习 题 六 解 答1、在区间［0，1］上用欧拉法求解下列的初值问题，取步长h=0.1。

(1)210(1)(0)2y y y '⎧=--⎨=⎩(2)sin (0)0x y x e y -'⎧=+⎨=⎩解：（1）取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为21(1)(0,1,2,)n n n y y y n +=--=由初值y 0=y(0)=2出发计算，所得数值结果如下： x 0=0，y 0=2；x 1=0.1，2100(1)211y y y =--=-= x 2=0.2，2211(1)101y y y =--=-= 指出：可以看出，实际上求出的所有数值解都是1。

（2）取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为21(sin )(0,1,2,)n x n n n y y h x e n -+=++=由初值y 0=y(0)=0出发计算，所得数值结果如下： x 0=0，y 0=0； x 1=0.1，021000(sin )00.1(sin 0)00.1(01)0.1x y y h x e e -=++=+⨯+=+⨯+=x 2=0.2，122110.1(sin )0.10.1(sin 0.1)0.10.1(0.10.9)0.2x y y h x e e --=++=+⨯+=+⨯+=指出：本小题的求解过程中，函数值计算需要用到计算器。

2、用欧拉法和改进的欧拉法(预测－校正法)求解初值问题，取步长h=0.1。

22(00.5)(0)1y x y x y '⎧=-≤≤⎨=⎩ 解：(1) 取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为21(2)(0,1,2,)n n n n y y h x y n +=+-=由初值y 0=y(0)=1出发计算，所得数值结果如下：x 0=0，y 0=1；x 1=0.1，221000(2)10.1(021)0.8y y h x y =+-=+⨯-⨯= x 2=0.2，222111(2)0.80.1(0.120.8)0.641y y h x y =+-=+⨯-⨯=(2)由预测校正公式11(,)[(,)(,)]2n n n n n n n n y hf x y hy f x y f x y ++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩n+1n+1y y ， 取h=0.1，本初值问题的预测－校正公式的具体形式为122210.1(2)0.05[(2)(2)]nn n n n n n n y x y y x y x y ++⎧=+⨯-⎪⎨=+-+-⎪⎩n+1n+1y y 由初值y 0=y(0)=1出发计算，所得数值结果如下： x 0=0，y 0=1； x 1=0.1，2000220001120.1(2)0.8,0.05[(2)(2)]10.05[(02)(0.120.8]0.8205y x y y x y x y =+⨯-==+⨯-+-=+⨯-+-⨯=11y yx 2=0.2，211122211122220.1(2)0.82050.1(0.120.8205)0.65740.05[(2)(2)]0.82050.05[(0.120.8205)(0.220.0.6574]0.6752y x y y x y x y =+⨯-=+⨯-⨯==+⨯-+-=+⨯-⨯+-⨯=22y y3、试导出解一阶常微分方程初值问题000(,)()()y f x y x a x b y x y '==≤≤⎧⎨=⎩的隐式欧拉格式111(,)(0,1,2,)n n n n y y hf x y n +++=+=并估计其局部截断误差。

解：在区间[x n ,x n+1]上对常微分方程y /(x)=f(x,y)两端同时积分，得11(,())n nx n n x y y f x y x dx ++-=⎰由右矩形公式得111(,())(,)n nx n n x f x y x dx hf x y +++≈⎰所以有差分格式111(,)(0,1,2,)n n n n y y hf x y n +++=+=这是所谓隐式欧拉公式。

对于隐式欧拉法111(,)(0,1,2,)n n n n y y hf x y n +++=+= 假定y n ＝y(x n )，上式右边的y n ＋1＝y(x n ＋1)，则111111(,)()(,())()()n n n n n n n n n y y hf x y y x hf x y x y x hy x ++++++'=+=+=+将y ／(x n ＋1) 按泰勒公式展开，上式为 11()()()()()[()()]n n n n n n n n y y x hy x y x hy x h y x h y x hy x ++'=+'=++'''=+++ 将y(x n ＋1)按泰勒公式展开，得123()()()()()()2!3!n n n n n n y x y x h h h y x hy x y x y x +=+''''''=++++两式相减，得231123()[()()()()]()[()()]2!3!()()2!n n n n n n n n n n h h y x y y x hy x y x y x y x h y x hy x h y x O h ++'''''''''-=++++--++''=-+即2311()()()2!n n n h y x y y x O h ++''-=-+所以，211()()n n y x y O h ++-=指出：可以用多种方法导出，其中差商法、数值积分方法是简单的方法。

