(2) 计算1-1 利用计算剪力和弯矩的规律，由1-1截面左侧外力计
Q1=RA=-2000N(负剪力) M1=RA×200=-400N·m(负弯矩) (3) 计算2-2 利用计算剪力和弯矩的规律，由2-2截面的右侧外力
Q2=q×0.4-RB=-4000N (负剪力) M2=RB×0.4-q×0.4×0.2=2400N·m(正弯矩)
从所作的内力图知，若a>b，则在CB段任一截面上的 剪力值都相等且比AC段的要大，其值｜Qmax｜=Pa/l，最 大弯矩发生在集中力P作用的截面上，其值｜Mmax｜ =Pab/l
如果集中力P作用在梁的跨中，即a=b=l/2
｜Qmax｜=P/2 ｜Mmax｜=Pl/4
【例 7.7】简支梁受集中力偶m作用如图17(a)所示，试画
Q(x)=RA=m/l (a≤x<l) M(x)=RAx-m=m/lx-m(a<x≤l) (3) 画剪力图 从式(a)和式(c)可知，AC段和CB段的剪力为常数m/l， 剪力图是一条在x轴线上侧与x轴平行的直线。剪力图如 图17(b)
【例 7.8】外伸梁受荷载作用如图18(a)所示，试画出梁的
∑Fy=0，RB-Q1=0
Q1=RB=-2P ∑m1(F)= 0，M1-Me=0
M1=Me=Pa 计算结果Q1为负，表明Q1实际方向与图示假设方向 相反，故为负剪力；M1为正，表明M1实际方向与图示假
(3) 求截面2-2
用2-2截面将梁假想地截开，取右段为研究对象，受 力图如图12(c)。由平衡方程求Q2和M2
剪力图和弯矩图的画法与轴力图、扭矩图很相 似，用平行于梁轴的横坐标x表示梁横截面的位置， 用垂直于梁轴的纵坐标表示相应截面的剪力和弯矩。
在土建工程中，习惯上将正剪力画在x轴上方， 负剪力画在x轴的下方；正弯矩画在x轴下方，负弯 矩画在x轴的上方，即把弯矩图画在梁受拉的一侧。
3. 绘制剪力图和弯矩图的步骤
图10
3. 用截面法求指定截面的剪力和弯矩
利用截面法计算指定截面的剪力和弯矩的步骤
（1） （2） 用假想的截面在欲求内力处将梁截成两段，
（3） 画出研究对象的内力图。截面上的剪力和
（4）
【例 1】简支梁如图11(a)所示。已知P1=36kN，P2=30kN， 试求截面I－I
【解】(1)
以整梁为研究对象，受力图如图11(a)。列平衡方程
截面m－m上剪力Q的大小和方向以及弯矩M的
∑Fy=0，NB-Q=0 Q=NB ∑mC(F)= 0，NB·x-M=0 M=NB·x 根据作用力和反作用力的关系，分别以梁的左 段和右段为研究对象求出的Q和M，大小是相等的， 而方向或转向是相反的(图8(b)、(c))。
图8
2. 剪力和弯矩和正负号规定
∑Fy=0，Q2-P=0 Q2=P(正剪力) ∑m2(F)= 0，-M2-P·a/2=0 M2=-Pa/2 (负弯矩)
图11
图12
图12
图12
4. 计算剪力和弯矩的规律
(1) 梁内任一截面上的剪力，其大小等于该截面 左侧(或右侧)梁上所有外力的代数和；梁内任一截面 的弯矩，其大小等于该截面左侧(或右侧)梁上所有外
【例 7.6】简支梁受集中力P作用如图16(a)所示，试画出 梁的剪力图和弯矩图。 【解】(1)
∑mB(F)= 0，-RAl+Pb=0 RA=Pb/l ∑Fy=0，RA+RB-P=0 RB=Pa/l (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在C截面处有集中力P作用，AC段和CB段所受的 外力不同，其剪力方程和弯矩方程也不相同，需分段列 出。取梁左端A
由 ∑Fy=0，Q1+RB-P2=0
得 Q1=P2-RB=(30-26)kN=4kN 由 ∑m1(F)=0，RB×4-P2×2-M1=0 得 M1=RB×4-P2×2=(26×4-30×2)kN·m
=44kN·m 可见，不管选取梁的左段或右段为研究对象，所得 截面I-I
【例 2】外伸梁受载荷作用如图12(a)所示。图中截面1-1 是指从右侧无限接近于支座B。试求截面1-1和截面2-2的
图7
二、 梁的内力-剪力和弯矩
1. 剪力和弯矩
图8(a)为一简支梁，载荷P与支座反力NA和NB是 作用在梁纵向对称面内的平衡力系。现用截面法分 析任一截面m－m上的内力。
梁的横截面上的内力比较复杂，一般存在两个
（1） 剪力Q 相切于横截面的内力。剪力的
（2） 弯矩M 矩。
作用面与横截面垂直的内力偶
由 ∑Fy=0，RA-P1-Q1=0 得 Q1=RA-P1=(40-36)kN=4kN 由 ∑m1(F)=0，M1+P1×1-RA×2=0 得 M1=RA×2-P1×1
=(40×2-36×1)kN·m=44kN·m 计算结果Q1、M1为正，表明Q1、M1实际方向与图示
若取梁的右段为研究对象，受力图如图11(c)所示。
【例7.5】简支梁如图15(a)所示，受均布荷载q作用，试画
【解】(1) 求支座反力
RA=RB=ql/2 (2)
坐标原点取在左端A点处，距原点A为x处的任意截
Q(x)=RA-qx=ql/2-qx(0＜x＜l) M(x)=RAx-qx2/2=ql/2x-qx2/2 (0≤x≤l)
