拉普拉斯算符
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波函数疑难
薛定谔方程是牛顿运动方程在量子理论中的等价物， 是量子理论中的基本方程，也是量子力学的基本假定 ，其正确性只能靠实验来检验。 牛顿运动定律预言了粒子在外力作用下的精确行为， 与牛顿运动定律相似，薛定谔方程也预言了实物粒子 在外力作用下的行为方式(波函数)。 薛定谔方程有助于阐明和预言大自然的行为， 但是，它并没有解决量子疑难： 一个电子通过双缝干涉仪时究竟发生了什么？ 电子走的路径实际上是哪一条？ 电子的干涉图样的本质是什么？ 波函数到底代表了什么？ ……
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波函数是单值的
3. 为了保证概率密度的确定性，要求波函数是单值的 和连续的。 对波函数的统计解释表明，只能给出在一定范围内找 到粒子的概率，不能确定粒子一定在某个位置。 除了统计解释对波函数提出的一般要求外，具体的物 理情况如势能的性质和边界条件等，对波函数也提出 一些特别的要求。 1. 当势能是坐标的连续函数时，波函数的二阶导数是 存在的。这就要求波函数及其对坐标的一阶导数是坐 标的连续函数。 2. 如果粒子被限制在一定的空间范围内，就要求波函 数在无限远处的值必须趋于零。 在这种情况下，我们说粒子处于束缚态。
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于是，在全空间找到粒子的概率
构造归一化波函数
让这个新的波函数 满足归一化条件
归一化因子
由此得到了一个新的、满足归一化条件的波函数。 由于量子理论只讨论粒子在空间中各点出现的相对概 率，因此，波函数有一个常数因子的不确定性。 这意味着 与 描写粒子的同一个量子态。 这一点与经典力学中的波函数有显著的区别。 粒子在作一维运动时处于如下 计算归一化因子， 的状态， 求出找到粒子的可 能性最大的位置？
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薛定谔方程
电子干涉实验的结果表明，单次撞击是不可预言的。 尽管如此，由于每次做实验都得到相同的干涉图样，因 此，干涉的总体图样是可以预言的。 统计图样的可预言性表明，德布罗意波也是可预言的。 1926年，奥地利物理学家欧文 · 薛定谔找到了预言德布 罗意波的数学方程，叫做薛定谔方程。 这是一个二阶的线性偏微分方程： 代表粒子的总能量 波函数 外力的作用改变 代表粒子的动能 粒子能量的方式
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波包图像
把ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ包的想法用到非相对论性自由粒子：
波包的群速度 正是粒子的运动速度。 波包中不同波长的成分速度不一样！ 结果发现，波包的宽度即粒子的线度将随时间改变。 这与实际观测到的结果明显矛盾。 看来，无论把实物波理解成疏密波还是波包，都带有 片面性，不能完整地反映实物的量子特性。
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波函数的归一性
波函数的统计解释赋予波函数明确的物理意义，从而 在物理上对波函数提出了若干要求： 1.在任何有限体积中找到粒子的概率是有限的。
有限值 一般情况下，这意味着波函数本身必须是有限的。 2. 由于粒子在空间各点出现的概率总和为 1 ，因此， 波函数满足归一化条件： 如果波函数尚未归一化，即 在这个尚未归一化的波函数前面乘上一个常数因子， 构造出一个新的波函数：
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波函数的统计解释
更确切地说，电子的波函数 表示在r点附近的体积元
一旦给定，则 中找到粒子的概率。
其中 叫做概率密度，在实验中代表干涉 图样的强度分布。 波函数的统计解释
因此，实验给出的干涉图样代表电子在屏幕上出现的 概率分布。 伴随着每个电子的德布罗意波实 沿着这条思路， 玻恩得出结论： 际上是该电子出现的概率波。 原则上说，投币实验的结果是可以预言的。每次投币 的不确定性只是由于对实验细节的无知引起的； 量子事件甚至原则上就不可预言。
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干涉图样的概率性
1926年，玻恩提出：干涉图样必定代表了每一个电子 的概率图样： 一个电子在多次相同的实验中的统计结果； 许多电子在一次实验中的统计结果； 波函数实际上代表了电子在空间中出现的概率。
概率是对事物的可能性程度的度量。 凡是一个特定实验的结果不确定，但多次重复的总的 统计结果可以预言时，概率就起作用； 对于一次无欺诈的投币实验，正面或反面朝上的概率 都等于50%； 投币实验是宏观的实验，它的概率遵从牛顿定律到很 高的近似程度。
波函数的性质
波函数的性质
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粒子图像
对波粒二象性的理解曾经经历过激烈的争论。 与光的双缝干涉实验的情况一样，可以对电子的双缝 干涉进行多时间段实验。 结果显示，可以将实物波理解成 大量粒子形成的疏密波。 然而，单个电子就具有波动性。 只有承认这一点，才能理解氢原 子的量子特性。 也可以将实物波理解成空间中连 续分布的波包。 粒子图像： 波包图像：
电子究竟是什么？
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波粒二象性
在经典力学的观念中，一个粒子有确定的质量和电荷 ，并有确切的位置和运动轨道；一个波则对应某种实 在的物理量的变化，并呈现出相干叠加性。 根据经典的粒子观，如果电子是粒子，它在双缝实验 中必定只穿过一条缝，因此不可能生成干涉图样。 根据经典的波动观，如果电子是波，就不可能在屏幕 上打出一个一个分立的光点。 因此，电子在穿越双缝时必定表现出波的行为，而在 接触屏幕时则表现出粒子的行为。 这意味着电子所呈现的粒子性，只是经典粒子概念中 的颗粒性，并不与确切的轨道相联系。 而它所呈现的波动性，只是波动中最本质的叠加性。 并不与实在的物理量的变化相关联。