R~ Z
( a, 0)(0, b) (0, 0)
，故 R 有零因子, Z 无. 注：同态环有无零因子不具传递性； 同态环性质不完全传递； 但是同构环性质完全相同.
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例4 设环
R {(a, b) | a, b Z },
(a1 , b1 ) (a2 , b2 ) (a1 a2 , b1 b2 ), (a1 , b1 )(a2 , b2 ) (a1a2 , b1b2 )
又令 S {( a, 0) | a Z }
SZ
Z
((a, 0) a) ( R S)
R Z {(a, b) | 0 b Z }, Z R
RR
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例2.一个环R的可以同每一个元交换的元作 成一个子环，这个子环叫做R的中心。
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一、环同态的定义与性质 定义1 设 R和R 是两个环, 是集合 R到R 的映射.如果对任意的 a, b R ,有 ，则称 为环 R到R 的一个同态. 如果 为满映射,则称 为满同态, 记作 : R ~ R ,并称 R与R 同态.
a, b S , a b S , ab S
2.一个除环的非空子集S作成一个子除环的 充要条件： （1）S包含一个不等于0的元
2a, b S ,
a bS
1
a, b S , b 0 ab S
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例1.R本身是环R 的子环，{0}也是环R的 子环。
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问：同态环有无零因子传递吗？ 例1 R 为8/11/11
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例2
做成环. : (a, b) a, (a, b Z ) R 的零元是 (0, 0) ，而
R {(a, b) | a, b Z }, (a1 , b1 ) (a2 , b2 ) (a1 a2 , b1 b2 ), (a1 , b1 )(a2 , b2 ) (a1a2 , b1b2 )
(1) ( a b) ( a) ( b) (2) ( a b) ( a) ( b)
如果 既是单映射又是满映射,则称 为同构，记作 : R R ,并称 R与R 同构.
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定理1 若 R 与 R 是各有两个代数运算的系统， 且 : R ~ R ，则当 R 是环时，R 也是环. 定理2 若 R 与 R 是环，且 : R ~ R ，则 (2) ( a) ( a) (1) (0R ) 0R n n (3) (a ) ( (a)) (4)当 R 是交换环时，R 也是交换环； (5)当 R 是有单位元环时，R 也是有 单位元环时，且 1R (1R ).
定义 1.一个环R的一个子集S叫做R的一个子环， 假如S本身对于R 的代数运算来说作成一个 环。 2. 一个除环R的一个子集S叫做R的一个子除 环，假如S本身对于R 的代数运算来说作成 一个除环 同样，可以规定子整环，子域的概念。
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1.一个环的非空子集S作成一个子环的充要 条件：