(3)
由式(a)可见，Q(x)是x的一次函数，所以剪力图是一 条斜直线。由式(a)
图13
三、 剪力图和弯矩图
1. 剪力方程和弯矩方程
若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则 各横截面上的剪力和弯矩皆可表示为坐标x的函数，
Q=Q(x) M=M(x) 以上两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线的变化 规律，分别称为梁的剪力方程和弯矩方程
2. 剪力图和弯矩图
为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴的变化规律， 把剪力方程和弯矩方程用其图像表示，称为剪力图 和弯矩图
(1) 正剪力：截面上的剪力使研究对象作顺时针方
向的转动(图7(a)) 负剪力：截面上的剪力使研究对象作逆时针方
向的转动(图7(b)) (2) 弯矩的正负号规定
正弯矩：截面上的弯矩使该截面附近弯成上凹 下凸的形状(图10(a))
(b))
图7
x=0，QA右=ql/2 x=l，QB左=-ql/2 剪力图如图15(b)
由式(b)可见，M(x)是x的二次函数，所以弯矩图是一 条二次抛物线，至少需要确定三个控制截面的弯矩值， 才能描出曲线大致形状。由式(b)
x=0，MA=0 x=l/2，MC=ql2/8 x=l，MB=0 弯矩图如图15(c) 从所作的内力图可知，最大剪力发生在梁端，其值 为｜Qmax｜=ql/2，最大弯矩发生在剪力为零的跨截面， 其值为｜Mmax｜=ql2/8。
(4) 画弯矩图
从式(b)可知，AC段的弯矩是x的一次函数，弯矩图 是一条斜直线，只需确定该段始末两个控制截面的弯矩 值，就能画出该段的弯矩图。由式(b)
x=0，MA=0 x=a，MC=Pab/l 从式(d)可知，CB段的弯矩是x的一次函数，弯矩图 也是一条斜直线，由式(d)
x=a，MC=Pab/l x=l，MB=0
图5
图6
3. 梁的类型
根据梁的支座反力能否全部由静力平衡条件确 定，将梁分为静定梁和超静定梁。静定梁又可分为 单跨静定梁和多跨静定梁
单跨静定梁按支座情况可分三种基本类型： （1） 简支梁梁的一端为固定铰支端，另一端为 活动铰支座(图7(a)) （2） 外伸梁其支座形式和简支梁相同，但梁的 一端或两端伸出支座之外(图7(b)) （3） 悬臂梁梁的一端固定，另一端自由(图 7(c))
(1) 求支座反力 以梁整体为研究对象，根据梁上的荷载和支座
(2) 将梁分段 以集中力和集中力偶作用处、分布荷载的起讫
处、梁的支承处以及梁的端面为界点，将梁进行分
(3) 各段列剪力方程和弯矩方程时，所取的坐标原
点与坐标轴x的正向可视计算方便而定，不必一致。
(4)
先根据剪力方程(或弯矩方程)判断剪力图(或弯 矩图)的形状，确定其控制截面，再根据剪力方程(或 弯矩方程)计算其相应截面的剪力值(或弯矩值)，然 后描点并画出整个全梁的剪力图(或弯矩图)
(2) 左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。 (3)
【例 3】简支梁受载荷作用如图13所示。已知集中力 P=1000N，集中力偶m=4kN·m，均布载荷q=10kN/m，试 求1-1和2-2 【解】(1) 求支座反力
以整梁为研究对象，受力图如图13所示，由平衡方
∑mB(F)=0，P×750-RA×1000-m+q×500×250=0 RA=(P×750-m+q×500×250)/1000=-2000N ∑Fy=0，RA-P-500q+RB=0 RB=P+500q-RA=8000N
【解】(1) 以整梁为研究对象，受力图如图12(a)。由平衡方程
∑mB(F)=0，RC·a-P×2a-Me=0 RC=(2Pa+Me)/a=（2Pa+Pa）/a=3P ∑mC(F)=0，-RB·a-Pa-Me=0 RB=(-Pa-Me)/a=(-Pa-Pa)/a=-2P
(2) 求截面1-1
用1-1截面将梁假想地截开，取左段为研究对象，受 力图如图12(b)。由平衡方程求Q1和M1
由 ∑mA(F)= 0，RB×6-P1×1-P2×4=0 得 RB=（P1×1+P2×4）/6=26kN 由 ∑mB(F)= 0，P1×5+P2×2-RA×6=0 得 RA=(P1×5+P2×2)/6=40kN (2) 求截面I-I的内力
用I-I截面将梁假想地截开，取左段为研究对象，受 力图如图11(b)
AC
Q(x)=RA=Pb/l (0<x<a) M(x)=RA·x=Pb/lx(0≤x≤a) CB
Q(x)=RA-P=-Pa/l (a<x<l) M(x)=RA·x-P(x-a)=Pa-Pa/lx(a≤x≤l) (3) 画剪力图 从式(a)可知，AC段的剪力为常数Pb/l，剪力图是一 条在x轴线上侧与x轴平行的直线。从式(c)可知，CB段的 剪力为常数-Pa/l，剪力图是一条在x轴线下侧与x轴平行的 直线。画出剪力图如图16(b)