第 21 讲
第三章 环与域
§6 商环与环同态基本定理
一、 商环的定义与性质
1 商环的构造： (1) (2) 则 的加法与乘法: , , . 设 为环， 为 的理想.
关于如上所定义的运算构成环. 为环, 必须证明下列几点:
的代数运算.
说明 要证明
(1) "+"和"."为 (2)
为交换群.
(3) 乘法满足结合律. (4) 乘法对加法满足分配律.
五、 整环的商域
（一）商域的概念 定义 1 设 是一个域, , 使得

是
的子环. 如果对任意的 为 的商域.
, 存在
, 则称
只有无零因子的交换环才可能有商域. 由一个环得到一个域的第二种方法---商域 的商域就是 .
例 4
例 5 域
的商域就是它本身.
例 6 求高斯整环 解 设 又因为任给 , 而 例 7 设 , 为域, 为
这说明, 从同构的观点看,

类似地可以证明, 当 时,
为无零因子的交换环, 且
也有商域 （见张禾瑞 《近世代数基础》 119 页定理 1） .
习 题 课 习题 1 在 中规定 证明：1.证
（1）封闭 （2）结合律成立 为加群
， 证明 关于 ， 成环。
（3）零元 1， （4）负元 （5）交换律
2.证 对乘法为半群 （1）封闭 （2）结合律
的商域. , 则 , 因 为域. , 故存在 , 使得
. 于是 , 所以 为 的商域. 的商域为
上的未定元, 则
称域 设
为
上的有理分式域. , , 方程 在 中都有解.
为 的商域, 则任给
（二）商域的构造 设 为整环. 下面由 . 当且仅当 出发, 构造 的商域.
1. 构造集合 2. 在
上规定关系 上的等价关系.
所以 : R I R 是环同构.即 R I 定理 3.6.2
R.

设 R 是一个环而 I R ,那么必有环同态 : R R I .
使得 是满同态且核 Ker I .称这样的 为环的自然同态 . 证明 令 : R R I ,其中 (a) [a] ,显然 是个满射.而且
(ⅲ) a, b 1 (s) ,有 (a), (b) S , 从而知 (a) (b), (a) (b) S , 所以 (a b) (a) (b) S , 即 a b 1 (s) ； (ab) (a) (b) S , 即 ab 1 (s) ，故 1 (s) 是 R 的一个子环. (ⅳ) a 1 (s),则 (a) S；r R，则 (r ) R .因为 S R ,所以
在前一节中我们已知,当 I 是环 R 的理想时,仅对加法而言知 I R ,得到加法商 群 R I {[a] | R}，其中群 R I 中运算为 [a] [b] [a b] ，每个元素 a 都叫做
I 的一个剩余类环且 [a] [b] 当且仅当 a b I .
下面我们将说明在商加群 R I 中可以合理地引入一个乘法并使 R I ,, 做 成一环.这个乘法即前面定义的
习题 9 一个环 的非空子集 叫做 的一个左理想，假如 （i） （ii） 你能不能在有理数域 上的 解：考虑有理数域 上的 矩阵环里找到一个不是理想的左理想？ 矩阵
是
的子环， 是
的左理想。
习 题 二 十 一
1.设 N 是环 R 到环 R 的同态满射 的核.证明:
是同构映射 N= 0 .
R I Z 6 {[0],[1],[2],[3],[4],[5]}
就是我们已经熟悉的“模 6 剩余类环”——这是整数的剩余类环..
例 2 设 商环 即商环 例3 设 解
为大于 1 的正整数, 则
为
的理想, 从而有
就是模
的剩余类环. . 。 , 如果 为偶数, 则 . 所以 , 如
为高斯整环, 试确定
以 [ab] [a b ] ，即 ab a b I .所以定义是合理的.
' '
' '
很容易验证 R I , 是一个环.
2．商环的定义 定义 1 环

