三角形的证明单元检测卷1．(4分)（２0１3•钦州)等腰三角形的一个角是8０°,则它顶角的度数是( ）Ａ．80°B．80°或20°C．80°或5０°Ｄ. 20°2.（４分）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．如果a＞0，ｂ＞0,则a+b>０B．直角都相等C．两直线平行,同位角相等D．若a=6，则|a|=｜b| ３.△AＢＣ中,∠A:∠B:∠C＝1:２：３,最小边BC=4cm,最长边AB的长是A．5cm B. ６cm Ｃ. 7cm D. 8cｍ4.(4分）如图，已知AE=CF,∠AFＤ=∠CＥB,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△AＤF≌△ＣBE的是（)Ａ. ∠A=∠ＣB．A D＝CＢC．ＢE=DF D．ＡD∥BC ５．(4分）如图，在△ＡBＣ中,∠B=30°,BC的垂直平分线交ＡＢ于E,垂足为Ｄ．若EＤ=５，则CE的长为（）A. 1０B. ８Ｃ．5D．2．5６.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，ＢE⊥ＣD,垂足为Ｄ，交AC于点Ｅ,∠A=∠ABE．若AC=５,BC＝3,则BD的长为( ）A．２.5 B．1．5 C．2 D. 17.(４分)如图，AＢ=AC,BE⊥AC于点Ｅ,ＣF⊥AB于点F,BＥ、CF相交于点D，则①△ABE≌△ＡCF；②△BDF≌△CDE;③点Ｄ在∠BAC的平分线上.以上结论正确的是()A. ①B. ②C．①② D. ①②③8．（４分)如图所示,AＢ⊥BC，ＤＣ⊥ＢC,E是BC上一点，∠BAE=∠ＤEＣ=６０°，AB=3，ＣＥ＝4,则AD等于（）A．10 B. 12 C. 24 Ｄ．489．如图所示，在△AＢC中,ＡB=AＣ,D、Ｅ是△ＡBC内两点,ＡD平分∠BAC．∠EBC=∠E＝60°，若BE=６,DE＝2,则ＢＣ的长度是（) A．６Ｂ. 8 C．9 D．１010.(４分)(2013•遂宁)如图，在△ABＣ中，∠C=９０°，∠B=3０°，以A为圆心,任意长为半径画弧分别交ＡB、ＡC于点M和N，再分别以M 、Ｎ为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P,连结AＰ并延长交BC于点Ｄ,则下列说法中正确的个数是（)①AD是∠BＡC的平分线;②∠ADC=6０°；③点D在AＢ的中垂线上；④S△DAＣ:S△ABC＝1:3.A. 1 Ｂ．2C．3 D. 41２.（4分）如图,在平面直角坐标系xOy中,Ａ(0，２),B（0，６）,动点Ｃ在直线y=x上.若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点Ｃ的个数是(）Ａ. 2 B．３ C. 4 D. 51３.(4分)如图，在等腰Rｔ△ABＣ中，∠Ｃ=90°，ＡC=8,F是AB边上的中点,点Ｄ，E分别在ＡC,BC边上运动,且保持AD=CE．连接ＤE,DF，EF.在此运动变化的过程中,下列结论:①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFＥ不可能为正方形,③DE长度的最小值为4;④四边形CDFE的面积保持不变;⑤△ＣＤE面积的最大值为８．其中正确的结论是（)A. ①②③B. ①④⑤Ｃ. ①③④Ｄ. ③④⑤二、填空题(每小题4分，共２4分)14．(4分)用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于6０°”时，首先应假设这个三角形中＿__．15．（４分)若（a ﹣1)２＋|b﹣2|=０,则以a、ｂ为边长的等腰三角形的周长为_ . 16.(4分）如图,在Ｒｔ△ABC中,∠ABC=9０°,DE是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E,∠BＡE＝20°，则∠C=___＿____＿．17.(4分）如图,在△ＡBC中,BI、CＩ分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点Ｉ，且DE∥BC.ＢD=８ｃm，ＣE＝５cm,则DＥ等于__＿___＿__ .18．如图,圆柱形容器中，高为1.２m,底面周长为１m，在容器内壁离容器底部0.3ｍ的点Ｂ处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.３m与蚊子相对的点A处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为ｍ.1９.如图，在Rt△ABＣ中,∠C＝90°，∠B=60°,点D是BC边上的点,ＣD=1，将△ABＣ沿直线ＡD翻折，使点C落在AB边上的点Ｅ处，若点Ｐ是直线AＤ上的动点,则△PＥＢ的周长的最小值是.三、解答题(每小题7分，共1４分)20．(7分)如图，Ｃ是AB的中点,AD＝BE,CD＝CE．