4、验证改进的欧拉公式对任何不超过二次的多项式2y ax bx c =++准确成立，并说明理由。

分析：①本题所说的改进的欧拉法，是指梯形公式111((,)(,))2i i i i i i hy y f x y f x y +++=++。

②在初值问题000(,)()()y f x y x a x b y x y '==≤≤⎧⎨=⎩中，y 是解函数。

③本题要证明的是，如果解函数是2y ax bx c =++，则用梯形公式求出的数值解n y 等于相应的解函数的函数值()n y x ，而2()n n n y x ax bx c =++，即要证明2n n n y ax bx c =++。

④为了证明结论成立，先建立求解格式。

⑤注意，2y ax bx c =++，所以(,)2f x y y ax b '==+。

解：因为2y ax bx c =++ 所以2y ax by ex f ''=+=+。

记()f x ex f =+，设,0,1,2,i x ih i ==改进的欧拉公式为11110((,)(,))2(()())(0,1,2,)2i i i i i i ii i h y y f x y f x y h y ex f ex f i y c ++++⎧=++⎪⎪⎪=++++=⎨⎪=⎪⎪⎩将上式对i 从0到n －1求和并利用初值条件得11011100221110002210(()())2()((1))22(1)((1))221(2)(2(1))222(n n i i i n n i i i i n n n i i i n i hy ex f ex f ceh eh x x nfh c ih i h nfh c eh eh i i nfh c i i nfh c eh eh i n nfh c n n n nfh c e nh -+=--+==---===-==++++=+++=++++=++++=++++=+++=⨯-+++=∑∑∑∑∑∑∑2222)1()2212n n n n fnh c e nh fnh cex fx c ax bx c ++=++=++=++则2()n n n n y ax bx c y x =++=所以，改进的欧拉法对任何不超过二次的多项式2y ax bx c =++准确成立。

指出：通过累加，把递推关系变成了函数关系。

5、对于初值问题2(01)(0)1y xy x y '⎧=≤≤⎨=⎩ 试用（1）欧拉法；（2）改进的欧拉法；（3）四阶经典龙格-库塔法分别求解，并比较之，取0.2h =。

解：（1）取0.2h =，本初值问题的欧拉公式具体形式为21(0,1,2,)n n n n y y hx y n +=+=由初值y 0=y(0)=1出发计算，所得数值结果如下： x 0=0，y 0=1；x 1=0.2，2110.2011y =+⨯⨯= x 2=0.4，2210.20.21 1.04y =+⨯⨯=x 2=0.6，23 1.040.20.4 1.04 1.126528y =+⨯⨯=（2）由预测校正公式11(,)[(,)(,)]2n n n n n n n n y hf x y hy f x y f x y ++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩n+1n+1y y ， 取0.2h =，本初值问题的预测－校正公式的具体形式为12221[]2nn n n n n n n y hx y h y x y x y ++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩n+1n+1y y 由初值y 0=y(0)=1出发计算，所得数值结果如下： x 0=0，y 0=1； x 1=0.2，001200222200110.2[]1[010.21] 1.0222y hx y h y x y x y =+==++=+⨯+⨯=11y y x 2=0.4，112221122221121.020.20.2 1.02 1.0616160.2[] 1.02[0.2 1.020.4 1.061616] 1.08575222y hx y h y x y x y =+=+⨯⨯==++=+⨯+⨯=22y y (3) 四阶经典龙格－库塔公式为112341122343(22)6(,)(,)22(,)22(,)i i i i i ii i i i h y y k k k k k f x y hk h k f x y hk h k f x y k f x h y hk +⎧=++++⎪⎪=⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎪=++⎪⎩ 在本题中，2(,)f x y xy =， 取0.2,(0)1h y ==，计算得2100002211200002222300002243003(,)00.20(,)()()(0)(1)0.12222220.20.20.1(,)()()(0)(1)0.10201222222(,)()()(00.2)(10.20.10201)i i k f x y x y hk hk h h k f x y x y hk hk h h k f x y x y k f x h y hk x h y hk ====++=++=++=⨯=++=++=++==++=++=++⨯1012340.208240.2(22)1(020.120.102010.20824) 1.0204166h y y k k k k ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎪=++++=+⨯+⨯+⨯+=⎪⎩6、用经典四阶龙格－库塔方法求下列初值问题的数值解。