等比数列训练题一、单选题（共10题；共20分）1.（2020·新课标Ⅰ·文）设是等比数列，且，，则（）A. 12B. 24C. 30D. 322.（2020·新课标Ⅱ·文）记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（）A. 2n–1B. 2–21–nC. 2–2n–1D. 21–n–13.（2020·新课标Ⅱ·理）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块4.（2020·北京）在等差数列中，，．记，则数列（）．A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项5.（2020·新课标Ⅱ·理）数列中，，，若，则（）A. 2B. 3C. 4D. 56.（2020高二下·湖州期末）设为等比数列的前项和，已知，，则公比（）A. 3B. 4C. 5D. 67.（2020高一下·太和期末）在公比为2的等比数列{a n}中，前n项和为S n，且S7﹣2S6＝1，则a1+a5＝（）A. 5B. 9C. 17D. 338.（2020高二下·广州期末）已知正项等比数列满足，若，则n为（）A. 5B. 6C. 9D. 109.（2020高一下·六安期末）已知数列为各项均不相等的等比数列，其前n项和为，且，，成等差数列，则（）A. 3B.C. 1D.10.（2020高一下·成都期末）已知等比数列的各项都为正数, 且，，成等差数列,则的值是（）A. B. C. D.二、多选题（共2题；共6分）11.（2020高一下·邢台期中）在公比为整数的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（）A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列12.（2019高二上·菏泽期中）已知等比数列中，满足，则（）A. 数列是等差等列B. 数列是递减数列C. 数列是等差数列D. 数列是递减数列三、解答题（共9题；共85分）13.（2020·新课标Ⅲ·文）设等比数列{a n}满足，．（1）求{a n}的通项公式；（2）记为数列{log3a n}的前n项和．若，求m．14.（2020高二下·丽水期末）已知数列的前n项和，正项等比数列满足，且是与的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．15.（2020高一下·太和期末）已知数列的前n项和为，且.（1）求出数列的通项公式；（2）记，求数列的前n项和.16.（2020高一下·温州期末）已知数列满足：且，（1）证明：数列为等比数列；（2）记数列的前n项和，证明：17.（2020高一下·徐汇期末）已知数列满足，，. （1）证明：数列是等比数列；（2）若，求数列中的最小项.18.（2020高一下·宜宾期末）在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列. （1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.19.（2020高一下·温江期末）已知的前n项和为，且.（1）求，（2）若，求数列的前n项和.20.（2020高一下·哈尔滨期末）已知数列满足，.（1）数列通项，证明：为等比数列；（2）求前n项和.21.（2020高二下·杭州期末）等差数列的公差不为0，，且，，成等比数列．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，为数列的前n项和，求．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】设等比数列的公比为，则，，因此，.故答案为：D.【分析】根据已知条件求得q的值，再由可求得结果.2.【答案】B【解析】【解答】设等比数列的公比为，由可得：，所以，因此.故答案为：B.【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.3.【答案】C【解析】【解答】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即即，解得，所以.故答案为：C【分析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到.4.【答案】B【解析】【解答】由题意可知，等差数列的公差，则其通项公式为：，注意到，且由可知，由可知数列不存在最小项，由于，故数列中的正项只有有限项：，.故数列中存在最大项，且最大项为.故答案为：B.【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.5.【答案】C【解析】【解答】在等式中，令，可得，，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，，则，解得.故答案为：C.【分析】取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k的等式，由可求得k的值.6.