求证：∠A＝∠B.2１.(7分)如图,两条公路OA和ＯB相交于O点,在∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建一个货站P,使货站P到两条公路OＡ、ＯB的距离相等，且到两工厂C、Ｄ的距离相等，用尺规作出货站Ｐ的位置.四、解答题(每小题１０分,共40分）22．（10分)在四边形ABCD中,AB∥CＤ,∠D=90°，∠DＣＡ=3０°,CA平分∠DＣB，ＡD＝4cm，求ＡB的长度?２３.(1０分）如图，在△ＡＢC中,∠C＝90°,ＡD平分∠CA Ｂ,交CＢ于点D，过点D作ＤE⊥ＡB于点E．（1)求证：△AＣD≌△AＥＤ；(2）若∠Ｂ=30°，CＤ=1,求BD的长.24.（10分）如图，把一个直角三角形ACB(∠ＡＣＢ＝9０°）绕着顶点B顺时针旋转6０°,使得点C旋转到ＡB边上的一点Ｄ,点Ａ旋转到点Ｅ的位置．F，Ｇ分别是BD，BＥ上的点，BF=BＧ,延长CF与DＧ交于点Ｈ.(1)求证:CＦ＝DG；（2)求出∠FHG的度数.25．（10分）已知：如图,△AＢC中，∠ABC=45°,DH垂直平分ＢＣ交AB于点D,BE平分∠ABＣ，且BE⊥AＣ于E,与CD相交于点F．（1)求证：BF=AC;(2)求证：．五、解答题（每小题１2分.共2４分)26.(12分)如图,在△AＢＣ中,Ｄ是BC是中点，过点D的直线GＦ交AC于点F,交AＣ的平行线BG于点G,DE⊥DF交AＢ于点Ｅ,连接EG、EＦ.(１)求证:BG=CF;(２）求证:EG=EF;(3)请你判断ＢE+CF与EF的大小关系,并证明你的结论．2７．（1２分）△ＡBC中，AB=AC,点D为射线BＣ上一个动点(不与B、C重合）,以AD为一边向AD的左侧作△ＡＤＥ，使ＡD＝AＥ，∠DAE=∠ＢAC,过点E作ＢＣ的平行线，交直线AB于点F，连接BE．（1)如图1,若∠BAＣ=∠DAＥ＝６0°,则△BEＦ是_＿_______ 三角形;(２)若∠ＢＡＣ＝∠DAＥ≠6０°①如图2,当点Ｄ在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明;②当点D在线段BC的延长线上移动,△BEF是什么三角形?请直接写出结论并画出相应的图形．北师大版八年级下册《第1章三角形的证明》２0１４年单元检测卷Ａ(一)参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分,共48分)1．(４分)(２０1３•钦州)等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是( )A．80°B．8０°或２0° C. 8０°或50°D．2０°考点: 等腰三角形的性质.专题：分类讨论．分析：分8０°角是顶角与底角两种情况讨论求解.解答:解:①80°角是顶角时，三角形的顶角为８０°,②８0°角是底角时,顶角为１80°﹣8０°×２=20°,综上所述,该等腰三角形顶角的度数为80°或２0°．故选B．点评:本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．2．(4分）下列命题的逆命题是真命题的是（)A．如果a>0，b>0,则a＋b＞0 B. 直角都相等Ｃ. 两直线平行,同位角相等D．若a=6,则|ａ|＝|ｂ|考点: 命题与定理.分析：先写出每个命题的逆命题，再进行判断即可.解答：解；Ａ．如果a>0，b＞0,则a＋b＞0：如果ａ＋b＞０，则a>0，b>0，是假命题;B．直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；Ｃ．两直线平行,同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行,是真命题；D．若ａ=6,则｜a|＝｜ｂ｜的逆命题是若|a｜=|b|，则a=6，是假命题. 故选:Ｃ．点评:此题考查了命题与定理,两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命叫真命题,错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定3．（4分)△AＢＣ中，∠A:∠B：∠C=1：2：3,最小边BC=4 ｃｍ,最长边AB的长是()A．5cm B．6cm Ｃ．7cm D.考点：含3０度角的直角三角形．分析:三个内角的比以及三角形的内角和定理，得出各个角的度数.以及直角三角形中角的一半．解答：解：根据三个内角的比以及三角形的内角和定理，得直角三角形中的最小内角是边是斜边的一半，得最长边是最小边的2倍，即8,故选D．点评:此题主要是运用了直角三角形中角30°所对的直角边是斜边的一半．4．（4分)（201３•安顺）如图，已知AE=CF,∠AＦD＝∠ＣEＢ,那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是()Ａ．