(11[241)cos (sin 21πππ+++++-+-=⎰x d x x x x c x x x x ++-+++-=)4cos(1)4cos(1ln 241)cos (sin 21ππ。