二次根式一、本节学习指导学习二次根式时，我们把平方根的知识顺带巩固一下。

这就是系统性学习，这样学习的好处是把零碎的知识可以系统起来。

本节中我们要对二次根式有意义的条件要掌握。

二、知识要点1、二次根式的概念：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式。

注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a ≥0是a 为二次根式的前提条件，如5，21x +，等是二次根式，而5-，2x -等都不是二次根式。

2、取值范围（1）、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，a 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

（2）、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，a 没有意义。

3、二次根式a （a ≥0）的非负性a （a ≥0）表示a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，即a0（a≥0）。

注意：a （a ≥0）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（a ≥0）的算术平方根是非负数，即2a （a ≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用0a b =，则a=0,b=020a b =，则a=0,b=020a b =，则a=0,b=0。

4、二次根式2a 的性质：2()a a =（a ≥0）描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注意：二次根式的性质公式2()a a =（a ≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若a ≥0，则2()a a =，如：22(2)=，211()22=。

5、二次根式的性质2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ 描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注意：（1）、化简2a 时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，即2(0)a a a a ==≥；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即2 1.4143 1.7325 2.236 7 2.646≈≈≈≈； ； ；；2、2a 中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，2a 一定有意义；3、化简2a 时，先将它化成a ，再根据绝对值的意义来进行化简。

6、2()a 与2a 的异同点1、不同点：2()a 与2a 表示的意义是不同的，2()a 表示一个正数a 的算术平方根的平方，而2a 表示一个实数a 的平方的算术平方根；在2()a 中2a a 可以是正实数，0，负实数。

但2)a 2a 2)0a ≥20a 。

因而它的运算的结果是有差别的，2()a a =（a ≥0） 2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩2、相同点：当被开方数都是非负数，即a ≥0时，2()a 2a a ＜0时，2)a 无意义，2a a =-。

7、二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．ab a b =；b ba a=a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．三、经验之谈：特别要注意这个式子：2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩，这个运算过程是区别于2)a 的依据。

a b ab =法，如果不是同类项的话是不能合并的，比如：2822232==25目前我们只能估算，或是就保持最简因式。

本节中还要记住一些常见根式的约等数，常见的有2 1.4143 1.7325 2.236 7 2.646≈≈≈≈； ； ；一元二次方程解法一、本节学习指导一元二次方程的概念比较少，但遇到题目的时候还挺考验经验积累的。

所以本节我们要多做练习，多思考，多积累。

在中考中这部分知识会和函数等结合，到时候涉及综合知识就比较多，希望同学们能掌握好本节的解题方法。

二、知识要点1、 降次—直接开平方法（将被开放式看作一个整体）212:(21)521=5515151x x x x x +=+±-=---==例解：2、 配方法步骤：（1）二次项系数化为1（2）在方程左边同时加上并减去一次项系数一半的平方（3）化简整理，再用直接开平方法解方程2222212:6160:633160(3)2535532,8x x x x x x x x x +-=++--=+=+=±=±-==-例解3、公式法21,2(4)2b x b ac a -±∆=∆=-2212:210:2,1,1418919132411,2x x a b c b ac b x a x x --===-=-∆=-=+=-∆±±=====-例解4、 因式分解法方法：将式子左边进行因式分解，右边为0212:21010:2(10)(10)0(10)(21)010*******,2x x x x x x x x x x x x -=----=--=-=-===例解或5、十字相乘法（特殊的因式分解）方法：形如2()0x m n x mn +++=的式子，可化为()()0x m x n ++=212:560(1)(6)010601,6x x x x x x x x +-=-+=-=+===-例解:或三、经验之谈：有一点我要提醒一下大家，解数学题时很多同学总是想着找简单的方法，浪费了很多时间在“想”上面，就像本节的求根公式很多同学都不愿意实用，因为计算起来实在太麻烦。

其实很多“老式”解题步骤的确很繁琐眞就管用。

有句话说：“笨鸟先飞嘛”！图形的旋转一、本节学习指导本节我们重点了解旋转、平移性质，除外还有一个重点是点的对称变换。

本节有配套免费学习视频。

二、知识要点1、旋转：将一个图形绕着某点O 转动一个角度的变换叫做旋转。

其中，O 叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

2、旋转性质① 旋转后的图形与原图形全等②对应线段与O形成的角叫做旋转角③各旋转角都相等3、平移：将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。

其中，该直线的方向叫做平移方向，该距离叫做平移距离。

4、平移性质①平移后的图形与原图形全等②两个图形的对应边连线的线段平行相等（等于平行距离）③各组对应线段平行且相等5、中心对称与中心对称图形①中心对称：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这个点对称或中心对称。

其中，点O叫做对称中心、两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

②中心对称图形：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形。

其中，这个点叫做该图形的对称中心。

6、轴对称与轴对称图形(1)、轴对称：若两个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这两个图形关于这条轴对称或它们成轴对称。

其中，这条轴叫做对称轴。

注：轴对称的性质：①两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分（2）轴对称图形：若一个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形。

7、点的对称变换（1）、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P＇（-x，-y）（2）、关于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x 轴的对称点为P＇（x，-y）（3）、关于y轴对称的点的特征rd dCBAO 两个点关于y 轴对称时，它们的坐标中，y 相等，x 的符号相反，即点P （x ，y ）关于y 轴的对称点为P ＇（-x ，y ） （４）、关于直线y ＝x 对称两个点关于直线y ＝x 对称时，横坐标与纵坐标与之前对换，即：P （x ，y ）关于直线 y ＝x 的对称点为P ＇（y ，x ）（5）、两个点关于直线y ＝-x 对称时，横坐标与纵坐标与之前完全相反，即：P （x ，y ）关于直线y ＝x 的对称点为P ＇（-y ，-x ）注：y ＝x 的直线是过一三象限的角平分线，y ＝-x 的直线是过二四象限的角平分线。

三、经验之谈：本节中点的对称变换考得相对较多，如果在大脑中百思不得其解的话，我们可以动手作图出来观察。

圆知识点总结圆与三角形、四边形一样都是研究相关图形中的线、角、周长、面积等知识。

包括性质定理与判定定理及公式。

一 集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二 轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于 定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都 相等的一条直线 三 位置关系：1点与圆的位置关系:点在圆内 d<r 点C 在圆内 点在圆上 d=r 点B 在圆上点在此圆外 d>r 点A 在圆外2 直线与圆的位置关系:直线与圆相离 d>r 无交点直线与圆相切 d=r 有一个交点d rd=rr drRdrRd图3rR d图4rRd 图5r Rd ODA B O E D CFE DCB A OC A OD CA O 有两个交点3 圆与圆的位置关系:外离（图1） 无交点 d>R+r 外切（图2） 有一个交点 d=R+r 相交（图3） 有两个交点 R-r<d<R+r 内切（图4） 有一个交点 d=R-r 内含（图5） 无交点 d<R-r四 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中 2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。