∠A＝∠C Ｂ. AD=CB C．ＢE=DF D.考点: 全等三角形的判定．分析:求出AF=CＥ,再根据全等三角形的判定定理判断即可．解答:解：∵AＥ=CF,∴ＡＥ＋EF=CF＋ＥF，∴AＦ=CE，A、∵在△ADF和△ＣBＥ中∴△ＡDF ≌△C ＢE （A ＳA ），正确，故本选项错误； Ｂ、根据AD=CB,AF=ＣＥ，∠A ＦD=∠C ＥＢ不能推出△ＡD Ｆ≌△CBE,错误,故本选项正确； C 、∵在△A ＤF 和△CB Ｅ中 ∴△A ＤF ≌△C ＢE （SAS ），正确，故本选项错误；D 、∵ＡD ∥ＢＣ, ∴∠Ａ=∠Ｃ,∵在△ADF 和△CBE 中∴△ADF ≌△CB Ｅ（ASA)，正确,故本选项错误； 故选B.点评： 本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用,注意：全等三角形的判定定理有SAS ，A ＳA,AAS,SSS.5.(4分）（2０１2•河池)如图,在△ＡBC 中，∠Ｂ=30°，BC 的垂直平分线交ＡB 于Ｅ，垂足为D ．若ＥＤ=5，则C Ｅ的长为（ )A ． 10 Ｂ． 8 C. ５ D ． 2.5考点: 线段垂直平分线的性质;含３0度角的直角三角形.分析： 根据线段垂直平分线性质得出B Ｅ=C Ｅ，根据含30度角的直角三角形性质求出BE 的长,即可求出CE 长. 解答： 解:∵DE 是线段BC 的垂直平分线, ∴B Ｅ=ＣＥ,∠ＢDE ＝9０°(线段垂直平分线的性质）， ∵∠B ＝30°，∴BE=2DE ＝２×5=１0(直角三角形的性质）,∴CE ＝BE=1０．故选A ．点评： 本题考查了含30度角的直角三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，关键是得题目比较典型，难度适中．6.（4分）(２01３•邯郸一模)如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB,ＢE ⊥CＤ,垂足为D ，交AC 于点E,∠A=∠ＡBE.若A Ｃ=5，B Ｃ=3，则ＢD 的长为( ) A ． 2．5 B ． １.5C. 2 D ．考点: 等腰三角形的判定与性质． 分析：由已知条件判定△BE Ｃ的等腰三角形，且ＢC=CE;由等角对等边判定ＡE=ＢＥ,则=(AC ﹣BC ）.解答： 解:如图，∵CD 平分∠ACB,BE ⊥ＣD ， ∴BC=ＣE ．又∵∠A=∠ABE, ∴AE=BE ．∴BD=ＢE ＝ＡE=（AC ﹣B Ｃ).∵AC=5，ＢＣ=3,∴BD ＝(５﹣3)＝1.故选Ｄ． 点评： 本题考查了等腰三角形的判定与性质．注意等腰三角形“三合一”性质的运用.7．（４分)如图，ＡB=A Ｃ，BE ⊥AC 于点E,CF ⊥AB 于点F,BE 、C Ｆ相交于点D ，则①△ＡBE ≌△ＡＣF;②△B ＤF ≌△ＣＤE ；③点D 在∠BAC 的平分线上.以上结论正确的是( )A ． ① Ｂ． ② C. ①② D ． ①②③考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质． 专题： 常规题型．分析: 从已知条件进行分析,首先可得△ＡＢE ≌△ＡＣＦ得到角相等和边相等,运用这些结论，进而得到更多的结论,最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案.解答: 解：∵ＢE ⊥AC 于E,CF ⊥A Ｂ于Ｆ ∴∠AEB=∠AFC=9０°, ∵AB ＝AC ，∠Ａ=∠Ａ， ∴△ＡB Ｅ≌△AC Ｆ(①正确) ∴AE=A Ｆ, ∴ＢF ＝CE, ∵BE ⊥A Ｃ于E ，CF ⊥AB 于Ｆ，∠BDF=∠ＣDE, ∴△B ＤF ≌△ＣDE(②正确） ∴DF=DE, 连接ＡＤ，∵A Ｅ＝AF,DE=D Ｆ，AD=ＡD, ∴△ＡED ≌△ＡFD, ∴∠ＦA Ｄ=∠EAD ， 即点D 在∠BAC 的平分线上（③正确)故选D.点评： 此题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定方法等知识点，要求学生要灵活不重不漏．8．(４分）如图所示，ＡB ⊥BC ，DC ⊥ＢC,E 是B Ｃ上一点,∠BAE=∠DEC=60°,ＡB ＝３,CE ＝4，则ＡＤ等于( ）A. 1０B. 12 C ． 24 Ｄ 考点: 勾股定理；含３0度角的直角三角形. 分析: 本题主要考查勾股定理运用，解答时要灵活运用直角三角形的性质． 解答: 解：∵AB ⊥BC ，ＤC ⊥BC,∠B ＡE=∠D ＥC=6０° ∴∠AEB ＝∠CD Ｅ=30° ∵30°所对的直角边是斜边的一半 ∴AE=６,D Ｅ=8 又∵∠AE Ｄ=90°根据勾股定理 ∴AD=1０. 故选A ．点评: 解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，30°所对的直角边性质. 9．