称为环
关于理想 的商环. 也是交换环. 也有单位元, 且 .
如 如
为交换环, 则 有单位元, 则

定义 1 设 R 为任意一个环，而 I R .那么 R I , 称 作 R 关于理想 I 的剩余类环(也叫商环或 差环),其中 R I 中 每个元素叫作模 I 的剩余类. 例1 设 R Z 为整数环,而使 I 6Z {6n | n Z } 那么
理 kr I .所以 I R . (ⅱ)由群同态基本定理知,存在 ，使 R I R .作为群同构,其中
([a]) (a). [a] R I .
下面只需证明: [a],[b] R I , ([a][b]) ([a])([b]) .但
([a][b]) [ab] (ab) (a) (b) [a][b] .
5. 由 令
构作一个包含
的域
则 为单同态. 从而由环的扩张定理, 存在 . 因 为域, 所以 也是域, 这里 , 6. 对任意的 (i) 如果 , 则 .
的扩环
, 使得
(ii) 如果 x F ( D) ，则
,
,
. 那么在
内,
于是在 由此知,
内, 为 的商域.
所以,
综上，我们得到 定理 3.6.5 的子环；且 每一个没有零因子的交换环 D 都是一个域 Q ，这里 。
3.分配律成立
习题 2 在
中找出适合方程
的一切元素。
解：[1]，[4]，[11]，[14] 习题 3 证明：由所有实数 证明： 1.证 为一个环 （1）加法 结合律成立。 零元为 的负元 （2）乘法 结合律成立。 （3）分配律成立 （ ， 是整数）作成的集合
对于普通加法和乘法来说是一个整环。
2. 有单位元 3. 乘法的交换律成立 4. 无零因子 习题 4 证明：一个至少有两个元而且没有零因子的有限环 是一个除环。 证明：只要证 是一个群 对乘法封闭 （1） 无零因子，说明 （2）结合律成立 （3） 无零因子从而消去律成立。 满足消去律。
Q 显然是
a, b R, b 0
R 的一个商域。证毕。
（三）商域的同构唯一性定理 定理 3.6.6 设 与 为两个整环, 与 分别为它们的商域. 如果 : , 使得 .
, 则存在域的同构 :
证明 令 (1) 如果 这说明, 为 (2) 任给 , 则 到 , 则
，则 , 故 . 于是 .
(a) (r) S , (r) (a) S .
于是 (ar) (a) (r ) S , 即ar 1 (s)； 又 (ra) (r) (a) S， 所以 1 (s) 满足吸收律. 即ra 1 (s)， 又由(ⅲ)知， 1 (s) 是 R 的子环，于是 1 (s)R . 从定理 3 的证明中可知:除了(ⅱ)需要 是满环同态外,其余情况都不需要 是满射这个条件.
的映射. 即 ；
(3) 任给
所以,
为环同态. , 如果 , 即 . , 则
(4) 设
因为
为同构, 所以 , , 则
. 故 , 则
. 故
为单同态. , 使得
(5) 任给
为同构, 故存在 ，所以,
为满同态.
由此知: 为同构: : 当 时, 即 与
. 都是 的商域, 则有恒等同构
故由前定理知:
. 的商域是唯一的. 不为零
2. 设 R 是有单位元的整环(可换,无零因子).证明: 1）若 char R= ,则 R 有子环与 Z 同构; 2）若 char R=p(p 是素数),则 R 有子环与 Z p 同构. 3. 设 是环 R 到环 R 的一个同态满射,K 为其同态核,N R. 4. 令 R a bi a, b Q , R 由一切形如
定理 3.6.1
设R R 是一个环同态满射,令 I Ker .那么
(ⅰ) I R ； 证明
( ⅱ) R
I
R
(ⅰ)对加法而言, 显然是一个加群满同态,由群的知识有 I R .
下面只需证明吸收律也成立即可.
k I , r R. 那么 (rk ) (r ) (k ) (r )0 0 ，因此 rk I . 同
a R, a R, 使a (a) ，又因为 I R ，因此 ia I , ai I ，
从而 ia (i) (a) (ia) ( I ) ， ai (a) (i) (ai) ( I ) ， 故 ( I ) 是 R 的理想.
得 得 , .ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ, 从而 , 则
则 " " 为 证明
(1) 由
(2) 由 (3) 若
, 从而 , , 所以
.
, 消去
, 得
, 故
.
3. 由等价关系得商集 记
. , 即
所在的等价类为
令
则 当且仅当
说明 两等价类相等的充要条件 当且仅当 4. 规定 的加法与乘法运算 设 , 规定 当且仅当 .
则"+", "." 为的代数运算, 且关于这两个运算构成域.
1
证明 (ⅰ) a, b (S ), a, b S ，使 a (a),b (b). 所以 a b S ,于是 a b (a) (b) (a b) (S ) ， 从而 ( S ) 是 R 的子群.另外 a , b (a) (b) (ab) (S ) 所以 ( S ) 是 R 的子环. (ⅱ)因为 I R ,所以 I 是 R 的子环，从而 ( I ) 是 R 的子环.又因为 是满射，所以 i ( I ), i I使i (i) ，