河北省石家庄二中2020届高三年级上学期第三次联考数学
（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.设{}11A x x =-<<，{}0B x x a =->，若A B ⊆，则a 的取值范围是（
）A.(,1]-∞- B.(,1)-∞- C.[1,)+∞ D.(1,)
+∞2.己知命题p ：,21000n n N ∃∈>，则p ⌝为（）
A.,21000
n n N ∀∈< B.,21000n n N ∀∉<C.,21000n n N ∀∈≤ D.,21000
n n N ∀∉≤3.己知复数z 满足2019(1)i z i -=-（其中i 为虚数单位），则||z =（）A.1
2
B.2
C.1
D.4.中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为；“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了（
）
A.24里
B.48里
C.96里
D.192里5.已知函数()f x 为偶函数，且对于任意的()12,0,x x ∈+∞，都有1212
()()f x f x x x --()120x x >≠,设(2)a f =，3(log 7)b f =，0.1(2)c f -=-则（）
A.b a c <<
B.c a b <<
C.c b a <<
D.a c b
<<6.若函数()sin(2)6
f x x π=-的图像向左平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得的图像关于y 轴对称，则当ϕ最小时，tan ϕ=（
）
A.3
B.
C.3-
D.
7.已知函数21()cos 4
f x x x =
+的图象在点()t f t （，）处的切线的斜率为k ，则函数()k g t =的大致图象是（）
A. B.
C. D.
8.已知两点()1,0A -，()10B ,
以及圆C ：222(3)(4)(0)x y r r -+-=>，若圆C 上存在点P ，满足0AP PB ⋅= ，则r 的取值范围是（
）A.[]3,6 B.[]3,5 C.[]4,5 D.[]
4,69.在直角梯形ABCD 中，8AB =，4CD =，//AB CD ，AB AD ⊥，
E 是BC 的中点，则()AB AC AE ⋅+=
A.32
B.48
C.80
D.64
10.如图所示，正四面体ABCD 中,E 是棱AD 的中点,P 是棱AC 上一动点，BP PE +14，则该正四面体的外接球表面积是（）
A .12π B.32π C.8π D.24π
11.如图，已知函数()sin()(0,||)2
f x x πωϕωϕ=+><的图象与坐标轴交于点1,,(,0)2-A B C ，直线BC 交()f x 的图象于另一点D ，O 是ABD ∆的重心.则ACD ∆的外接圆的半径为
A.2
B.57
6 C.57
3 D.8
12.已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，
其导函数为()f x '，当0x ≥时，不等式()()1xf x f x '>-.若对x ∀∈R ，不等式()()0x x x e f e
e ax ax
f ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为（）A.1 B.2
C.3
D.4第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知双曲线22
14y x -=的右焦点为F ，则F 到其中一条渐近线的距离为__________．14.(4
324sin 16x x dx --⎰的值为__________.15.已知数列{}n a 的前n 项和221,4(1),5
n n n S n m n n ⎧-≤=⎨-+-≥⎩.若5a 是{}n a 中的最大值，则实数m 的取值范围是_____．
16.设12,F F 为椭圆C :2214
x y +=的两个焦点．M 为C 上点，12MF F ∆的内心I 的纵坐标为23-，则12F MF ∠的余弦值为_____.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17.,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边.已知()sin 4sin 8sin a A B A +=.
（1）若1,6b A π==
，求sin B ；（2）已知3
C π=，当ABC 的面积取得最大值时，求ABC 的周长.
18.设数列{}n a 满足：212321111 (333)
n n a a a a n -+
+++=，n ∈+N .⑴求n a ；⑵求数列{}n a 的前n 项和n S .
19.如图，矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E为BC的中点，现将△BAE与△DCE折起，使得平面BAE及平面DEC都与平面ADE垂直．
（1）求证：BC∥平面ADE；
（2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．
20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b
+=>>的左焦点1F ，直线:2360l x y --=与y 轴交于点P.且与椭圆交于A ，B 两点.A 为椭圆的右顶点，B 在x 轴上的射影恰为1F ．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）M 为椭圆E 在第一象限部分上一点，直线MP 与椭圆交于另一点N ，若:P N PMA B S S λ= ，求λ的取值范围.
21.已知函数3()3,()1ln f x x ax e g x x =-+=-，其中e 为自然对数的底数.
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）用max{,}m n 表示,m n 中较大者，记函数()max{(),()},(0)h x f x g x x =>.若函数()h x 在()0,∞+上恰有2个零点，求实数a 的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
选修4-4：坐标系与参数方程
22.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为
2cos 4sin 0ρθθ-=，P 点的极坐标为3,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，在平面直角坐标系中，直线l 经过点P ，且倾斜角为60 .（1）写出曲线C 的直角坐标方程以及点P 的直角坐标；
（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11PA PB
+的值.选修4-5：不等式选讲
23.已知函数()214
f x x x =++-（1）解不等式()6f x ≤；（2）若不等式2()48f x x a a +-<-有解，求实数a 的取值范围.。