(4分)如图所示，在△A ＢC 中,AB=A Ｃ，D 、E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC ．∠E ＢＣ=∠E=6０°,若ＢE=６,DE=2,则BC 的长度是( ）Ａ. 6 B ． ８ C. 9 D. 10 考点: 等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 分析： 作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出ＢE=６，DE=2，进而得出△ＢEM 为等边三角形,△EFD 为等边三角形，从而得出ＢＮ的长，进而求出答案.解答: 解:延长ＥD 交BC 于M ，延长AD 交B Ｃ于N,作ＤＦ∥BC ， ∵ＡB=A Ｃ,ＡＤ平分∠BAC ， ∴AN ⊥B Ｃ,B Ｎ=CN, ∵∠EBC ＝∠Ｅ=60°， ∴△BEM 为等边三角形, ∴△EF Ｄ为等边三角形, ∵B Ｅ=６，ＤE=2， ∴DM ＝4,∵△BE Ｍ为等边三角形, ∴∠EM Ｂ=6０°, ∵AN ⊥B Ｃ, ∴∠DNM=９0°， ∴∠NDM=３0°， ∴ＮＭ=2， ∴BN=4， ∴BC=2BN=８， 故选B ．点评: 此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出ＭN 的长是解决 1０．（4分）（２0１3•遂宁)如图,在△ABC 中,∠C ＝9０°，∠B=30°,以A 为圆心,任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MＮ的长为半径画弧,两弧交于点P ，连结AP 并延长交ＢC 于点Ｄ,则下列说法中正确的个数是( ) ①A Ｄ是∠BAC 的平分线;②∠AD Ｃ＝60°;③点D 在AB 的中垂线上；④S △D ＡＣ：S △ＡBC =１:３． A ． １ B. 2 C ． 3 D. 考点： 角平分线的性质；线段垂直平分线的性质;作图—基本作图. 专题： 压轴题. 分析: ①根据作图的过程可以判定AD 是∠ＢAC 的角平分线; ②利用角平分线的定义可以推知∠C ＡD ＝３0°,则由直角三角形的性质来求∠A Ｄ③利用等角对等边可以证得△A ＤB 的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性的中垂线上;④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角解答： 解：①根据作图的过程可知，AD 是∠ＢAC 的平分线.故①正确;②如图，∵在△ABC 中,∠C=90°，∠B=3０°， ∴∠ＣＡB=60°．又∵A Ｄ是∠BAC 的平分线， ∴∠１=∠2=∠CA Ｂ＝3０°， ∴∠3=９0°﹣∠2=６0°，即∠ADC=60°. 故②正确;③∵∠1=∠B=３0°， ∴A Ｄ=BD,∴点D 在AB 的中垂线上. 故③正确;④∵如图,在直角△ACD 中,∠2=30°, ∴CD=ＡD,∴ＢC=C Ｄ+ＢD=AD+AD ＝A Ｄ,S △ＤA Ｃ＝AC •CD=ＡC •ＡD ． ∴Ｓ△A ＢC =AC •ＢＣ=AC •AD=AC •A Ｄ, ∴Ｓ△ＤＡC ：S △A ＢC =AC •ＡD:A Ｃ•A Ｄ=1:3. 故④正确．综上所述,正确的结论是：①②③④，共有４个． 故选Ｄ.点评： 本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图.解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质.12．(4分)(２013•龙岩）如图,在平面直角坐标系xO ｙ中，A （0，2）,B （０,6)，动点Ｃ在直线ｙ=ｘ上.若以A 、B 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点Ｃ的个数是（ ）Ａ． ２ B. ３ C. 4 D ．考点： 等腰三角形的判定;坐标与图形性质. 专题: 压轴题.分析: 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得ＡB 的垂直平分线与直求出ＡB 的长，以点A 为圆心,以A Ｂ的长为半径画弧,与直线y=x 的交点为点C ，距离可知以点Ｂ为圆心，以AB 的长为半径画弧,与直线没有交点.解答： 解:如图，ＡＢ的垂直平分线与直线y=x 相交于点Ｃ1，∵A （０,2),B （0,6)， ∴A Ｂ=6﹣2＝4,以点A 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线y=x 的交点为C 2,C 3， ∵ＯB=6，∴点B 到直线y=x 的距离为6×=3，∵3＞4，∴以点B 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线ｙ=x 没有交点, 所以,点Ｃ的个数是1+2＝３. 故选B.