【答案】B【解析】【解答】由已知, ,两式作差得,所以,即故答案为：B【分析】将所给两式做差,即可得与的关系,由等比数列的定义即可求得公比.7.【答案】C【解析】【解答】由等比数列前项和的性质可知,当时,又,得,故.故答案为：C【分析】根据等比数列的性质找到的关系计算即可得出首项与公比,再求即可.8.【答案】C【解析】【解答】解：正项等比数列满足，可知其公比，且可得，，解得，代入，可得，，可得，而所以，即，解得n=9．故答案为：C．【分析】利用已知条件求出等比数列的首项和公比，通过等比数列的性质将进行转化，利用首项和公比表示，得到关于的表达式，解出答案．9.【答案】D【解析】【解答】设数列公比为，则，∵，，成等差数列，∴，即，解得，．故答案为：D.【分析】由，，成等差数列求出数列的公比q，然后再表示出后求值．10.【答案】A【解析】【解答】由题意，等比数列的各项都为正数, 且成等差数列，则（负舍），，故答案为：A。

【分析】利用已知条件结合等差中项的公式，再利用等比数列通项公式，从而求出等比数列的公比，再利用等比数列的性质化简求出的值。

二、多选题11.【答案】A,B,C【解析】【解答】∵，且公比q为整数，∴，，∴，或（舍去）A符合题意，，∴，C符合题意；∴，故数列是等比数列，B符合题意；而，故数列是公差为lg2的等差数列，D不符合题意．故答案为：ABC.【分析】由，，，，公比q为整数，解得，q，可得，，进而判断出结论.12.【答案】B,C【解析】【解答】A. ，，是公比为的等比数列，不是等差数列，故不正确；B．由A可知，数列是首项为1，公比为的等比数列，所以是递减数列，故正确；C. ，，所以是等差数列，故正确；D.由C可知是公差为1的等差数列，所以是递增数列，D不正确.故答案为：BC【分析】根据已知条件可知，，然后逐一分析选项，得到正确答案.三、解答题13.【答案】（1）解：设等比数列的公比为，根据题意，有，解得，所以（2）解：令，所以，根据，可得，整理得，因为，所以【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；（2）由（1）求出的通项公式，利用等差数列求和公式求得，根据已知列出关于的等量关系式，求得结果.14.【答案】（1）解：当时，，当时，，，，设数列的公比为q，由题意可得：，解得，或（舍去），，∴，；（2）解：由（1）有，∴，，，两式相减有：，∴．【解析】【分析】（1）由可求出，设数列的公比为q，根据等比数列的通项公式和等差中项的定义列出方程，由此可求出答案；（2）由（1）有，然后根据错位相减法求和即可．15.【答案】（1）解：（n∈N*），可得n＝1时，S1+1＝2a1，即a1＝1，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，S n+n＝2a n，S n﹣1+n﹣1＝2a n﹣1，相减可得a n+1＝2a n﹣2a n﹣1，可得a n＝2a n﹣1+1，即a n+1＝2（a n﹣1+1），则数列{a n+1}为首项为2，公比为2的等比数列，可得a n+1＝2n，即a n＝2n﹣1（2）解：前n项和为T n＝①2T n＝②两式相减可得﹣T n＝2+2(22+…+2n)﹣=化简可得【解析】【分析】（1）运用数列的递推式：时，，当时，，结合等比数列的通项公式，可得所求；（2）求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．16.【答案】（1）解：由，得，可知为等比数列，且首项为，公比为2（2）解：由（1）得到，所以...即证明.因为.所以前1项单独验证，即当n=1时，有.综上所述，【解析】【分析】（1）将已知条件转化为，由此证得数列为等比数列.（2）由（1）求得的表达式，进而求得的表达式，利用放缩法，结合等比数列前n项和公式，证得不等式成立.17.【答案】（1）证明：，又，∴是首项为1，公比为的等比数列（2）解：，则，① 时，，则，② 时，，则，∴，即【解析】【分析】（1）由得，进而可得，即可得出结果；（2）先写出的通项公式，，讨论n的情况，比较的大小即可得出结论. 18.【答案】（1）解：设等差数列的公差为，依题意，从而的通项公式为.（2）解：，.【解析】【分析】（1）结合等比中项的性质，将已知条件转化为，由此求得，从而求得数列的通项公式.（2）利用裂项求和法求得，从而证得不等式成立.19.【答案】（1）解：因为，故，因为，故即，所以是首项为，公比为3的等比数列.所以，故，所以，整理得到.（2）解：，故所以，故，整理而到.【解析】【分析】（1）题设中的递推关系可变形为，从而可利用等比数列的通项公式求出的通项，再根据可求.（2）利用错位相减法可求.20.【答案】（1）解：由题意，，所以是等比数列（2）解：由（1）得，所以，【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义证明为等比数列；（2）由（1）得，从而可得，然后用分组求和法求．21.【答案】解：（I）由于，，成等比数列，所以，即，即，由于，所以解得，所以数列的通项公式是.（II）依题意.所以【解析】【分析】（I）根据等比中项的性质列方程，转化为的形式，由此求得，进而求得数列的通项公式；（II）由（I）得到，利用分组求和法即可求得.。