点评： 本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质,作出图形,利用数形结合的思想求解更形象直观. 13.(4分)（２0０9•重庆）如图,在等腰R ｔ△A ＢC 中,∠Ｃ＝9０°，ＡC ＝８，F 是AB 边上的中点，点D,E 分别在AC ，BC 边上运动，且保持AD=ＣＥ．连接DE,D Ｆ,EF ．在此运动变化的过程中，下列结论: ①△DFE 是等腰直角三角形； ②四边形C ＤFE 不可能为正方形， ③DE 长度的最小值为4; ④四边形CDF Ｅ的面积保持不变； ⑤△CDE 面积的最大值为8.其中正确的结论是( )A ． ①②③ Ｂ． ①④⑤ C ．①③④ D. ③④⑤考点： 正方形的判定；全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形. 专题： 压轴题；动点型．分析： 解此题的关键在于判断△ＤE Ｆ是否为等腰直角三角形,作常规辅助线连接C Ｆ,由ＳAS 定理可证△CFE 和△ADF 全等，从而可证∠ＤFE ＝９0°,D Ｆ=E Ｆ．所以△DE Ｆ是等腰直角三角形.可证①正确,②错误，再由割补法可知④是正确的；判断③,⑤比较麻烦,因为△ＤE Ｆ是等腰直角三角形DE=D Ｆ,当ＤF 与ＢC 垂小值4，故③错误,△ＣDE 最大的面积等于四边形CD ＥF 的面积减去△DEF 的正确的．故只有①④⑤正确．解答： 解:连接C Ｆ;∵△ＡB Ｃ是等腰直角三角形,∴∠FCB=∠A=4５°，CF=A Ｆ=F Ｂ; ∵AD ＝CE,∴△ＡD Ｆ≌△CEF;∴ＥF=DF,∠CFE=∠AFD ；∵∠A ＦＤ＋∠CFD=９0°，∴∠CF Ｅ+∠C ＦＤ＝∠E ＦD=９0°, ∴△E ＤF 是等腰直角三角形． 因此①正确. 当D 、E 分别为A Ｃ、BC 中点时,四边形ＣＤF Ｅ是正方形． 因此②错误． ∵△ADF ≌△CEF ， ∴S △CE Ｆ＝S △AD Ｆ∴S 四边形CEFD =S △AFC ， 因此④正确. 由于△DEF 是等腰直角三角形，因此当DE 最小时,ＤF 也最小; 即当ＤＦ⊥AC 时,DE 最小，此时ＤF=BC ＝4.∴DE=D Ｆ＝4; 因此③错误.当△CD Ｅ面积最大时,由④知，此时△D ＥF 的面积最小．此时Ｓ△CDE =Ｓ四边形CE ＦD ﹣S △DEF ＝S △A ＦＣ﹣S △DEF ＝１6﹣8=８; 因此⑤正确． 故选Ｂ．点评： 本题考查知识点较多,综合性强,能力要求全面，难度较大．但作为选择题可采用排除法等特有方法,使此题难度稍稍降低一些．二、填空题(每小题4分，共24分)14.(４分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中 每一个内角都大于６0° . 考点: 反证法． 分析: 熟记反证法的步骤，直接填空即可． 解答： 解:根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的每一个内角都大于60°． 故答案为：每一个内角都大于60°． 点评： 此题主要考查了反证法，反证法的步骤是:(1)假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾;（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 1５.(4分)(２013•雅安）若（a ﹣1)2+|b ﹣2|=0,则以ａ、ｂ为边长的等腰三角形的周长为 5 . 考点: 等腰三角形的性质;非负数的性质:绝对值；非负数的性质:偶次方；三角形三边关系. 专题： 分类讨论. 分析： 先根据非负数的性质列式求出a 、ｂ再分情况讨论求解即可． 解答: 解：根据题意得,a ﹣1＝0，b ﹣2＝０, 解得ａ=1，b=2,①若a=1是腰长，则底边为2,三角形的三边分别为1、1、2， ∵1+１＝2,∴不能组成三角形，②若a=2是腰长,则底边为１，三角形的三边分别为2、２、1， 能组成三角形, 周长=2+２+1=5. 故答案为:5．点评: 本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质,以及三角形的三边关系，难点在于１６.(4分)如图,在Rt △ABC 中,∠ABC=９0°，DE 是ＡC 的垂直平分线,交ＡC 于点D ，交BC 于点E ，∠BA Ｅ=2０°,则∠C= 35° ．考点: 线段垂直平分线的性质． 分析： 由ＤE 是ＡC 的垂直平分线,根据线段垂直平分线的性质,可得ＡE ＝CE,又由在Ｒt △∠BAE=2０°，即可求得∠C 的度数．解答： 解:∵ＤE 是AC 的垂直平分线，∴ＡE ＝CE ，∴∠C ＝∠C ＡE ， ∵在Ｒt △ABE 中，∠AB Ｃ＝90°，∠ＢAE=２0°，∴∠AEC=70°，∴∠C+∠CAE=７0°， ∴∠C=35°． 故答案为：35°. 点评： 此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌 17.（4分)如图,在△ABC 中,B Ｉ、ＣI 分别平分∠ABC 、∠AC Ｆ,D Ｅ过点I,且ＤE ∥BC.BD=8cm ，ＣＥ＝5ｃm ，则DE 等于 3ｃm ．考点: 等腰三角形的判定与性质;平行线的性质． 分析: 由BI 、CI 分别平分∠A ＢC 、∠ＡCF ，D Ｅ过点Ｉ，且D Ｅ∥ＢC,易得△BDI 与△EC Ｉ是等腰三角形,继而求得答案.解答： 解：∵B Ｉ、CI 分别平分∠ABC 、∠ACF ，∴∠ＡBI=∠ＣＢI,∠ECI=∠I ＣF ，∵ＤE ∥BC,∴∠D ＩB=∠CBI ，∠EI Ｃ=∠ICF ， ∴∠ＡBI ＝∠ＤＩB,∠ECI=∠EI Ｃ， ∴D Ｉ＝B Ｄ=８c ｍ，E Ｉ=C Ｅ=５cm, ∴DE=D Ｉ﹣EI=3（ｃm). 故答案为:3ｃm ．点评: 此题考查了等腰三角形的性质与判定以及平行线的性质．注意由角平分线与平行线,易得等腰三角形.18.（4分）（2013•东营）如图，圆柱形容器中,高为1.2m,底面周长为1ｍ，在容器内壁离容器底部0.３m 的点Ｂ处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿０.３m 与蚊子相对的点A 处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 1.3 ｍ（容器厚度忽略不计）．考点: 平面展开-最短路径问题． 专题： 压轴题.分析: 将容器侧面展开,建立Ａ关于E Ｆ的对称点A ′,根据两点之间线段最短可知A ′Ｂ的长度即为所求. 解答: 解：如图: ∵高为1．2ｍ,底面周长为1m,在容器内壁离容器底部０.３m 的点B 处有一蚊子， 此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m 与蚊子相对的点A 处, ∴A ′D=０.５m,BD=1.2ｍ， ∴将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点Ａ′， 连接A ′B,则A ′Ｂ即为最短距离，Ａ′B==＝1.3（ｍ)． 故答案为:１．3． 点评： 本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力.19．（4分）（２０13•资阳)如图，在Rt △ＡB Ｃ中,∠C=90°，∠B=60°，点D 是BC 边上的点，CD ＝1,将△ABC 沿直线ＡＤ翻折,使点Ｃ落在ＡＢ边上的点E 处,若点P 是直线A Ｄ上的动点,则△PEB 的周长的最小值是 １+ ．考点: 轴对称-最短路线问题;含30度角的直角三角形;翻折变换(折叠问题)．专题: 压轴题.分析： 连接C Ｅ，交AD 于M,根据折叠和等腰三角形性质得出当P 和D 重合时,PE+BP 的值最小，即可此时△B ＰE 的周长最小，最小值是BE ＋PE+PB=BE+CD+ＤE=ＢC+BE,先求出ＢC 和ＢＥ长，代入求出即可．解答：解:连接CE,交AD 于M ， ∵沿AD 折叠C 和E 重合,∴∠A ＣD=∠A ＥＤ=90°，ＡC ＝A Ｅ,∠C ＡD=∠EA Ｄ, ∴AD 垂直平分CE,即C 和E 关于AD 对称,CD=DE=1,∴当P 和D 重合时,PE+BP 的值最小，即此时△BPE 的周长最小，最小值是BE ＋P Ｅ+P Ｂ=BE+CD+D Ｅ＝BC+B Ｅ， ∵∠ＤEA=90°, ∴∠DEB ＝90°， ∵∠B ＝６0°，DE=１, ∴B Ｅ＝，BD ＝，即BC ＝1+，∴△PEB 的周长的最小值是ＢC ＋BE=１++＝1+，故答案为:1＋．点评: 本题考查了折叠性质，等腰三角形性质,轴对称﹣最短路线问题,勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用,关键是求出P 点的位置，题目比较好,难度适中.三、解答题(每小题7分,共14分)20.（７分)(2０13•常州)如图，C 是ＡＢ的中点,ＡD=B Ｅ,C Ｄ=ＣE. 求证：∠A=∠ B.考点： 全等三角形的判定与性质. 专题： 证明题；压轴题．分析: 根据中点定义求出ＡC=ＢC ，然后利用“SSS ”证明△ACD 和△B ＣE 全等，再根据明即可．解答: 证明：∵Ｃ是AB 的中点,∴AC ＝ＢC ，在△ACD 和△BCE 中,， ∴△ACD ≌△B ＣE （S ＳＳ）, ∴∠A ＝∠Ｂ． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，比较简单,主要利用了三边对应相等,两三角应角相等的性质.２１.（7分)(２013•兰州）如图，两条公路O Ａ和OB 相交于O 点,在∠AOB 的内部有工厂C 和D ，现要修建一个货站P ，使货站Ｐ到两条公路ＯＡ、OB 的距离相等，且到两工厂C 、D 的距离相等，用尺规作出货站P 的位置．(要求:不写作法,保留作图痕迹,写出结论)考点: 作图—应用与设计作图.分析： 根据点P 到∠AOB 两边距离相等,到点C 、D 的距离也相等,点P 既在∠AOB 的角平分线上,又在ＣD 垂直平分线上，即∠ＡOB 的角平分线和CD 垂直平分线的交点处即为点P ．解答: 解：如图所示：作CD 的垂直平分线,∠ＡOB 的角平分线的交点Ｐ即为所求．点评: 此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法.这些基本作图要熟练掌握,注意保留作图痕迹．四、解答题(每小题10分,共４０分) 2２.(１0分)(2０13•攀枝花模拟）在四边形A ＢCD 中，ＡB ∥ＣD ，∠D=90°，∠D ＣA ＝3０°，CA 平分∠ＤＣB,AD=４ｃm, 求A Ｂ的长度？考点： 勾股定理；等腰三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形． 专题： 压轴题. 分析: 过B 作ＢE ⊥A Ｃ，由ＡD=4m 和∠D=９0°，∠DCA=3０°，可以求出ＡC 的长，根据平行线的性质和角平分线以及等腰三角形的性质即可求出AD 的长． 解答: 解：∵∠D=90°,∠DC Ａ＝30°，ＡＤ＝4cm, ∴AC=２A Ｄ＝8c ｍ, ∵CA 平分∠D ＣB ，AB ∥ＣD, ∴∠C ＡB=∠A ＣB ＝３0°, ∴ＡB=BC ， 过B 作B Ｅ⊥ＡC,∴AE=AC=4c ｍ,∴c ｏｓ∠E ＡB==,∴c ｍ.点评: 本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的性质,解题的关键是利用锐角三角函数求出AB 的长. 23．（１0分)（２0１3•温州)如图,在△ＡB Ｃ中,∠C ＝9０°,AD 平分∠ＣAB,交C Ｂ于点D ，过点D 作ＤＥ⊥AB 于点Ｅ. (1)求证:△AC Ｄ≌△AED ；(2)若∠B=3０°，CD=1，求BD 的长．考点: 全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;含3０度角的直角三角形.分析: （1）根据角平分线性质求出CD=D Ｅ，根据H Ｌ定理求出另三角形全等即可;(２）求出∠D ＥＢ＝９0°,D Ｅ=１，根据含30度角的直角三角形性质求出即可. 解答： (1)证明:∵ＡD 平分∠CAB ，D Ｅ⊥ＡＢ，∠C ＝９0°， ∴ＣD=ED,∠DEA=∠C=９0°, ∵在Rt △AC Ｄ和R ｔ△AED 中∴Rt △ＡＣＤ≌Ｒt △AED(HL)； (2)解：∵ＤC ＝D Ｅ=１，D Ｅ⊥A Ｂ， ∴∠DEB ＝90°, ∵∠B ＝30°， ∴ＢD ＝2D Ｅ=2. 点评: 本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含３０度角的直角三角形性质的应用,注意:角平分线上的点到角两边的距离相等. 24.(１0分)(201３•大庆)如图，把一个直角三角形ＡCB(∠AC Ｂ=90°）绕着顶点B 顺时针旋转6０°，使得点C 旋转到ＡＢ边上的一点Ｄ,点A 旋转到点E 的位置．F,G分别是BD,B Ｅ上的点,BF=BG ，延长C Ｆ与DG 交于点Ｈ． （１)求证:CF=DG ； (2）求出∠FHG 的度数.考点： 全等三角形的判定与性质. 分析： （1）在△CBF 和△DBG 中,利用ＳAS 即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得; （2）根据全等三角形的对应角相等,即可证得∠DH Ｆ＝∠ＣＢF=６0°，从而求解． 解答: （1)证明:∵在△CBF 和△DBG 中, , ∴△CB Ｆ≌△DBG （SAS)， ∴C Ｆ=DG;(2）解：∵△CBF ≌△DB Ｇ， ∴∠ＢCF=∠ＢDG , 又∵∠CF Ｂ=∠D ＦＨ， ∴∠DH Ｆ=∠C ＢF=6０°, ∴∠F ＨＧ＝1８0°﹣∠ＤH Ｆ＝1８0°﹣60°=120°． 点评: 本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键.25.（10分）已知：如图,△ABC 中,∠ＡB Ｃ=45°,ＤＨ垂直平分BC 交ＡB 于点D ，B Ｅ平分∠ＡＢC ，且ＢE ⊥ＡC 于E ，与CD 相交于点F ． （1）求证:BF=A Ｃ; （2)求证:.考点: 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题： 证明题.分析: (１）由ＡS Ａ证△ＢDF ≌△ＣDA,进而可得出第（1)问的结论； (２）在△AB Ｃ中由垂直平分线可得ＡB=BC ，即点E 是AC 的中点，再结合第一解答： 证明：（１）∵ＤＨ垂直平分BC ，且∠ABC ＝４5°，∴B Ｄ＝ＤＣ,且∠BDC=90°，∵∠A+∠A ＢＦ=90°,∠Ａ+∠AC Ｄ＝90°,∴∠ABF=∠ACD,∴△BDF ≌△ＣDA,∴BF ＝AC ．(2）由(1）得BF=AC ，∵ＢE 平分∠ABC,且BE ⊥AC ， ∴在△AB Ｅ和△CB Ｅ中,，∴△ABE ≌△C ＢＥ（AS Ａ), ∴CE=AE ＝AC=B Ｆ.点评： 本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及线段垂直平分线的性质等问题,应熟练掌握．五、解答题（每小题12分．共24分） ２6.（12分）如图，在△ABC 中，Ｄ是ＢＣ是中点,过点D 的直线ＧF 交A Ｃ于点Ｆ,交A Ｃ的平行线B Ｇ于点G ，ＤE ⊥ＤF 交ＡＢ于点E,连接ＥＧ、ＥF. (1)求证：BG=CF ； (２）求证：EG=EF ；（3)请你判断B Ｅ＋CF 与EF 的大小关系,并证明你的结论. 考点: 全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质． 分析： （1）求出∠Ｃ=∠GBD,BD=D Ｃ，根据AS Ａ证出△ＣＦＤ≌△B ＧD 即可. （2）根据全等得出ＧＤ=DF ，根据线段垂直平分线性质得出即可． (3)根据全等得出B Ｇ=ＣＦ,根据三角形三边关系定理求出即可. 解答： (１)证明：∵BG ∥ＡC ，∴∠C ＝∠GB Ｄ， ∵D 是BC 是中点， ∴B Ｄ＝D Ｃ,在△CF Ｄ和△BGD 中∴△CFD ≌△BGD,∴B Ｇ=C Ｆ.（２)证明:∵△CF Ｄ≌△BGD,∴DG=D Ｆ,∵DE ⊥GF, ∴E Ｇ=EF. (3)ＢＥ+CF ＞EF ， 证明：∵△CF Ｄ≌△B ＧD,∴CF=BG , 在△BG Ｅ中,B Ｇ+BE ＞E Ｇ,∵ＥF=EG ， ∴BG+ＣF>E Ｆ.点评: 本题考查了全等三角形的性质和判定,平行线的性质,线段垂直平分线性质，三角形要考查学生的推理能力.２７.(1２分)△ABC 中，AB=AC ，点D 为射线BC 上一个动点(不与B 、C 重合),以ＡD 为一边向AD 的左侧作△ＡDE ，使AD=AE,∠DA Ｅ=∠BAC ，过点Ｅ作BC的平行线，交直线AB 于点F ，连接ＢＥ.（1）如图1，若∠ＢAC=∠ＤＡE=６0°，则△ＢEF 是 等边 三角形; (2)若∠B ＡC=∠ＤＡＥ≠６0° ①如图2,当点D 在线段B Ｃ上移动,判断△B ＥF 的形状并证明；②当点D 在线段BC 的延长线上移动，△B ＥF 是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形.考点： 等腰三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定． 分析: （1)根据题意推出△ＡE Ｄ和△AB Ｃ为等边三角形，然后通过求证△EAB ≌△D ＡＣ，结合平行线的性质，即可推出△EFB 为等边三角形,（2）①根据(１）的推理依据,即可推出△E ＦB 为等腰三角形，②根据题意画出图形，然后根据平行线的性质，通过求证△EAB ≌△DA Ｃ,推出等量关系，即可推出△EFB 为等腰三角形. 解答： 解：(1）∵AB ＝AC ，AD=AE,∠B ＡＣ=∠ＤAE ＝６0°， ∴△ＡED 和△AB Ｃ为等边三角形， ∴∠C ＝∠ABC=60°，∠ＥAB=∠DAC, ∴△ＥAB ≌△DAC ， ∴∠ＥＢA=∠C=６０°, ∵ＥF ∥ＢC,∴∠EFB ＝∠ＡB Ｃ=60°，∵在△E ＦB 中，∠ＥFB=∠E ＢA=６0°， ∴△EFB 为等边三角形,（2)①△BE Ｆ为等腰三角形,∵AB=AC,AD=ＡE ，∠BA Ｃ=∠D ＡＥ, ∴△AED 和△A ＢC 为等腰三角形， ∴∠C=∠ABC ，∠EAB=∠DAC,∴△EA Ｂ≌△DAC ，∴∠EBA=∠C, ∵ＥＦ∥ＢC ， ∴∠ＥＦＢ=∠ABC ， ∵在△EFB 中，∠EFB=∠E ＢA, ∴△E ＦB 为等腰三角形,②AB=AC,点D 为射线ＢC 上一个动点(不与Ｂ、C 重合)，以AD 为一边向A Ｄ的Ｅ,∠ＤＡE=∠BA Ｃ，过点E 作B Ｃ的平行线,交直线AB 于点Ｆ，连接ＢE. ∵△ＢＥF 为等腰三角形,∵AB=ＡC ，ＡD=AE,∠B ＡC=∠D ＡE ， ∴△A ＥD 和△ABC 为等腰三角形, ∴∠ACB=∠ABC ，∠EAB=∠ＤAC, ∴△E ＡB ≌△D ＡC ， ∴∠EBA ＝∠A ＣD, ∴∠EBF ＝∠AC Ｂ， ∵E Ｆ∥BC,∴∠AFE=∠ＡＢＣ， ∵∠ABC=∠ＡCB, ∴∠A ＦE ＝∠ACB ，∵在△E ＦB 中,∠EBF=∠AFE,∴△E ＦB 为等腰三角形． 点评: 本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形根据题意画出图形，通过求证三角形全等，推出等量关系，即可推出结论. ﻬ参与本试卷答题和审题的老师有:ｙaｎgwy;zcx;gbl21０；dbｚ1018;星期八；ｚjx1１１;sd20１1;py1６８;ｋｕaile;HLing;yeyue;ｌhz６9１8；caｉcl；ｌantｉn;ＭMＣＨ;Linaｌiu；zhｊh;ZHAOＪJ(排名不分先后)菁优网2０14年2月１9日。